2014年第25屆亞太杯第一回合試題 答案

2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合2小時(shí)（總分：150分）2014年4月12日上午9:001100（注意事項(xiàng)）第一題至第十題，每題4分第十一題至第二十題，每題5分第二十一題至第三十題，每題6分1題】甲乙兩位同學(xué)在300米的環(huán)形跑道上練習(xí)賽跑。兩人在同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而行。已知甲的平均速度是每秒5米，乙的平均速度是每秒4.2米，請(qǐng)問當(dāng)甲第一次從后面追上乙的時(shí)候，甲已經(jīng)跑滿了多少圈？【分析與解】行程，環(huán)形跑道，追及問題。當(dāng)甲第一次從后面追上乙，用時(shí)30054.2375秒；當(dāng)甲第一次從后面追上乙的時(shí)候，甲跑了53751875米；18753006??75，當(dāng)甲第一次從后面追上乙的時(shí)候，甲已經(jīng)跑滿了6圈。2題】以下四個(gè)數(shù)字中，哪一個(gè)是完全平方數(shù)？【分析與解】數(shù)論，完全平方數(shù)。（方法一）一個(gè)整數(shù)的平方數(shù)被4除余0或1，即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。921438382mod4，76186862mod4，750235353mod4；故921438、76186、750235均不是完全平方數(shù)；而266016116312，是完全平方數(shù)；故選⑷。（方法二）如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。921438和750235的十位數(shù)字是奇數(shù)，但個(gè)位數(shù)字不是6；76186的個(gè)位數(shù)字是6，但十位數(shù)字不是奇數(shù)；故921438、76186、750235均不是完全平方數(shù)；而266016116312，是完全平方數(shù)；故選⑷。3題】AB28cmBCD是半圓圓弧的中點(diǎn)。試求陰（取22）7A BDC【分析與解】幾何，巧求面積，割補(bǔ)。（方法一）EA BEDCEDEBD；SABDABBE228142196平方厘米；S扇形BED

1BE2114249平方厘米；4 4S△BEDBEDE21414298平方厘米；S弓形BDS扇形BEDS△BED4998平方厘米；

19649984998492298252平方厘米。7（方法二）EEA B A BEED DC CEDEBD；因?yàn)椤鰽BC和△BDE都是等腰直角三角形；所以ACBDBE45；ACBD；SABDS△CBD；S扇形BED

1BE2114249平方厘米；4 4S△CEDCEDE21414298平方厘米；S S

S 4998492298252平方厘米。陰影 BED

△CED 74題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合在77的棋盤上放紅、黑、白各1枚棋子，如果三種顏色的棋子兩兩不能放在同一行或同一列，那么不同的放法有多少種？【分析與解】計(jì)數(shù)，乘法原理。先放紅子，有7749個(gè)格子可以放；再放黑子，有6636個(gè)格子可以放；最后放白子，有5525個(gè)格子可以放；由乘法原理，有49362544100種不同的放法。5題】六只袋子分別裝有18，19212325和34枚硬幣，其中一只袋子裝的全是假的硬幣，其他五只袋子不硬幣的總枚數(shù)比小敏多一倍，那么假的硬幣有幾枚？即小聰?shù)玫接矌诺目偯稊?shù)是小敏的2倍；所以小聰和小敏得到硬幣的總枚數(shù)是小敏的3倍；即小聰和小敏得到硬幣的總枚數(shù)是3的倍數(shù)；則六只袋子裝的硬幣的總枚數(shù)與剩下的那袋假幣的枚數(shù)模3同余；180mod3，191mod3，210mod3，232mod3，251mod3，19192123253401021152mod3；故假的硬幣有23枚。

；6題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合將數(shù)碼123456789abcdefghi。如果defefgfghghiA的最大可能的值。【分析與解】數(shù)論，位值原理；極值問題。defefgfghghia100b110cdefg111h11i1；A盡可能的大；則從大到小依次考慮cde,fgbahi；當(dāng)cde,fg9,87,65b4a3h2i1時(shí)，A最大，為9876511141103100211114648。7題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合如圖所示，將一張正方形的紙對(duì)折兩次后，沿虛線剪開。請(qǐng)問以下哪一個(gè)選項(xiàng)是展開后的圖形？⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸還原問題。故選⑷。8題】20142013201320142013201320142014?！痉治雠c解】計(jì)算，乘法分配律及提取公因數(shù)。20142013201320142013201320142014201420132013201420132013201420131201420132013201420132013201420132013201312014201320132014201320132014201320132013201420132013201420132013201320132014201312013201320142013201320131000009題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合甲，乙，丙，丁四位同學(xué)參加了一個(gè)科學(xué)小測(cè)驗(yàn)。該測(cè)驗(yàn)只有5道是非題，每答對(duì)一題得1分。以下表格提供了每一位同學(xué)的答案以及甲，乙，丙所得的分?jǐn)?shù)。請(qǐng)問丁得了幾分？第一題第二題第三題第四題第五題總分甲是非非非非2乙非是非非是3丙非是非是是4丁非是是非是邏輯推理。1；比較甲和?。杭缀投〉谝弧⒍?、三、??題答案恰好相反；故第一、二、三、??題，甲和丁的得分之和為4分；而甲和丁的第四題都不得分；故甲和丁的得分之和為4分；則丁得了422分。10題】

1 5 11 ?

89。 12 23 34 910 【分析與解】計(jì)算，分?jǐn)?shù)數(shù)列，裂項(xiàng)。

511

?

89101161121?901 12 23 34 910 12 23 34 910 111

1?1

1

34

910 10111?11

11

?

1 ,

12 23 34 910

9個(gè)1

111111?119

22 33 4 9 10 10911108

80181

10 10 PAGE12題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合N，被37，11除的余數(shù)分別是13和8N的最大值?！痉治雠c解】數(shù)論，同余，物不知數(shù)。（方法一）N11余8N11a8；N7余3，則11a87余34a17余3；a最小是4N是114852；N77余52N77b52；N3余1，則77b523余12b13余1；b最小是0N7705252；N231余數(shù)52；9992314??75；N最大是231452976。（方法二）3,7,113711231；N3733112711228352mod231；9992314??75；N最大是231452976。）作為頂點(diǎn)，可以畫出多少個(gè)三角形？D 98 7 C610 511 4121 23 B畫出一個(gè)三角形需要3個(gè)頂點(diǎn)，從12個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)，有C3

121110220種選法；321其中，三個(gè)點(diǎn)在一條線上的是不能構(gòu)成三角形，這樣的情況有4種；故可以畫出2204216個(gè)三角形。13題】共少砌48塊磚。為了盡快完工，老板還是請(qǐng)甲乙兩人合作，結(jié)果6小時(shí)完工。請(qǐng)問這堵墻有多少塊磚組成？工程問題。設(shè)工作總量為1；甲的工作效率為1101；10乙的工作效率為1111；11實(shí)際甲、乙兩人的工作效率為161；61114；這堵墻有48

4165

塊磚組成。

10 11 6 165PAGE14題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合EA，B，C的面積分別為18cm2，63cm2和189cm2D的周長(zhǎng)。ABEDC【分析與解】幾何，周長(zhǎng)與面積，比例。AB、CD可以拼成一個(gè)正方形。ABDCS長(zhǎng)方形AS長(zhǎng)方形CS長(zhǎng)方形BS長(zhǎng)方形D；S長(zhǎng)方形DS長(zhǎng)方形AS長(zhǎng)方形CS長(zhǎng)方形B181896354平方厘米；AB、CD所拼成的正方形的面積為186318954324平方厘米，邊長(zhǎng)為18厘米；D的長(zhǎng)與長(zhǎng)方形C的長(zhǎng)之比為5418927；18

2

4厘米；DA的寬之比為541831；18

3

厘米；D的周長(zhǎng)為413.5235厘米。如果將2014的每一天的日期都寫成八位數(shù)的形式，例如20140125代表2014年125日，有多少個(gè)八位數(shù)中數(shù)碼‘120’出現(xiàn)次數(shù)相同？計(jì)數(shù)。設(shè)2014的每一天的日期都能寫成八位數(shù)2014ABCD的形式；其中，前四位數(shù)碼‘120’出現(xiàn)次數(shù)相同；則后四位數(shù)碼‘120’出現(xiàn)次數(shù)相同。AB01或10CD23~29，有2714種；AB02CD13~19，有7種；AB03~09CD12或21，有7214種；11時(shí)，不存在；AB12CD03~09或30，有8種；綜上所述，有47483個(gè)八位數(shù)中數(shù)碼‘120’出現(xiàn)次數(shù)相同。16題】有47個(gè)不同的正整數(shù)，它們的和是2014。那么這47個(gè)正整數(shù)中至少有多少個(gè)偶數(shù)？極值問題。根據(jù)奇偶性，要使這47個(gè)不同的正整數(shù)和為偶數(shù)，則這47個(gè)正整數(shù)中有奇數(shù)個(gè)偶數(shù)；,135?24622,從1開始連續(xù)46 3?24644224698214 從1開始連續(xù)44故這47個(gè)正整數(shù)中至少有3個(gè)偶數(shù)。PAGE17題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合AGB、CDEFDF和CG均為直線段。已知該半圓形的面積是60cm2，請(qǐng)問陰影部分的面積為多少cm2？DDCEBFAG【分析與解】幾何，圓與扇形。DDCEBFAOG設(shè)半圓形的圓心為點(diǎn)O，分別聯(lián)結(jié)OCAC；AOCO；SAOCS△COG；所以S S

S S S

S

S 2S

222S ；空白 ABC

△COG

半圓

3半圓所以S S S S 2S

1S 6020平方厘米。陰影 半圓 空白

3半圓

3半圓 36240km。才返回乙地。請(qǐng)問，兩車從第一次相遇到第二次相遇經(jīng)過了幾個(gè)小時(shí)？行程問題。從出發(fā)到第一次相遇一共了1個(gè)全程；從出發(fā)到第二次相遇一共了3個(gè)全程；因?yàn)閮绍囁俣炔蛔?；所以兩車從第一次相遇到第二次相遇?jīng)過了636113個(gè)小時(shí)。19題】將棱長(zhǎng)為1cm的正方體按照?qǐng)D中所示范的方法擺放，請(qǐng)問第20個(gè)幾何體的表面積是多少cm2？【分析與解】幾何，立體表面積。第20個(gè)幾何體的最下面一層每條邊有1201239個(gè)小正方體。上面、下面的面積分別是3921521平方厘米；前面、后面、左面、右面的面積是3390240平方厘米；從1開始連續(xù)20個(gè)奇數(shù)第20個(gè)幾何體的表面積是1521240044642平方厘米。20題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合小張有三塊手表，第一塊表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快2分鐘，第二塊表快6分鐘，第三塊表快16分鐘。如果現(xiàn)在三塊表的分針都指向同樣的方向，試問多少個(gè)小時(shí)后，三根分針再次指向同一方向？時(shí)鐘問題。第一塊表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快2分鐘，第二塊表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快6分鐘；則第二塊表比第一塊表每小時(shí)多走624小格；每60415小時(shí)，第一塊表和第二塊表分針指向同一方向；第一塊表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快2分鐘，第三塊表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快16分鐘；則第二塊表比第一塊表每小時(shí)多走16214小格；每601430小時(shí)，第一塊表和第三塊表分針指向同一方向；7

30 15,7

30小時(shí)后，三根分針再次指向同一方向。21題】在某一年之中，星期一比星期五多，星期天比星期三多。請(qǐng)問，這一年的3月1日是星期幾？周期問題。365752??1，366752??2；由題意，這一年星期天、星期一的天數(shù)各為52153天，星期二、星期三、星期四、星期??、星期六的天數(shù)各為52天；這一年是閏年；這一年的1月1日是星期天；閏年，1月1日到3月1日一共有3129161天；6178??5；這一年的3月1日是星期四。22題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合今有濃度為5，8，960克，60克和477的鹽水100克，試求甲種鹽水最多可用多少克？最少可用多少克？請(qǐng)寫下兩數(shù)之和，作為本題的答案。濃度問題。x克。⑴要使甲種鹽水盡可能多，則丙種鹽水要盡可能多；則丙種鹽水用47x克，乙種鹽水用10047x53x克；x5%53x8%479%1007%；x49；即甲種鹽水最多可用49克。⑵要使甲種鹽水盡可能少，則乙種鹽水要盡可能多；則乙種鹽水用60x克，丙種鹽水用10060x40x克；x5%608%40x9%1007%；x35；即甲種鹽水最少可用35克。故本題的答案為493584。23題】如圖，求標(biāo)有數(shù)字的12個(gè)角的度數(shù)和。645 378 212911110我們先證一個(gè)引理：2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合ACODBADBC相交于點(diǎn)OAB、CD，則ABCD。證明如下：ABAB80°CDCD80°（三角形內(nèi)角和等于10°；ABBCDCD（等量代換；BCD（對(duì)頂角相等；ABCD（等式性質(zhì)。645 3717 16188

1413123413141513；∵131415180°，1316；∴1234180°16；5678180°179101112180°18；∴123456789101112180°3161718；∵161718180°；123456789101112720。24題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合有一些正整數(shù)，它們除以5的余數(shù)與除以6的商之和等于11。求滿足這樣條件的所有數(shù)的和。⑴若這個(gè)數(shù)5的余數(shù)為0，則這個(gè)數(shù)6的商為11011；61166611571，從66~715余0的數(shù)有70；⑵若這個(gè)數(shù)5的余數(shù)為1，則這個(gè)數(shù)6的商為11110；61060610565，從60~655余1的數(shù)有61；⑶若這個(gè)數(shù)5的余數(shù)為2，則這個(gè)數(shù)6的商為1129；695469559，從54~595余2的數(shù)有57；⑷若這個(gè)數(shù)5的余數(shù)為3，則這個(gè)數(shù)6的商為1138；684868553，從48~535余3的數(shù)有48和53；⑸若這個(gè)數(shù)5的余數(shù)為4，則這個(gè)數(shù)6的商為1147；6742，67547，從42~47中，5余4的有44；故滿足這樣條件的所有數(shù)的和 。25題】N（21接寫在35的右面得3521NN600的正整數(shù)中有多少個(gè)“魔術(shù)數(shù)”？【分析與解】數(shù)論，約數(shù)倍數(shù)。N為一位數(shù)；N|10mNN|10m；mN|10；1025有11114個(gè)約數(shù)：12、5、10；N12、5。N為兩位數(shù)；N|100mNN|100m；mN|100；1002252有21219個(gè)約數(shù)：124、5、102025、50、100；N102025、50。N為三位數(shù)；N|1000mNN|1000m；mN|1000；10002353有313116個(gè)約數(shù)：124、5、8、10202540、50、100、125200250、500、1000；N100、125200250、500。綜上所述，在小于600的正整數(shù)中有12PAGE26題】2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合ABCDEADECFGH。如果該七邊形與原三角形的面積比是5:7，且折疊后的重疊部分面積是8cm2，試求原三角形ABC的面積。AHGDHGDF【分析與解】幾何，面積；量率對(duì)應(yīng)。S七邊形ADECFGHSABC57；又因?yàn)椤鰽BCADECFGH大的面積恰好為陰影部分；S七邊形ADECFGHSABCS陰影572；陰影8平方厘米；SABC82728平方厘米。從2014到6999的正整數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被5整除？【分析與解】計(jì)數(shù)，乘法原理。（方法一）先考慮2000~6999：千位數(shù)字可以是2~6，有5種選擇；百位數(shù)字可以是0~9，有10種選擇；十位數(shù)字可以是0~9，有10種選擇；4個(gè)數(shù)字相加個(gè)位是0或5，有2種選擇；（例如：千位是2、百位是0、十位是12013，最后個(gè)位只能選2或7）由乘法原理，從2000到6999的正整數(shù)中，有5101021000個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和能被5整除。而2000~2013中，各位數(shù)字之和能被5整除的數(shù)有200320082012；故從2014到6999的正整數(shù)中，有10003997個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被5整除。（方法二）我們考慮個(gè)位數(shù)字為0~9，且其余數(shù)位上的數(shù)字都相同的連續(xù)0個(gè)自然數(shù)（例如0~9；這樣的10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，數(shù)字之和也是連續(xù)的；而10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，有且僅有2個(gè)數(shù)能被5整除；故這樣的10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，有且僅有2個(gè)數(shù)它的數(shù)字之和能被5整除；2020~6999一共有4980個(gè)數(shù)，有4980102996個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和能被5整除；而2014~2019中，各位數(shù)字之和能被5整除的數(shù)有2017；故從2014到6999的正整數(shù)中，有9961997個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被5整除。如圖所示，在一張四邊被圍住，長(zhǎng)為9cm，寬為7cmA點(diǎn)以45度角的方向射出，E點(diǎn)后以45度角反彈，繼續(xù)向前滾動(dòng)。在整個(gè)運(yùn)行過程中，小球每次碰到桌邊就以45度角反彈。試問，A點(diǎn)出發(fā)后，小球經(jīng)過多少次反彈后第一次到達(dá)C點(diǎn)？D F CE9A 7 B【分析與解】（方法一）D 6 11 2 C71101235148A 13 4 9 B如圖所示，按照要求畫出球的路線圖，小球經(jīng)過14次反彈后第一次到達(dá)C點(diǎn)。（方法二）D F C F'EEA B2014201425屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合ABCDBC翻折；AEFAEF相同。當(dāng)小球再一次回到長(zhǎng)方形某個(gè)頂點(diǎn)的時(shí)候，與則原長(zhǎng)方形翻折組成圖形為一個(gè)正方形；9,79763；用63個(gè)長(zhǎng)7寬9的長(zhǎng)方形可以組成邊長(zhǎng)為63的正方形；小球經(jīng)歷的碰撞次數(shù)與小球穿過翻折面的次數(shù)相同；正方形的對(duì)角線穿過6371639114個(gè)翻折面；故當(dāng)小球再一次回到長(zhǎng)方形某個(gè)頂點(diǎn)的時(shí)候，它經(jīng)歷了14次碰撞。29題】從8ABCDEXYZ，任意選取5個(gè)字母（字母允許重復(fù)）（即英漢辭典中英語(yǔ)詞匯排列的順序）AAABBZZZZYZZZZZ。XCEDA之間（這兩個(gè)詞除外）的“詞”的個(gè)數(shù)?！痉治雠c解】數(shù)論，進(jìn)制與位置。我們將8ABCDEXYZ分別對(duì)應(yīng)數(shù)字0、12、34、5、6、7；AAABAAAABBZZZZYZZZZZ的排列順序與??位八進(jìn)制數(shù)00000000010000700010000117777