人教版 圓周角、圓內(nèi)接四邊形【十大題型】

PAGE1專題24.4圓周角、圓內(nèi)接四邊形【十大題型】【人教版】【題型1圓周角的運用】 2【題型2圓內(nèi)接四邊形的運用】 3【題型3利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值】 4【題型4利用圓的有關(guān)性質(zhì)進行證明】 5【題型5翻折中的圓的有關(guān)性質(zhì)的運用】 7【題型6利用圓的有關(guān)性質(zhì)求最值】 9【題型7利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】 10【題型8利用圓的有關(guān)性質(zhì)探究角或線段間的關(guān)系】 11【題型9利用圓的有關(guān)性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】 13【題型10構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】 14【知識點1圓周角定理及其推論】圓周角定理定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的圓心角度數(shù)的一半是所對的圓心角，是所對的圓周角，推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等和都是所對的圓周角推論2：直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑是的直徑是所對的圓周角是所對的圓周角是的直徑【題型1圓周角的運用】【例1】（2023春·山東泰安·九年級東平縣實驗中學?？计谀┤鐖D，⊙O的直徑是AB，∠BPQ=45°，圓的半徑是4，則弦BQ的長是（

）．

A．43 B．42 C．23【變式1-1】（2023春·廣西玉林·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，已知AB=4，CD=1，∠B=55°，∠C=65°，則BC=．

【變式1-2】（2023春·江西九江·九年級?？计谥校┤鐖D，△ABC內(nèi)接于☉O，AC=BC，連接OB，若∠C=52°，則∠OBC

【變式1-3】（2023春·湖北省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB為半圓的直徑，AB=10，點O到弦AC的距離為4，點P從出發(fā)沿BA方向向點A以每秒1個單位長度的速度運動，連接CP，當△APC為等腰三角形時，點P運動的時間是(

)A．145或4 B．145或5 C．4或5 D．【知識點2圓內(nèi)接四邊形】圓的內(nèi)接四邊形對角互補四邊形是的內(nèi)接四邊形【題型2圓內(nèi)接四邊形的運用】【例2】（2023春·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC．⊙O是△ABC的外接圓，D為弧AC的中點，E為BA延長線上一點．

(1)求證：∠B=2∠ACD；(2)若∠ACD=35°，求∠DAE的度數(shù)．【變式2-1】（2023春·陜西西安·九年級高新一中?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE，若∠BCD=2∠BAD，若連接OD，則∠DOE的度數(shù)是（

）A．30° B．35° C．45° D．60°【變式2-2】（2023春·浙江·九年級期中）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F，若∠E=α，∠F=β，且α≠β，則∠A=（用含有a、β的代數(shù)式表示）．【變式2-3】（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于點(1)求證：CD=DE；(2)若AB=12，AD=4，求CE的長度．【題型3利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值】【例3】（2023春·四川德陽·九年級四川省德陽中學校校考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，過B，C兩點的⊙O交AC于點D，交AB于點E，連接EO并延長交⊙O于點F．連接BF，CF，若∠EDC=135°，AE=2，BE=4，則CF的值為（

）．A．10 B．22 C．23【變式3-1】（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，則∠D的度數(shù)為（

）

A．20° B．50° C．40° D．25°【變式3-2】（2023春·山東濱州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AD⊥BC，垂足為點D，直徑AE平分∠BAD，交BC于點F，連接BE．(1)求證：BE=BF；(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值．【變式3-3】（2023春·廣東汕頭·九年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校┤鐖D1，四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O，E為BD延長線上一點，AD平分∠EDC.

(1)求證：AB=AC；(2)若△ABC為等邊三角形，則∠EDA=度；（直接寫答案）(3)如圖2，若CD為直徑，過A點作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半徑.【題型4利用圓的有關(guān)性質(zhì)進行證明】【例4】（2023春·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學?？计谀┤鐖D，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點D，∠ECB=120°．(1)求AB所對圓心角的度數(shù)；(2)連DB，DA，求證：(3)探究線段CD，【變式4-1】（2023春·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．證明：E是OB的中點．

【變式4-2】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，解答問題：關(guān)于圓的引理古希臘數(shù)學家、物理學家阿基米德流傳于世的數(shù)學著作有10余種，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中記載的一個命題：如圖1，AB是⊙O的弦，點C在⊙O上，CD⊥AB于點D，在弦AB上取點E，使DE=AD，點F是BC上的一點，且CF=CA，連接BF，則小穎對這個問題很感興趣，經(jīng)過思考，寫出了下面的證明過程：證明：如圖2，連接CA，CE，CF，BC，∵CD⊥AB于點D，DE=AD，∴CA=CE．∴∠CAE=∠CEA．∵CF=∴CF=CA（依據(jù)1），∠CBF=∠CBA．∵四邊形ABFC內(nèi)接于⊙O，∴∠CAB+∠CFB=180°．（依據(jù)2）……(1)上述證明過程中的依據(jù)1為，依據(jù)2為；(2)將上述證明過程補充完整．【變式4-3】（2023春·江蘇泰州·九年級?？计谀┮阎袿為△ACD的外接圓，AD=CD．(1)如圖1，延長AD至點B，使BD=AD，連接CB．①求證：△ABC為直角三角形；②若⊙O的半徑為4，AD=5，求BC的值；(2)如圖2，若∠ADC=90°，E為⊙O上的一點，且點D，E位于AC兩側(cè)，作△ADE關(guān)于AD對稱的圖形△ADQ，連接QC，試猜想QA,QC,QD三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．【題型5翻折中的圓的有關(guān)性質(zhì)的運用】【例5】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將⊙O上的BC沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將BD沿BD翻折交BC于點E，連接DE．若AD＝2OD，則DEAB的值為（

A．36 B．63 C．33【變式5-1】（2023春·湖北恩施·九年級期末）如圖，AB為⊙O的一條弦，C為⊙O上一點，OC∥AB．將劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于點D．若D為翻折后弧AB的中點，則∠ABC＝（）A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°【變式5-2】（2023春·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點，將劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于點D，連接CD，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，則∠DCA=．【變式5-3】（2023春·浙江金華·九年級浙江省義烏市稠江中學?？计谥校┰凇袿中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連接CD．(1)如圖1，若點D與圓心O重合，AC=3，求⊙O的半徑r(2)如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=20°，請求出(3)如圖2，如果AD=6，DB=2，求AC的長．【題型6利用圓的有關(guān)性質(zhì)求最值】【例6】（2023春·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，AB=23，∠ACB=75°，∠ABC=60°，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則∠BAC=；EF的最小值為

【變式6-1】（2023春·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的弦AB長為2，CD是⊙O的直徑，∠ADB=30°,∠ADC=15°．①⊙O的半徑長為．②P是CD上的動點，則PA+PB的最小值是．【變式6-2】（2023春·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，以邊CD為直徑作半圓O，E是半圓O上的動點，EF⊥DA于點F，EP⊥AB于點P，設EF=x，EP=y，則x2+yA．23?1 B．4?23 C．2【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學校考期末）如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點，P為弧AC上任意一點，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC=6，則CD的最小值為．【題型7利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】【例7】（2023春·湖北武漢·九年級校考期末）如圖，△ABC的兩個頂點A、B在⊙O上，⊙O的半徑為2，∠BAC=90°，AB=AC，若動點B在⊙O上運動，OC=m，則m的取值范圍是．【變式7-1】（2023春·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┤鐖D，弧BE是半徑為6的圓D的14圓周，C點是BE上的任意一點，△ABD是等邊三角形，則四邊形ABCD的周長PA．12＜P≤18 B．18＜P≤24 C．18＜P≤18＋62 D．12＜P≤12＋62【變式7-2】（2023春·福建福州·九年級?？计谥校┤鐖D，⊙O的直徑為10，A、B、C、D是⊙O上的四個動點，且AB＝6，CD＝8，若點E、F分別是弦AB、CD的中點，則線段EF長度的取值范圍是（）A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6【變式7-3】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑是1．過⊙O上一點P作等邊三角形PDE，使點D，E分別落在x軸、y軸上，則PD的取值范圍是．【題型8利用圓的有關(guān)性質(zhì)探究角或線段間的關(guān)系】【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D、E三點依次在半圓O上，若∠C=α，∠E=β，則α與β之間的關(guān)系是（

）A．α+β=270° B．α+β=180° C．β=α+90° D．β=【變式8-1】（2023·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是AB上任意一點（不與點A、B重合），連AP、BP，過點C作CM//BP交PA的延長線于點M.（1）求∠APC和∠BPC的度數(shù)（2）探究PA、PB、PM之間的關(guān)系（3）若PA=1，PB=2，求四邊形PBCM的面積．【變式8-2】（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，AB=BC，延長DA到點E，使得BE=BD．(1)若AF平分∠CAD，求證：BA=BF；(2)試探究線段AD，CD與【變式8-3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．

(1)更換定理的題設和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥AB于點E，則AE=BE．請證明此結(jié)論；(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是劣弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE=PE+PB．可以通過延長DB、AP相交于點F，再連接AD證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是優(yōu)弧ACB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．【題型9利用圓的有關(guān)性質(zhì)判斷多結(jié)論問題】【例9】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，且∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∠ACB的平分線交⊙O于D，下列4個判斷：①⊙O的半徑為5；②CD的長為72；③在BC弦所在直線上存在3個不同的點E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直線上存在2個不同的點F，使得△CDF是直角三角形；正確判斷的個數(shù)有（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式9-1】（2023春·廣東湛江·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，MN是⊙O的直徑，作AB⊥MN，垂足為點D，連接AM，AN，點C為AN上一點，且AC=AM，連接CM，交AB于點E，交AN于點F，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①AD=BD；②∠MAN=90°；③AM=BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式9-2】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）已知如圖，點O為△ABD的外心，點C為直徑BD下方弧BCD上一點，且不與點B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，則下列對AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系判斷正確的是（）A．AC=BC+CDB．2AC=BC+CDC．3AC=BC+CDD．2AC=BC+CD【變式9-3】（2023春·浙江·九年級期末）在一次探究活動中，方方完成了如下的尺規(guī)畫圖過程：第一步：在半徑為1的⊙O上任取一點A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB=BC=CD；第二步：分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．畫圖后，他得出兩個結(jié)論：①AF的長為2；②△ACF的面積為3+34，則（A．①正確，②正確B．①正確，②錯誤C．①錯誤，②正確 D．①錯誤，②錯誤【題型10構(gòu)造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】【例10】（2023春·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，