橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程()

§2.2橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線；

當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截線（平面與圓錐面的交線）是一個(gè)圓．

當(dāng)改變截面與圓錐面的軸的相對位置時(shí)，觀察截線的變化情況，并思考：●用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？

橢圓雙曲線拋物線生活中的橢圓

神舟六號(hào)在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里、近地點(diǎn)200公里的橢圓軌道運(yùn)行，后經(jīng)過變軌調(diào)整為距地343公里的圓形軌道.太陽系

拱橋的橋拱采用基于橢圓的優(yōu)化設(shè)計(jì)，無論從力學(xué)原理，還是從施工角度考慮都是優(yōu)越于傳統(tǒng)的圓弧型和拋物線型的。中國水利水電科學(xué)研究院研究表明：探究：橢圓有什么幾何特征？動(dòng)手試一試1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

1.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2．繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

1、橢圓的定義：M

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。注意：[3]常數(shù)要大于焦距[2]動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離的和是常數(shù)

[1]平面內(nèi)----這是大前提思考：是否平面內(nèi)到兩定點(diǎn)之間的距離和為定長的點(diǎn)的軌跡就是橢圓？

結(jié)論：（若

PF1＋PF2為定長）１）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2>F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓。２）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2＝

F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一條線段F1F2

。３）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2<F1F2時(shí),Ｐ點(diǎn)沒有軌跡。求曲線方程的一般步驟？設(shè)點(diǎn)建系列式代坐標(biāo)化簡、驗(yàn)證怎樣建立平面直角坐標(biāo)系呢？2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1、F2的距離的和為2a叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上。

焦點(diǎn)在y軸上，可得出橢圓它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx12yoFFMxy

xoF2F1M定義圖形方程焦點(diǎn)F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法：一定焦點(diǎn)位置；二設(shè)橢圓方程；三求a、b的值.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程兩種標(biāo)準(zhǔn)方程a>b>0,a>c>o,a2=b2+c2.x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上.思考一:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c的關(guān)系怎樣?思考二:如何由標(biāo)準(zhǔn)方程判定焦點(diǎn)位置?例1、已知橢圓的方程為：則a＝____，b＝____，c＝___，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：___，焦距等于____。該橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為8，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于______。1068(0,-8)、(0,8)1612練1判斷下列各橢圓的焦點(diǎn)位置，并說出焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦距。

（1）y軸（0,1）（0,-1）

（2）x軸2、將所表示的橢圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度，所得軌跡的方程是什么？練習(xí)3.動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是10，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）變式：(1)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）(2)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是7，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）A.橢圓B.線段F1F2C.直線F1F2D.無軌跡ABD例2．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－4，0）（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx.解：∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

3？思考一個(gè)問題:把“焦點(diǎn)在y軸上”這句話去掉，怎么辦？

定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

待定系數(shù)法：所求曲線方程的類型已知，則可以設(shè)出所求曲線的方程，然后根據(jù)條件求出系數(shù).用待定系數(shù)法求橢圓方程時(shí)，要“先定型，再定量”.求橢圓方程的一般方法：練.方程表示的曲線是橢圓，求k的取值范圍.變式：（1）方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求k的取值范圍.（2）方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0）的橢圓，求k的值.k>0且k≠5/4

k>5/4k＝1/4

練習(xí)、將圓x2+y2=上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線因?yàn)閤′2+y′2=4,所以x2+4y2=4,即這就是變換后所得曲線的方程,它表示一個(gè)橢圓oxy解：設(shè)所得曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），圓x2+y2=4上的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x′,y′),由題意可得P′P?íì=