逆矩陣的計算

★逆矩陣的概念★矩陣可逆的條件★逆矩陣的求法§3逆陣

下頁矩陣之間沒有定義除法，而數(shù)的運算有除法，本節(jié)相對于實數(shù)中的除法運算，引入逆矩陣的概念。2021/5/91則說方陣

A是可逆的，并把方陣

B稱為

A的逆矩陣。逆陣的概念注意：只有方陣才有逆矩陣的概念。

由定義即得：當B為A的逆矩陣時，A也是B

的逆矩陣。例如

因為AB=BA=E，所以B是A的逆矩陣，同樣A也是B的逆矩陣。定義7

對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使AB=BA=E，上頁下頁返回2021/5/92B=A-1

。

如果方陣A是可逆的，則

A的逆陣一定是唯一的。這是因為：設B、C都是

A的逆矩陣，則有B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C，所以A的逆陣是唯一的。A的逆陣記作A-1。即若AB=BA=E，則例如因為AB=BA=E，所以B是A的逆陣，即A-1

=B上頁下頁返回2021/5/93

定理1

若方陣

A可逆，則

A的行列式不等于

0。

證A可逆，即有A-1

，使

AA-1

=E，故|A||A-1

|=|E|=1，所以|A|≠0。矩陣可逆的條件例如易見AB=BA=E，即A可逆。此時|A|=1≠0。

定理1表明，可逆陣的行列式一定不等于零。這個結論反過來也成立。請看下面的定理2。上頁下頁返回2021/5/94

定理2

若A的行列式不等于0，則A可逆，且

證由例9知AA*=A*A=|A|E，上頁下頁返回2021/5/95

當|A|=0時，A稱為奇異方陣，否則稱為非奇異陣。B=EB=（A-1

A）B=A-1

（AB）=A-1

E=A-1

。

由定理1和定理2可得：矩陣A是可逆方陣的充分必要條件是|A|≠0。推論若AB=E（或BA=E），則B=A-1

。證因為|A||B|=|E|＝1，故|A|≠0，因而A-1存在，于是上頁下頁返回2021/5/96注：定理2可用來求一些矩陣的逆矩陣。例如故A可逆。

需要說明的是：通常利用伴隨陣A*來計算A的逆矩陣的方法只限于階數(shù)不超過3的矩陣，否則計算量可能很大。對于階數(shù)高于3的矩陣，以后將介紹用初等變換的方法來求逆矩陣。上頁下頁返回2021/5/97方陣的逆陣滿足下述運算規(guī)律：證證上頁下頁返回2021/5/98其中

k為正整數(shù)。定義上頁下頁返回2021/5/99A11=2，A21=6，A31=－4，A12=－3，A22=－6，A32=5，A13=2，A23=2，A33=－2，例9解經(jīng)計算可得：|A|=2≠0，知A可逆。求方陣上頁下頁返回2021/5/910求矩陣X使?jié)M足AXB=C。例10

設

若A-1

，B-1

存在，則由A-1左乘AXB=C，又用B-1右乘AXB=C，有A-1

AXBB-1

=A-1

CB-1

，即X=A-1

CB-1

。分析：上頁下頁返回2021/5/911解上頁下頁返回2021/5/912矩陣的運算小結一、已定義過的運算：★矩陣與矩陣的加、減法；★矩陣與數(shù)的乘積；★矩陣與矩陣的乘積；★方陣的行列式；★逆矩陣；★矩陣的轉置。上頁下頁返回2021/5/913二、不允許出現(xiàn)的“運算”：★矩陣與數(shù)的加、減法；★矩陣與矩陣相除；★數(shù)除以矩陣。矩陣的運算中矩陣不能出現(xiàn)在“分母”中。這與行列式是根本不同的。因為行列式是“數(shù)”，當這個數(shù)不等于零時，就可以出現(xiàn)在分母中，因此行列式可以出現(xiàn)在分母中。上頁下頁返回2021/5/914三、矩陣運算中要注意的地方★以下運算都只有方陣才有：

(1).逆矩陣；

(2).方冪；

(3).矩陣的行列式?！锞仃嚨某朔ㄍǔ]有交換律、消去律?！飪蓚€非零矩陣相乘的結果可能是零矩陣?！镉靡粋€數(shù)去乘以矩陣與用一個數(shù)去乘以行列即當兩個矩陣的乘積為零矩陣時，不能推出其中必有一個為零矩陣。式是不同的。上頁下頁返回2021/5/915解又Ex.4上頁下頁返回2021/5/916于是上頁下頁返回2021/5/917也可以直接按定義來驗證這一結論。上頁下頁返回2021/5/918解Ex.5上頁下頁返回2021/5/919解Ex.6上頁下頁返回2021/5/920上頁下頁返回2021/5/921上頁返回2021/5/922設給定一個線性變換：它的系數(shù)矩陣是一個n

階方陣A，上頁下頁返回2021/5/923則線性變換(7)可記為Y=AX.(8)記上頁下頁返回2021/5/924按克拉默法則，若|A|≠0，則由（7）可解出即x1,x2,….,xn可用y1,y2,…,yn

線性表示為：上頁下頁返回2021/5/925

從(8)、(10)兩式分析變換所對應的方陣A與逆變換所對應的方陣B之間的關系：將(10)代入(8)，可得線性變換(9)稱為線性變換(7)式的逆變換。若把(9)的系數(shù)矩陣記為B，則(9)也可寫成X=BY(10)Y=A(BY)=(AB)Y，可見AB為恒等變換所對應的矩陣，故AB=E。Y=AX.(8)前面已得