蘇教版數(shù)學(xué)必修五講義模塊復(fù)習(xí)課Word版含答案

一、正、余弦定理及其應(yīng)用1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C(3)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)變形2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)．4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))7．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中項(xiàng)如果在a與b中插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq\r(ab)，稱G為a，b的等比中項(xiàng)．4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.四、數(shù)列求和的常用方法1．公式法直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和．2．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．3．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).4．倒序相加法把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．5．錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和．6．并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．五、不等關(guān)系兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b，,a－b＝0?a＝b,a－b＜0?a＜b.))(a，b∈R)，(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞b，,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)＜1?a＜b.))(a∈R，b＞0)，六、一元二次不等式及其解法1．“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2.常用結(jié)論(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a)·(x－b)＞0{x|x＜a或x＞b}{x|x≠a}{x|x＜b或x＞a}(x－a)·(x－b)＜0{x|a＜x＜b}?{x|b＜x＜a}口訣：大于取兩邊，小于取中間．3．常見(jiàn)分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)＞0(＜0)?f(x)·g(x)＞0(＜0)．(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．七、基本不等式及其應(yīng)用1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a＞0，b＞0)(1)基0本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.(a＞0，b＞0)(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．2．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up20(2)(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up20(2)(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x＞0，y＞0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)1．在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B.(√)2．當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形．(×)[提示]只能保證A為銳角，但不能保證三角形為銳角三角形．3．在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).(√)4．在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(√)5．若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(×)[提示]“常數(shù)”必須強(qiáng)調(diào)為“同一個(gè)常數(shù)”．6．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(√)7．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．(√)9．滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(×)[提示]必須強(qiáng)調(diào)q≠0.10．G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.(×)[提示]G2＝ab不能得出G是a，b的等比中項(xiàng)，如G＝0，a＝0，b＝1.11．如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．(×)[提示]當(dāng)an＞0時(shí)，結(jié)論才能成立．12．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(a1－an,1－a).(×)[提示]公式成立的條件是a≠0，且a≠1.13．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞),則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是x1和x2.(√)14．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(×)[提示]當(dāng)a＞0或a＝0，b＝0且c＞0時(shí)，結(jié)論才能成立．15．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)[提示]當(dāng)a＝0，b＝0且c≤0時(shí)，不等式在R上也是恒成立的．16．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開(kāi)口向下，則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√)17．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.(×)[提示]當(dāng)x＞0時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最小值是2.18．函數(shù)f(x)＝cosx＋eq\f(4,cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.(×)[提示]cosx≠eq\f(4,cosx).19．“x＞0且y＞0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要條件．(×)[提示]eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2Dx＞0且y＞0，如x＝－4，y＝－1.20．若a＞0，則a3＋eq\f(1,a2)的最小值為2eq\r(a).(×)[提示]2eq\r(a)不是定值．21．不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)有相同的成立條件．(×)[提示]a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是a＞0，b＞0.22．兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．(√)1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)C[因?yàn)镾△ABC＝eq\f(1,2)absinC，所以eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(1,2)absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝eq\f(π,4).故選C.]2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝()A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29) D．2eq\r(5)A[因?yàn)閏oseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，所以cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\f(\r(5),5)2－1＝－eq\f(3,5).于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－eq\f(3,5)＝32，所以AB＝4eq\r(2).故選A.]3．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，則C＝()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)B[因?yàn)閍＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C為△ABC的內(nèi)角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).從而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C為銳角，故C＝eq\f(π,6).故選B.]4．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為_(kāi)_______．eq\f(2\r(3),3)[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因?yàn)閟inBsinC≠0，所以sinA＝eq\f(1,2).因?yàn)閎2＋c2－a2＝8，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以bc＝eq\f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).]5．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________.eq\f(π,3)[法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2).∴B＝eq\f(π,3).法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝eq\f(1,2).又0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,3).]6．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)由條件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.7．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m.[解](1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝eq\f(1－－2n,3).由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.8．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋1)))的前n項(xiàng)和．[解](1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，兩式相減得(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)(n≥2)．又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,2n－1).(2)記eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋1)))的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知eq\f(an,2n＋1)＝eq\f(2,2n＋12n－1)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)，則Sn＝eq\f(1,1)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)＝eq