第四講 遠(yuǎn)期與期貨的定價原理

金融工程概論

2021/5/91第四講遠(yuǎn)期與期貨的定價原理遠(yuǎn)期價格和期貨價格的關(guān)系遠(yuǎn)期的定價遠(yuǎn)期和期貨的定價模型2021/5/92基本假設(shè)沒有交易費(fèi)用和稅收市場參與者能以相同的無風(fēng)險利率借入和貸出資金遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險允許現(xiàn)貨賣空行為當(dāng)套利機(jī)會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險利率2021/5/93符號2021/5/94概念遠(yuǎn)期價格：使得遠(yuǎn)期合約價值為零的交割價格遠(yuǎn)期價值是指遠(yuǎn)期合約本身的價值

關(guān)于遠(yuǎn)期價值的討論要分遠(yuǎn)期合約簽訂時和簽訂后兩種情形

－在簽訂遠(yuǎn)期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預(yù)期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應(yīng)使遠(yuǎn)期價值在簽署合約時等于零。

－在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠(yuǎn)期價值將隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化而變化。2021/5/95遠(yuǎn)期的定價無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價2021/5/96無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價值

例：構(gòu)建如下兩種組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭f

加上一筆數(shù)額為K的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)S

根據(jù)無套利原則，這兩種組合在t時刻的價值必須相等

f+K=Sf=S－K

2021/5/97無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價2021/5/98現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價定理例如：考慮一個股票遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票不支付紅利。合約的期限是3個月，假設(shè)標(biāo)的股票現(xiàn)在的價格是30元，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險年利率為4%。那么這份遠(yuǎn)期合約的合理交割價格應(yīng)該為：如果市場上該合約的交割價格為30.10元，則套利者可以賣出股票并將所得收入以無風(fēng)險利率進(jìn)行投資，期末可以獲得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市場上的遠(yuǎn)期合約的交割價格大于30.30元，套利者可以借錢買入股票并賣出遠(yuǎn)期合約，期末也可以獲得無風(fēng)險的利潤。2021/5/99支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價的一般方法

例：構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為K的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。f+K=S－If=S－I－K2021/5/910支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價公式遠(yuǎn)期價格（F）就是使合約價值（f）為零的交割價格（K）即當(dāng)f=0時，K=F，F(xiàn)=(S－I)

證明（反證法）2021/5/911現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價公式例：假設(shè)黃金的現(xiàn)價為每盎司450美元，其存儲成本為每年每盎司2美元，在年底支付，無風(fēng)險年利率為7%。則一年期黃金遠(yuǎn)期價格為：

F=(450－I)其中，I=－2

=－1.865，故：

F=(450+1.865)

=484.6美元/盎司2021/5/912支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價構(gòu)建如下兩個組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為K的現(xiàn)金組合B：單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計算的已知收益率2021/5/913支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價公式遠(yuǎn)期價格（F）就是使合約價值（f）為零的交割價格（K）即當(dāng)f=0時，K=F，

證明（反證法）2021/5/914現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價公式例：A股票現(xiàn)在的市場價格是25美元，年平均紅利率為4％，無風(fēng)險利率為10％，若該股票6個月的遠(yuǎn)期合約的交割價格為27美元，求該遠(yuǎn)期合約的價值及遠(yuǎn)期價格:

遠(yuǎn)期合約多頭的價值遠(yuǎn)期價格2021/5/915遠(yuǎn)期和期貨的定價模型持有成本模型風(fēng)險收益模型2021/5/916持有成本模型完全市場假設(shè)下的期貨定價投資性資產(chǎn)期貨合約的定價消費(fèi)性資產(chǎn)期貨合約的定價非完全市場情況下的期貨定價存在交易成本的時候借貸存在利差的時候存在賣空限制的時候2021/5/917完全市場假設(shè)下的期貨定價投資性資產(chǎn)期貨合約的定價持有成本＝保存成本＋利息成本－標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益如果我們用C表示持有成本，那么，投資性資產(chǎn)的期貨價格就為：2021/5/918完全市場假設(shè)下的期貨定價2021/5/919非完全市場情況下的期貨定價

存在交易成本的時候：假定每一筆交易的費(fèi)率為Y，那么不存在套利機(jī)會的遠(yuǎn)期價格就不再是確定的值，而是一個區(qū)間：2021/5/920非完全市場情況下的期貨定價

借貸存在利差的時候：如果用表示借入利率，用表示借出利率，對非銀行的機(jī)構(gòu)和個人，一般是。這時遠(yuǎn)期和期貨的價格區(qū)間為：2021/5/921非完全市場情況下的期貨定價

存在賣空限制的時候：假設(shè)保證金比例為X，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：2021/5/922

如果上述三種情況同時存在，遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：完全市場可以看成是的特殊情況。2021/5/923羅斯等證明：當(dāng)無風(fēng)險利率恒定，且對所有到期日都不變時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等當(dāng)利率變化無法預(yù)測時，遠(yuǎn)期價格和期貨價格就不相等遠(yuǎn)期價格和期貨價格的差異幅度還取決于合約有效期的長短。遠(yuǎn)期和期貨的價格關(guān)系2021/5/924風(fēng)險收益模型●例如，市場預(yù)期某一不易保存的商品3個月后的現(xiàn)貨市場價格為$10，而當(dāng)前市場上3個月后到期的該商品的期貨價格為$12。假設(shè)市場預(yù)期是準(zhǔn)確的，則投機(jī)者可以通過賣出該期貨合約，等合約到期時再從現(xiàn)貨市場上買入該商品進(jìn)行實物交割，從而獲得$2的投機(jī)利潤。反之，如果當(dāng)前市場上該商品期貨合約的價格為$8，則投機(jī)者可以通過買入該期貨合約，待合約到期時接受實物交割，再拿到現(xiàn)貨市場上去賣，從而獲得$2的投機(jī)利潤。2021/5/925期貨價格與預(yù)期即期價格預(yù)期即期價格：市場對于在將來某時刻資產(chǎn)的即期價格的一般觀點(diǎn)。2021/5/926期貨價格與預(yù)期即期價格凱恩斯和?？怂梗喝绻麑_者傾向于持有短頭寸而投機(jī)者傾向于持有長頭寸，則資產(chǎn)期貨價格會低于預(yù)期即期價格。反之，資產(chǎn)期貨價格會高于預(yù)期即期價格。2021/5/927期貨價格與預(yù)期即期價格風(fēng)險與收益學(xué)說：當(dāng)期貨標(biāo)的資產(chǎn)存在系統(tǒng)性風(fēng)險，期貨價格并非預(yù)期即期價格的無偏估計標(biāo)的資產(chǎn)資產(chǎn)期望收益率k與無風(fēng)險收益率r期貨價格F與預(yù)期即期價格E(S)無系統(tǒng)風(fēng)險k=rF=E(S)正系統(tǒng)風(fēng)險k>rF>E(S)負(fù)系統(tǒng)風(fēng)險K<rF<E(S)2021/5/928期貨價格與預(yù)期即期價格正常期貨溢價（遠(yuǎn)期貼水）:期貨價格低