關(guān)注數(shù)學(xué)解題反思,提高綜合思維能力

關(guān)注數(shù)學(xué)解題反思,提高綜合思維能力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)學(xué)會在分析、探索和解決問題之后，思考和探索正確的思維方式和思維習(xí)慣。在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)中感受到,不少學(xué)生在認(rèn)真完成作業(yè)或進行大量的解題練習(xí)后,仍對數(shù)學(xué)的嚴(yán)密的邏輯、無窮的變化、高度的抽象和紛繁的演算感到難予駕馭。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題,但究竟能否學(xué)好,并不完全在于解題的多少,在于怎樣正確有效地對數(shù)學(xué)問題的分析思索和找到較好解決方案,因此,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣方式比按部就班地傳授知識更重要、更有效。要迅速提高數(shù)學(xué)解題能力,培養(yǎng)正確的思維方法和良好的思維習(xí)慣,有諸多的條件和因素,但觀察到這些同學(xué)普遍欠缺一個重要環(huán)節(jié):解題反思。一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過一番艱辛探索、苦思冥想解出答案之后,必須認(rèn)真進行解題反思探索,類似于下圍棋結(jié)束后的“復(fù)盤”:要反思命題的意圖是什么?考核我們哪些方面的概念、知識和能力?驗證解題結(jié)論是否正確合理,命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備?求解論證過程是否判斷有據(jù),嚴(yán)密完善?本題有無其他解法——一題多解?眾多解法中哪一種最簡捷?把本題的解法和結(jié)論進一步推廣,能否得到更有益的普遍性結(jié)論——舉一反三,多題一解?……如此種種,就是”解題反思”。許多同學(xué)完成作業(yè),因為學(xué)習(xí)態(tài)度和心理狀態(tài)的不同,或者老師缺少必要的指導(dǎo)和訓(xùn)練,大部分都缺少這一重要環(huán)節(jié),未能形成良好的解題習(xí)慣,解題能力和思維品質(zhì)未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),也就只能登堂而未能入室。為了培養(yǎng)正確的思維方法和良好的思維習(xí)慣,應(yīng)該倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進行有效的解題反思。解題反思有利于培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方法和良好的思維習(xí)慣,其積極意義有如下幾個方面。一、為學(xué)生學(xué)題出現(xiàn)錯誤,應(yīng)注意使用的問題在解題的思索過程起始,先要進行審題,從整體上全面把題意和習(xí)題有關(guān)的知識以及知識結(jié)構(gòu)思考清楚,找出直接或間接條件,以便得出解題入手處和解題方案;接著的一個思索過程是思考自己已掌握和運用過的方法能否有助于解題,思考找到解決現(xiàn)有問題的方法以至于較好的方法。通過這一思索過程,回想關(guān)聯(lián)類似的解題方法;第三個思索過程著重于考慮解題入手處與步驟的正確性,并思索找到解題方法有無定勢思維負(fù)效應(yīng)等等。解數(shù)學(xué)題,有時由于審題不確,概念不清,忽視條件,套用相近知識,考慮不周或計算出錯,難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤,即學(xué)生解數(shù)學(xué)題,不能保證一次性正確和完善。所以解題后,必須對解題過程進行回顧和評價,對結(jié)論的正確性和合理性進行驗證。可是一些同學(xué)把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù),解完題目萬事大吉,頭也不回,揚長而去。由此產(chǎn)生大量謬誤,應(yīng)該引以為戒。1.以特殊代替一般,“瞞天過?！?。高一代數(shù)作業(yè)題:證明函數(shù)f(x)=-x3+1在(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù)。一些學(xué)生這樣證明:∵f(-1)=2,f(-2)=9,f(-3)=28,…這是非常明顯的錯解。有同學(xué)對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a(a>0且a≠1)不分青紅皂白,不管指數(shù)函數(shù)的增減性,把解方程的方法套用于解不等式,并且不理會對數(shù)函數(shù)的定義域,手到擒來,草率下結(jié)論。解后不加反思,造成大錯。2.臆造“定理”,判斷無據(jù),以日常概念代替科學(xué)概念?！按怪庇谕恢本€的兩條直線平行”判定定理這一相近知識套用到立體幾何中來,臆造“定理”,判斷無據(jù)。以上常見的學(xué)生解題錯誤,不勝枚舉,有的明顯可見,有的稍為隱蔽,但只要學(xué)生自己解題后能認(rèn)真進行反思,是不難發(fā)現(xiàn)并及時予以糾正的?？上Р簧偻瑢W(xué)只滿足于一知半解,解完了事,不加探索回顧,任其漏洞百出。這種錯誤思想和做法,像蛀蟲一樣嚴(yán)重蛀蝕著學(xué)生的思維品質(zhì),影響學(xué)生正確的思維方法和良好的思維習(xí)慣的培養(yǎng)。由此可見,解題反思的積極意義及其重要性,必須引起師生在教學(xué)中的足夠重視。二、思想政治教育可以提高學(xué)生的思維素養(yǎng)數(shù)學(xué)知識有機聯(lián)系縱橫交錯,解題思路靈活多變,解題方法途徑繁多,但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確,也未必能保證一次性解題就是最佳思路,最優(yōu)最簡捷的解法。不能解完題就此罷手,如釋重負(fù)。應(yīng)該進一步反思,探求一題多解,多題一解的問題,開拓思路,勾通知識,掌握規(guī)律,權(quán)衡解法優(yōu)劣,在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié),使自己的思維素養(yǎng)更勝一籌。1.一題多解。一題多解,既可看到知識的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運用,又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路:從左到右、從右到左、中間會師、轉(zhuǎn)化條件等。這些對提高學(xué)生思維素養(yǎng)是多么重要。例:分解因式a3-b3+a2b-ab2以上三種解法都受到“分組分解法”的定勢思維影響,觀察因式,反思拓展,發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=b和a=-b時,原式的值等于0,原式中必有(a+b)和(a-b)的因式,故可用“待定系數(shù)法”來分解因式;同時,也可觀察到原式可以變成一個以a為標(biāo)準(zhǔn)的二次三項式:a·a2+(ab-b2)a-b3,其中a2的系數(shù)是a,a的系數(shù)是(ab-b2),常數(shù)項是-b3,因此可用“十字相乘法”分解因式;還可觀察到,以a為標(biāo)準(zhǔn),原式可轉(zhuǎn)化為二次四項式:a3+b·a2-b2·a-b3,這樣又可用“綜合除法”來因式分解。解法四:用“待定系數(shù)法”分解因式當(dāng)a=b時,原式=b3-b3+b3-b3=0;當(dāng)a2=-b時,原式=-b3-b3+b3+b3=0;∴a3=-b3+a2b-ab2=(a-b)(a+b)(a+bk),解法五:用“十字相乘法”分解因式解法六:用“綜合除法”分解因式2.多題一解。8個不同元素排成前后兩排,每排4個元素,有多少種排法?8個不同元素排成3排,前排4個,中排3個,后排1個,有多少種排法?一步論證,從而可以推出這類題目的統(tǒng)一解法:n個元素排在n個位置上,后善于總結(jié),掌握規(guī)律,探求共性,再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問題,便會迎刃而解,發(fā)揮多題一解的優(yōu)勢。(三)和積互化公式不少同學(xué)做題,易犯就事論事,就題論題,”鐵路巡警,各管一段”的毛病,掌握的知識支離破碎,腦海一片空白。請看下面是如何在解題中小結(jié)三角函數(shù)和積互化公式的作用和應(yīng)用規(guī)律的。和差化積、積化和差是三角函數(shù)恒等變換的重要手段,和差化積實質(zhì)上是三角函數(shù)的一種特殊的”因式分解”,積化和差是其逆變換。1.和差化積是為了制造公因式例1在ΔABC中,比較sinA+sinB+sinC與sin(A+B+C)的大小。2.和差化積是為了制造特殊角例2證明sin87°-sin59°-sin93°+sin6°=sin1°3.和差化積是為了把和差角化為單角或特殊角例3證明cos2(α+β)+cos2(α-β))-cos2αcos2β=1(把和差角化為單角為2α,2β)和積互化公式的應(yīng)用規(guī)律是:制造公因式,制造特殊角,化和差角為單角或特殊角,制造抵消項。解題后如此反思,對重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理仿上依法炮制,長此下去,肯定對新學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系脈絡(luò)清楚,運用規(guī)律了如指掌,解起題來得心應(yīng)手,數(shù)學(xué)解題效