數(shù)字信號(hào)處理課件第3章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析5-Z變換

第3章時(shí)域離散信號(hào)和濾波器的頻譜分析頻譜的定義，包括幅度頻譜和相位頻譜；非周期時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換；非周期時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的性質(zhì)；周期時(shí)域離散信號(hào)頻譜；Z變換；時(shí)域離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)；利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性；用幾何方法研究極零點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響。本章主要內(nèi)容為何要討論Z變換？

為簡(jiǎn)化運(yùn)算對(duì)序列建立的一種數(shù)學(xué)變換，能夠簡(jiǎn)單有效地求解線性差分方程。Z變換的定義本節(jié)主要內(nèi)容序列特性對(duì)收斂域的影響逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理Z變換的定義本節(jié)主要內(nèi)容序列特性對(duì)收斂域的影響逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理1.Z變換的定義式中z是復(fù)變量，所在的復(fù)平面稱為z平面。2.Z變換（ZT）的收斂域?qū)τ谌我饨o定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。

級(jí)數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對(duì)可和Z變換的定義本節(jié)主要內(nèi)容序列特性對(duì)收斂域的影響逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理1.有限長序列除0和∞兩點(diǎn)是否收斂與n1和n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。有限長序列的Z變換X（Z）討論：（1）如果n2≤0，則收斂域不包括∞點(diǎn)（2）如果n1≥0，則收斂域不包括0點(diǎn)（3）如果n1<0<n2，收斂域不包括0、∞點(diǎn)例：求x(n)=RN(n)的z變換及其收斂域。X2.右邊序列

因果序列的z變換必在∞處收斂；

在∞處收斂的z變換，其序列必為因果序列。例：求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。3.左邊序列例：求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。4.雙邊序列：XX收斂域的邊界與極點(diǎn)有關(guān)。例：求x(n)=a|n|，a為實(shí)數(shù)，求ZT及其收斂域右邊序列的z變換收斂域:在模最大的極點(diǎn)所在圓之外。左邊序列的z變換收斂域:在模最小的極點(diǎn)所在圓之內(nèi)。

給定z變換X(z)不能唯一地確定一個(gè)序列，只有同時(shí)給出收斂域才能唯一確定。

X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點(diǎn)，故：有限長序列的Z變換收斂域收斂域的邊界與極點(diǎn)有關(guān)。【隨堂練習(xí)】1.求下列序列的Z變換及其收斂域。（1）（2）（3）（4）（5）Z變換的定義本節(jié)主要內(nèi)容序列特性對(duì)收斂域的影響逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理2、Z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法1、Z反變換:從X(z)中還原出原序列x(n)實(shí)質(zhì)：求X(z)冪級(jí)數(shù)展開式。（1）圍線積分法求解（留數(shù)法） 若函數(shù)F(Z)=X(z)zn-1在圍數(shù)C上連續(xù)，在C內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，而在C外有M個(gè)極點(diǎn)zm，則有：求解步驟：找到X(Z)的收斂域，在收斂域內(nèi)做一條圍線C；令，分別求F(Z)在C內(nèi)和C外的極點(diǎn)；代入留數(shù)公式求解x(n);若F(z)在c內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，則：

若F(z)在c外M個(gè)極點(diǎn)zm，且分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式高二階或二階以上，則：?jiǎn)坞A極點(diǎn)的留數(shù)：解：的極點(diǎn)：n+1=？解：分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式高二階或二階以上(2)【隨堂練習(xí)】

1、求的Z反變換。（用留數(shù)法求解）Z變換的定義本節(jié)主要內(nèi)容序列特性對(duì)收斂域的影響逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理(2)部分分式展開法求解IZT：常見序列的ZT參見書p.59頁的表2.5.1若函數(shù)X(z)是z的有理分式，可表示為：利用部分分式的z反變換和可以得到函數(shù)X(z)的z反變換。通過長除求解。假分式例2 設(shè)利用部分分式法求z反變換。例2 設(shè)利用部分分式法求z反變換。解：【隨堂練習(xí)】1.已知，用部分分式法分別求：（1）收斂域?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)的原序列；（2）收斂域?yàn)?，?duì)應(yīng)的原序列。Z變換的定義本節(jié)主要內(nèi)容序列特性對(duì)收斂域的影響逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理1、線性ROC=R1∩R2ROC=RROC=|a|RROC=R2、序列的移位3、z域尺度變換（乘以指數(shù)序列）4、z域求導(dǎo)（序列線性加權(quán)）5、翻褶序列ROC=1/RROC=R6、共軛序列7、初值定理8、終值定理9、有限項(xiàng)累加特性10、時(shí)域卷積定理11、復(fù)卷積定理12、帕斯維爾定理9、有限項(xiàng)累加特性證明：

例：已知LTI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為求系統(tǒng)輸入為的響應(yīng)。Z變換的定義本節(jié)主要內(nèi)容序列特性對(duì)收斂域的影響逆Z變換Z變換的性質(zhì)和定理(3)冪級(jí)數(shù)展開法求解（長除法）:一般X(z)是有理分式，可利用分子多項(xiàng)式除分母多項(xiàng)式（長除法法）得到冪級(jí)數(shù)展開式，從而得到x(n)。

因果序列負(fù)冪級(jí)數(shù)降冪排列

左邊序列正冪級(jí)數(shù)升冪排列根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，展開成相應(yīng)的z的冪級(jí)數(shù)x(n)分子分母按z的X(z)的展成z的例1

長除法示例解：由Roc1判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，降冪排列。)1用長除法求Z反變換。Roc1：ROC2:解：由Roc2判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級(jí)數(shù)，升冪排列。)1解：X(z)的Roc為環(huán)狀，故x(n)是雙邊序列極點(diǎn)z=1/4對(duì)應(yīng)右邊序列，極點(diǎn)z=4對(duì)應(yīng)左邊序列