第一章1.41.4.2第1課時(shí)距離問題高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第1課時(shí)距離問題第一章

用空間向量研究距離、夾角問題1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互

平行的平面間的距離問題.2.通過空間中距離問題的求解，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的

作用.學(xué)習(xí)目標(biāo)如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點(diǎn)A處，修建一個(gè)蔬菜存儲(chǔ)庫(kù).如何在公路上選擇一個(gè)點(diǎn)，修一條公路到達(dá)A點(diǎn)，要想使這個(gè)路線長(zhǎng)度理論上最短，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、點(diǎn)到直線的距離二、點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離內(nèi)容索引一、點(diǎn)到直線的距離問題1如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn).如何利用這些條件求點(diǎn)P到直線l的距離？知識(shí)梳理問題2

類比點(diǎn)到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？提示在其中一條直線上取定一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離.例1

在長(zhǎng)方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直線AC的距離.解方法一建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，過O1作O1D⊥AC于點(diǎn)D，設(shè)D(x，y，0)，方法二

連接AO1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，反思感悟用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量.(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練1

如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點(diǎn)P到BD的距離.解如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，二、點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離問題3

已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).如何求平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離？

提示過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，PQ＝

.知識(shí)梳理注意點(diǎn)：(1)實(shí)質(zhì)上，n是直線l的方向向量，點(diǎn)P到平面α的距離就是

在直線l上的投影向量

的長(zhǎng)度.(2)如果一條直線l與一個(gè)平面α平行，可在直線l上任取一點(diǎn)P，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解.(3)如果兩個(gè)平面α，β互相平行，在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解.例2

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，設(shè)DH⊥平面PEF，垂足為H，則(2)求直線AC到平面PEF的距離.解由題意得，AC∥EF，直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離，平面PEF的一個(gè)法向量為n＝(2,2,3)，反思感悟用向量法求點(diǎn)面距離的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n).跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱.若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為

求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高.解設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)，設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，取z＝1，得n＝(h，h，1)，解得h＝2.故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為2.1.知識(shí)清單：(1)點(diǎn)到直線的距離.(2)點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：對(duì)距離公式理解不到位，在使用時(shí)生硬套用.對(duì)公式推導(dǎo)過程的理解是應(yīng)用的基礎(chǔ).課堂小結(jié)隨堂演練解析∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，∴點(diǎn)A到直線BC的距離為1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點(diǎn)A到直線BC的距離為√12342.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是√1234解析分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(1,1,1)，3.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為√12341234解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為m＝(x，y，1)，故m＝(1,1,1)，顯然平面AB1C∥平面A1C1D，4.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線與l垂直，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為____.1234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則點(diǎn)D1到直線AC的距離為√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析方法一連接BD，AC交于點(diǎn)O(圖略)，12345678910111213141516方法二如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)，2.兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是√解析∵兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1,1)，123456789101112131415163.已知三棱錐O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，則點(diǎn)A到直線BC的距離為√解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，123456789101112131415164.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是√12345678910111213141516解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，

的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,12,0)，D1(0,0,5).設(shè)B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0).設(shè)平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，12345678910111213141516因?yàn)锽1C1∥平面A1BCD1，123456789101112131415165.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面B1EF的距離等于√12345678910111213141516則B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，E(2,1，2)，F(xiàn)(1,2,2).12345678910111213141516設(shè)平面B1EF的法向量為n＝(x，y，z)，令z＝1，得n＝(2,2,1).123456789101112131415166.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為√12345678910111213141516△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝

則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是________.3解析以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(4,0,0)，B(0,3,0)，123456789101112131415168.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑(bienao)，如圖.已知在鱉臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面MAB的距離為________.12345678910111213141516解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，由M為PC的中點(diǎn)可得M(1,1,1).12345678910111213141516設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABM的一個(gè)法向量，9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M到直線AC1的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，12345678910111213141516(2)求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離.解設(shè)平面MA1C1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)為平面MA1C1的一個(gè)法向量，因?yàn)镹(1,1,0)，10.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD與底面ABCD所成的角為45°.求點(diǎn)B到直線PD的距離.12345678910111213141516解∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.12345678910111213141516設(shè)E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，∵BE⊥DP，12345678910111213141516所以點(diǎn)B到直線PD的距離為1234567891011121314151611.如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足

則P到AB的距離為√12345678910111213141516綜合運(yùn)用解析如圖，分別以AB，AD，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，1234567891011121314151612.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，M為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1M＝λ(0<λ<2)，設(shè)點(diǎn)N為ME的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面D1EF的距離為√12345678910111213141516解析以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(xiàn)(2,2,1)，12345678910111213141516設(shè)平面D1EF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1,0,2)，13.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點(diǎn)，則直線MN到平面ACD1的距離為______.12345678910111213141516解析如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.12345678910111213141516設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，令x＝1，則y＝z＝1，∴n＝(1,1,1).12345678910111213141516故MN∥平面ACD1，14.如圖，在三棱