內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布集寧區(qū)集寧第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布集寧區(qū)集寧第一中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.3．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或4．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)．與軸交于一點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.5．定義運(yùn)算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.6．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.7．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最大值為（）A. B.13C.3 D.58．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，；若，則的值為（）A. B.C. D.9．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.10．“五一”期間，甲、乙、丙三個(gè)大學(xué)生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來(lái)后，三人對(duì)去向作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事實(shí)是甲、乙、丙三人陳述都只對(duì)了一半(關(guān)于去向的地點(diǎn)僅對(duì)一個(gè)).根據(jù)以上信息，可判斷下面說(shuō)法中正確的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南11．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.12．氣象臺(tái)正南方向的一臺(tái)風(fēng)中心，正向北偏東30°方向移動(dòng)，移動(dòng)速度為，距臺(tái)風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變，氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)為_(kāi)_____.14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________，的最小值為_(kāi)_________15．某廠將從64名員工中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取4名參加2011年職工勞技大賽，將這64名員工編號(hào)為1～64，若已知8號(hào)、24號(hào)、56號(hào)在樣本中，那么樣本中最后一個(gè)員工的號(hào)碼是__________16．在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線上的點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）近年來(lái)，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)，一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染，空氣污染，土壤污染的重要來(lái)源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周?chē)h(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題.研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問(wèn)題的前提.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百公斤）.參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；（3）經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高后，該化肥的有效率Z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得Z大致服從正態(tài)分布N），那這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；②若隨機(jī)變量，則有，；③取.18．（12分）設(shè)數(shù)列是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）已知數(shù)列，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限；（1）若直線的斜率為，求的值；（2）求線段的長(zhǎng)度的最小值21．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開(kāi)展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體，人體中檢測(cè)到抗體，說(shuō)明有抵御病毒的能力.通過(guò)檢測(cè)，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬(wàn)國(guó)際單位/毫升），現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實(shí)數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.22．（10分）設(shè)曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當(dāng)，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B2、C【解析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，可得p的值，進(jìn)而求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由拋物線可知其開(kāi)口向下，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.3、A【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，可解得公差d得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.4、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關(guān)系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C5、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關(guān)系時(shí)注意角的范圍.【詳解】解：因?yàn)?，都是銳角，所以，，因?yàn)?，所以，即，，所以，，因?yàn)?，所有，故選：B.【點(diǎn)睛】信息給予題，已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值，考查根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換求值，基礎(chǔ)題.6、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.7、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：，故選：B8、B【解析】根據(jù)題意求得，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】在中，，，，AD為BC邊上的高，可得，由又因?yàn)椋?，所?故選：B.9、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B10、D【解析】根據(jù)題意，先假設(shè)甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設(shè)乙去西安正確，分析其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.【詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)了一半，假設(shè)甲去了北京正確，對(duì)于甲的陳述：則乙去西安錯(cuò)誤，則乙去了云南；對(duì)于乙的陳述：甲去了西安錯(cuò)誤，則丙去了北京正確；對(duì)于丙的陳述：甲去了云南錯(cuò)誤，乙去了北京也錯(cuò)誤，故假設(shè)錯(cuò)誤.假設(shè)乙去了西安正確，對(duì)于甲的陳述：則甲去了北京錯(cuò)誤，則甲去了云南；對(duì)于乙的陳述：甲去了西安錯(cuò)誤，則丙去了北京正確；對(duì)于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯(cuò)誤，此種假設(shè)滿足題意，故甲去了云南.故選：D11、D【解析】由向量線性運(yùn)算得，利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.12、D【解析】利用余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心為，，小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)處，即，當(dāng)時(shí)，氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為：14、①.②.【解析】首先確定的正負(fù)，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值的數(shù)列前項(xiàng)和的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號(hào)項(xiàng)，從而以變號(hào)項(xiàng)為分類(lèi)基準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論得到數(shù)列的前項(xiàng)和；求解數(shù)列中的最值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來(lái)進(jìn)行求解.15、40【解析】結(jié)合系統(tǒng)抽樣的抽樣方法來(lái)確定最后抽取的號(hào)碼.【詳解】因?yàn)榉侄伍g隔為，故最后一個(gè)員工的號(hào)碼為.故答案為：16、4【解析】根據(jù)拋物線的定義，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意：拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，由拋物線定義可得，解得，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，結(jié)合給定模型的性質(zhì)直接判斷適合的模型即可.（2）將（1）中模型取對(duì)得，結(jié)合題設(shè)及表格數(shù)據(jù)求及參數(shù)，進(jìn)而可得參數(shù)c，即可確定回歸方程，進(jìn)而估計(jì)時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）由題設(shè)知，結(jié)合特殊區(qū)間的概率值及正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖，呈現(xiàn)非線性的變化趨勢(shì)，故更適合作為關(guān)于的回歸方程類(lèi)型.【小問(wèn)2詳解】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，則，∴關(guān)于的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量約為810公斤.小問(wèn)3詳解】依題意，，則有，∴，則，∴這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析，（3）【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列列出方程組求解首項(xiàng)、公比即可得解；（2）化簡(jiǎn)后得，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可得出，再求出即可;（3）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公比為，由條件可知，，所以；【小問(wèn)2詳解】，又，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】，,兩式相減可得，，.19、見(jiàn)解析【解析】將代入式子，得到，，進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過(guò)基本不等式證明問(wèn)題.【詳解】∵，，，∴，.∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”20、（1）3；（2）12.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，求出A和B的橫坐標(biāo)即可得AFBF(2)設(shè)直線l方程為，與拋物線C方程聯(lián)立，求出線段AB長(zhǎng)度求其最小值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，拋物線的焦點(diǎn)為，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率，直線l的方程為，將直線l方程與拋物線消去y可得，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，解方程得，∴.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題知直線l斜率不為0，故設(shè)直線l的方程為：，代入拋物線C的方程化簡(jiǎn)得，，∵＞0，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等號(hào)，∴AB長(zhǎng)度最小值為12.21、（1）（2），4023.87（3）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】（1）由于這些點(diǎn)分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程，（2）設(shè)，，則建立w關(guān)于x的回歸方程，然后根據(jù)公式和表中的數(shù)據(jù)求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值，（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出分布列和期望【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，變換后可得，設(shè)，建立w關(guān)于x的回歸方程，，所以所以w關(guān)于x的回歸方程為，所以，當(dāng)時(shí)，，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問(wèn)3詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為012.22、（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結(jié)合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；（3）根據(jù)條件構(gòu)造