費(fèi)馬點(diǎn)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用德化三中陳為燒2021/5/91學(xué)習(xí)情境

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問題：在三角形所在平面上，求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。人們稱這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”。這是一個(gè)歷史名題。近幾年中考數(shù)學(xué)出現(xiàn)過不少這類問題。

你聽說過費(fèi)馬點(diǎn)嗎?2021/5/92

本節(jié)課我們將了解這個(gè)問題的產(chǎn)生、形成、推理和論證過程及應(yīng)用．

2021/5/93

費(fèi)馬點(diǎn)——就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)定義ABCP如圖,P為△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若P到△ABC三頂點(diǎn)的距離之和為PA+PB+PC,當(dāng)點(diǎn)P哪點(diǎn)時(shí),距離之和最小。2021/5/94如何找點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最??？找費(fèi)馬點(diǎn)方法

若三角形3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。ABCP2021/5/95費(fèi)馬點(diǎn)證明2021/5/96將△BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°到△BP′C′

的位置,連接PP′,則△BPP′為正三角形.∴PA+PB+PC=PA+PP′+P′C≥AC′.當(dāng)A、P、P′、C′在同一直線上,即∠APB=180°-BPP’=120°∠BPC=∠BPC′

=120°時(shí),PA+PB+PC=AC′為最小值證明：證明：2021/5/972.若三角形有一個(gè)角大于120°，則費(fèi)馬點(diǎn)為三角形鈍角的頂點(diǎn)。1.若三角形3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角.結(jié)論2021/5/98P三角形最大角小于1200費(fèi)馬點(diǎn)如何畫？2021/5/99距離之和的最小值如何求？2021/5/910等腰Rt△ABC，邊AB=4，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是

。

例1：等腰直角三角形類型知識(shí)運(yùn)用2021/5/911已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng)．練習(xí)：2021/5/912已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸水管總長(zhǎng)度的最小值.例2：2021/5/913若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如圖1，若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4,則PB的值

；（2）如圖2，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=PA+PB+PC．例3：2021/5/9141.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).作業(yè)：2021/5/9152.小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1,△ABC中，∠ACB=30o，BC=6，AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題．他的做法是，如圖2，將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到△EDC，連接PD、BE，則BE的長(zhǎng)即為所求．（1）請(qǐng)你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：①如圖3，菱形ABCD中，∠ABC=60o，在菱形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指