內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布集寧區(qū)集寧第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析_第1頁(yè)
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內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布集寧區(qū)集寧第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.雙曲線的漸近線的斜率是()A.1 B.C. D.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(0,-1) B.(-1,0)C. D.3.在等差數(shù)列中,,且,,,構(gòu)成等比數(shù)列,則公差()A.0或2 B.2C.0 D.0或4.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、,為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn).與軸交于一點(diǎn),,則橢圓C的離心率為()A. B.C. D.5.定義運(yùn)算:.已知,都是銳角,且,,則()A. B.C. D.6.在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、,線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi),并且都垂直于棱,若,,,,則這個(gè)二面角的大小為()A. B.C. D.7.已知是橢圓的左焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,則的最大值為()A. B.13C.3 D.58.如圖所示,在中,,,,AD為BC邊上的高,;若,則的值為()A. B.C. D.9.在棱長(zhǎng)為1的正方體中,為的中點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為()A. B.1C. D.10.“五一”期間,甲、乙、丙三個(gè)大學(xué)生外出旅游,已知一人去北京,一人去兩安,一人去云南.回來(lái)后,三人對(duì)去向作了如下陳述:甲:“我去了北京,乙去了西安.”乙:“甲去了西安,丙去了北京.”丙:“甲去了云南,乙去了北京.”事實(shí)是甲、乙、丙三人陳述都只對(duì)了一半(關(guān)于去向的地點(diǎn)僅對(duì)一個(gè)).根據(jù)以上信息,可判斷下面說(shuō)法中正確的是()A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南11.如圖,在平行六面體中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,若,且,則的長(zhǎng)為()A. B.C. D.12.氣象臺(tái)正南方向的一臺(tái)風(fēng)中心,正向北偏東30°方向移動(dòng),移動(dòng)速度為,距臺(tái)風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變,氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,則數(shù)列的前5項(xiàng)為_(kāi)_____.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則__________,的最小值為_(kāi)_________15.某廠將從64名員工中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取4名參加2011年職工勞技大賽,將這64名員工編號(hào)為1~64,若已知8號(hào)、24號(hào)、56號(hào)在樣本中,那么樣本中最后一個(gè)員工的號(hào)碼是__________16.在平面直角坐標(biāo)系中,若拋物線上的點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_(kāi)______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)近年來(lái),由于耕地面積的緊張,化肥的施用量呈增加趨勢(shì),一方面,化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用,另一方面,也成為環(huán)境污染,空氣污染,土壤污染的重要來(lái)源之一.如何合理地施用化肥,使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn),減少對(duì)周?chē)h(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題.研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系,成為解決上述問(wèn)題的前提.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值,化肥施用量為x(單位:公斤),糧食畝產(chǎn)量為y(單位:百公斤).參考數(shù)據(jù):65091.552.51478.630.5151546.5表中.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與,哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程類(lèi)型(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí),糧食畝產(chǎn)量y的值;(3)經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高后,該化肥的有效率Z大幅提高,經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得Z大致服從正態(tài)分布N),那這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為多少?附:①對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為;②若隨機(jī)變量,則有,;③取.18.(12分)設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列,滿足,,設(shè)數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)已知數(shù)列,設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:.20.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在第一象限;(1)若直線的斜率為,求的值;(2)求線段的長(zhǎng)度的最小值21.(12分)新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái),我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開(kāi)展應(yīng)急科研攻關(guān),研制了一種新型冠狀病毒疫苗,并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律,志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體,人體中檢測(cè)到抗體,說(shuō)明有抵御病毒的能力.通過(guò)檢測(cè),用表示注射疫苗后的天數(shù),表示人體中抗體含量水平(單位:,即:百萬(wàn)國(guó)際單位/毫升),現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與(a,b,c,d均為大于0的實(shí)數(shù))哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值;(3)從這位志愿者前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析,記其中的y值大于50的天數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式:用最小二乘法求經(jīng)過(guò)點(diǎn),,,,的線性回歸方程的系數(shù)公式,;.22.(10分)設(shè)曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.(1)求a,b的值;(2)求證:;(3)當(dāng),求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為:,化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為:,即,漸近線的斜率是.故選:B2、C【解析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,可得p的值,進(jìn)而求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由拋物線可知其開(kāi)口向下,,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故選:C.3、A【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程,可解得公差d得選項(xiàng).【詳解】解:因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中,,且,,,構(gòu)成等比數(shù)列,所以,即,所以,解得或,故選:A.4、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得,故可得,再由橢圓的定義得a,c的關(guān)系,故可得答案【詳解】,,又,,則,,則,,由橢圓的定義得,,,故選:C5、B【解析】,只需求出與的正、余弦值即可,用平方關(guān)系時(shí)注意角的范圍.【詳解】解:因?yàn)?,都是銳角,所以,,因?yàn)?,所以,即,,所以,,因?yàn)?,所有,故選:B.【點(diǎn)睛】信息給予題,已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值,考查根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換求值,基礎(chǔ)題.6、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為,由題意得,從而得到,由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為,由題意得,,,解得,∴,∴這個(gè)二面角的度數(shù)為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.7、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示:,故選:B8、B【解析】根據(jù)題意求得,化簡(jiǎn)得到,結(jié)合,求得的值,即可求解.【詳解】在中,,,,AD為BC邊上的高,可得,由又因?yàn)椋?,所?故選:B.9、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知,得,,,,,所以在上的投影為,所以點(diǎn)到直線的距離為故選:B10、D【解析】根據(jù)題意,先假設(shè)甲去了北京正確,則可分析其他人的陳述是否符合題意,再假設(shè)乙去西安正確,分析其他人的陳述是否符合題意,即可得答案.【詳解】由題意得,甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)了一半,假設(shè)甲去了北京正確,對(duì)于甲的陳述:則乙去西安錯(cuò)誤,則乙去了云南;對(duì)于乙的陳述:甲去了西安錯(cuò)誤,則丙去了北京正確;對(duì)于丙的陳述:甲去了云南錯(cuò)誤,乙去了北京也錯(cuò)誤,故假設(shè)錯(cuò)誤.假設(shè)乙去了西安正確,對(duì)于甲的陳述:則甲去了北京錯(cuò)誤,則甲去了云南;對(duì)于乙的陳述:甲去了西安錯(cuò)誤,則丙去了北京正確;對(duì)于丙的陳述:甲去了云南正確,乙去了北京錯(cuò)誤,此種假設(shè)滿足題意,故甲去了云南.故選:D11、D【解析】由向量線性運(yùn)算得,利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得,由此可求得.【詳解】由題意得:,,且,又,,,,.故選:D.12、D【解析】利用余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示:設(shè)臺(tái)風(fēng)中心為,,小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)處,即,當(dāng)時(shí),氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響,由余弦定理可知:,于是有:,解得:,所以氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是,故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為:14、①.②.【解析】首先確定的正負(fù),分別在和兩種情況下求得,代入即可求得;由可求得,分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值,綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令,解得:,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;;,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,,當(dāng)時(shí),;綜上所述:.故答案為:;.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查含絕對(duì)值的數(shù)列前項(xiàng)和的求解問(wèn)題,解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號(hào)項(xiàng),從而以變號(hào)項(xiàng)為分類(lèi)基準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論得到數(shù)列的前項(xiàng)和;求解數(shù)列中的最值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來(lái)進(jìn)行求解.15、40【解析】結(jié)合系統(tǒng)抽樣的抽樣方法來(lái)確定最后抽取的號(hào)碼.【詳解】因?yàn)榉侄伍g隔為,故最后一個(gè)員工的號(hào)碼為.故答案為:16、4【解析】根據(jù)拋物線的定義,列出方程,即可得答案.【詳解】由題意:拋物線的準(zhǔn)線為,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為,由拋物線定義可得,解得,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.故答案為:4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2);810公斤;(3).【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì),結(jié)合給定模型的性質(zhì)直接判斷適合的模型即可.(2)將(1)中模型取對(duì)得,結(jié)合題設(shè)及表格數(shù)據(jù)求及參數(shù),進(jìn)而可得參數(shù)c,即可確定回歸方程,進(jìn)而估計(jì)時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.(3)由題設(shè)知,結(jié)合特殊區(qū)間的概率值及正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖,呈現(xiàn)非線性的變化趨勢(shì),故更適合作為關(guān)于的回歸方程類(lèi)型.【小問(wèn)2詳解】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù),得,即,由表中數(shù)據(jù)得:,,,則,∴關(guān)于的回歸方程為,當(dāng)時(shí),,∴當(dāng)化肥施用量為27公斤時(shí),糧食畝產(chǎn)量約為810公斤.小問(wèn)3詳解】依題意,,則有,∴,則,∴這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析,(3)【解析】(1)根據(jù)等比數(shù)列列出方程組求解首項(xiàng)、公比即可得解;(2)化簡(jiǎn)后得,可證明數(shù)列是等差數(shù)列,即可得出,再求出即可;(3)利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公比為,由條件可知,,所以;【小問(wèn)2詳解】,又,所以,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差等差數(shù)列,所以,所以.【小問(wèn)3詳解】,,兩式相減可得,,.19、見(jiàn)解析【解析】將代入式子,得到,,進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn),最后通過(guò)基本不等式證明問(wèn)題.【詳解】∵,,,∴,.∴=,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”20、(1)3;(2)12.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,求出A和B的橫坐標(biāo)即可得AFBF(2)設(shè)直線l方程為,與拋物線C方程聯(lián)立,求出線段AB長(zhǎng)度求其最小值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè),拋物線的焦點(diǎn)為,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率,直線l的方程為,將直線l方程與拋物線消去y可得,點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的交點(diǎn),解方程得,∴.【小問(wèn)2詳解】設(shè),由題知直線l斜率不為0,故設(shè)直線l的方程為:,代入拋物線C的方程化簡(jiǎn)得,,∵>0,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào),∴AB長(zhǎng)度最小值為12.21、(1)(2),4023.87(3)分布列答案見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望:【解析】(1)由于這些點(diǎn)分布在一條曲線的附近,從而可選出回歸方程,(2)設(shè),,則建立w關(guān)于x的回歸方程,然后根據(jù)公式和表中的數(shù)據(jù)求解回歸方程即可,再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值,(3)由題意可知x的可能取值為0,1,2,然后求對(duì)應(yīng)的概率,從而可求出分布列和期望【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)分布在一條曲線的附近,所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型.【小問(wèn)2詳解】設(shè),變換后可得,設(shè),建立w關(guān)于x的回歸方程,,所以所以w關(guān)于x的回歸方程為,所以,當(dāng)時(shí),,即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問(wèn)3詳解】由表格數(shù)據(jù)可知,第5,6天的y值大于50,故x的可能取值為0,1,2,,,,X的分布列為012.22、(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,令x=1處的切線的斜率等1,結(jié)合,即可求得a和b的值;(2)利用(1)的結(jié)論,構(gòu)造函數(shù),求求導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,求出最小值即可證明;(3)根據(jù)條件構(gòu)造

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