第二課時函數(shù)奇偶性的應用

課標要求1.掌握函數(shù)奇偶性的簡單應用.2.了解函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心滿足的條件.素養(yǎng)要求1.通過函數(shù)奇偶性的應用，熟悉轉化、對稱等思想方法，提升邏輯推理素養(yǎng).2.通過函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心條件，提升直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng).內(nèi)容索引CONTENT01問題導學預習教材必備知識探究單擊此處添加正文03拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成單擊此處添加正文02互動合作研析題型關鍵能力提升單擊此處添加正文問題導學預習教材必備知識探究WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU一、函數(shù)奇偶性與單調性的關系1.問題想一想奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖象特點，如果奇函數(shù)在(－2，－1)上單調遞減，那么它在(1，2)上的單調性如何？如果偶函數(shù)在(－2，－1)上單調遞減，那么它在(1，2)上的單調性如何？

提示奇函數(shù)在(－2，－1)上單調遞減，則在(1，2)上單調遞減；偶函數(shù)在(－2，－1)上單調遞減，則在(1，2)上單調遞增.2.填空(1)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上__________，即在對稱區(qū)間上單調性______________. (2)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調遞增，則f(x)在[－b，－a]上__________，即在對稱區(qū)間上單調性______. (3)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上有最大值為M，則f(x)在[－b，－a]上有最小值為______. (4)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上有最大值為N，則f(x)在[－b，－a]上有最大值為____.單調遞增一致(相同)單調遞減相反－MNA3.做一做已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)單調遞增，則滿足f(x)<f(1)的x的取值范圍是(

)A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(0，1) D.[－1，1)解析∵f(x)在[0，＋∞)內(nèi)單調遞增，且是奇函數(shù)，∴f(x)在R上單調遞增.因此f(x)<f(1)?x<1.0解析由f(0)＝a＝0，得a＝0(經(jīng)檢驗滿足).二、抽象函數(shù)的奇偶性1.問題設函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)是奇函數(shù)，且它們公共定義域為D.試判定函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)與M(x)＝f(x)·g(x)在定義域D上的奇偶性.

提示

h(x)是奇函數(shù)，M(x)是偶函數(shù).2.問題若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，在它們公共定義域上，試判定函數(shù)y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]與y＝g[f(x)]的單調性.

提示

y＝f(x)·g(x)是奇函數(shù)，函數(shù)y＝f[g(x)]與y＝g[f(x)]都是偶函數(shù).C3.做一做設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是(

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析易知f(x)g(x)是奇函數(shù)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，則A、B不正確.又f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，知f(x)·|g(x)|是奇函數(shù)，C正確.顯然|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D項不正確.×4.思考辨析正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”. (1)若函數(shù)f(x)在y軸兩側的單調性相反，則f(x)是偶函數(shù).() (2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(－2x)也是奇函數(shù).() (3)若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調遞減，且f(2m－1)>f(m＋3)，則必有2m－1<m＋3.()提示∵y＝f(x)是偶函數(shù)，且f(2m－1)>f(m＋3)，∴f(|2m－1|)>f(|m＋3|)，又y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調遞減，∴|2m－1|<|m＋3|，不一定有2m－1<m＋3.√×HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關鍵能力提升2例1(1)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當x>0時，f(x)＝________.x(x＋1)題型一利用奇偶性求函數(shù)解析式角度1求對稱區(qū)間上的解析式解析設x>0，則－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因為函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，故當x>0時，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0時，f(x)＝x(x＋1). (2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，則f(x)＝ ____________________.解析設x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即當x<0時，f(x)＝2x2＋3x－1.因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0.解∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，角度2構造方程組求解析式1.已知某區(qū)間上函數(shù)的解析式，求對稱區(qū)間上的解析式：在所求區(qū)間設出變量x，將x轉化為－x(已知區(qū)間).應用奇(偶)函數(shù)的定義，推導出所求區(qū)間上的解析式.2.已知函數(shù)f(x)，g(x)組合運算與奇偶性，則把x換為－x，構造方程組求解.提醒若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)＝0.思維升華訓練1設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝－x2－x，求函數(shù)f(x)的解析式.解設x>0，則－x<0，則f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函數(shù)的定義域為R，∴f(0)＝0，例3已知f(x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小關系是(

)A.f(－0.5)<f(0)<f(－1) B.f(－1)<f(－0.5)<f(0)C.f(0)<f(－0.5)<f(－1) D.f(－1)<f(0)<f(－0.5)解析∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，∴f(x)在R上單調遞增，∴f(－1)<f(－0.5)<f(0).B題型二單調性與奇偶性的應用角度1比較大小1.自變量在同一單調區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調性比較大小.2.自變量不在同一單調區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上，然后利用單調性比較大小.思維升華例4定義在[－2，2]上的偶函數(shù)g(x)，當x≥0時，g(x)為減函數(shù)，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范圍.解∵g(x)在[－2，2]上是偶函數(shù)，且當x≥0時，函數(shù)g(x)是減函數(shù).角度2求解函數(shù)不等式1.解決此類問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式.2.根據(jù)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反，去掉對應法則“f”，轉化為簡單的不等式(組)求解，同時不能漏掉函數(shù)自身定義域對參數(shù)的影響.思維升華訓練2(1)設偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調遞增，則(

)B解析∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，則f(－2)＝f(2).又f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為(－2，2)，函數(shù)g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).①求函數(shù)g(x)的定義域.②若f(x)為奇函數(shù)，并且在定義域上是減函數(shù)，求不等式g(x)≤0的解集.解由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f(x－1)≤－f(3－2x).因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x－1)≤f(2x－3).而f(x)在(－2，2)上是減函數(shù)，題型三抽象函數(shù)的奇偶性例5定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，有f(x)>0.(1)試判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；解f(x)是奇函數(shù).理由如下：取x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.對任意x∈R，取y＝－x，則f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是R上的奇函數(shù).(2)試判斷f(x)的單調性，并加以證明；解f(x)在R上單調遞增.理由如下：任取x1，x2∈R，令x1<x2＝x1＋Δx(其中Δx>0)，∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)，∴f(x2)－f(x1)＝f(Δx)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在R上單調遞增.(3)若對于?t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.解?t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)<0恒成立等價于f(t－t2)<f(k)，∴t－t2<k恒成立.判斷抽象函數(shù)的奇偶性、單調性，主要是利用定義判定：(1)找準方向，巧妙賦值，合理、靈活地變形配湊，找出f(－x)與f(x)的關系.(2)賦值代換，至于如何賦值，要根據(jù)解題目標來確定，一般可通過賦值－1或0或1來達到解題目的.2思維升華(1)求f(0).(2)證明f(x)為奇函數(shù).(1)解令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝f(0)，解得f(0)＝0.(2)證明令y＝－x，則對任意x∈R，有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0∴f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函數(shù).(3)解不等式f(2x－1)<1.課堂小結1.奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調性.2.如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).3.利用奇偶性可以簡化研究函數(shù)性質的過程，利用奇偶性求函數(shù)值、解析式、比較大小、解不等式等核心問題是轉化.4.對于抽象函數(shù)(未給出解析表達式的函數(shù))可畫出滿足條件的示意圖來幫助分析解決問題.拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG01A.－1 B.1解析當x<0時，－x>0，∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即ax2－bx＝－x2－x.解之得a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.C2.f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(2，5)上是(

) A.增函數(shù)

B.減函數(shù) C.有增有減

D.增減性不確定

解析由f(x)是偶函數(shù)，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋3的圖象(略)知，在區(qū)間(2，5)上為減函數(shù).BA.b＜a＜c

B.b＜c＜aC.a＜c＜b

D.c＜a＜bC4.奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的解析式為f(x)＝x(1＋x)，則f(x)在(0，＋∞)上有(

)B法二當x>0時，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，5.已知定義在[m－5，1－2m]上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，則f(m)的值為(

)A.－8 B.8C.－24 解析∵f(x)是定義在[m－5，1－2m]上的奇函數(shù)，∴m－5＋(1－2m)＝0，得m＝－4.又當x≥0時，f(x)＝x2－2x.∴f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(42－2×4)＝－8.A7.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是增函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是____________________________.

解析

∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又因為f(2)＝0，所以f(x)<0?f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，所以x>2或x<－2.

(－∞，－2)∪(2，＋∞)8.若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋3圖象的對稱軸為x＝1，則當x∈[－1，2]時，f(x)的值域為________.解析由對稱軸為x＝1得a＝1.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在[－1，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，∴f(x)∈[2，6].[2，6]解F(x)在(－∞，0)上單調遞減.證明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，則有－x1>－x2>0.因為y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②由①②得f(x2)>f(x1)>0.即F(x1)>F(x2)，(1)若a>b，試比較f(a)與f(b)的大小關系；解因為a>b，所以a－b>0，所以f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b).(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求實數(shù)m的取值范圍.解由(1)知f(x)為R上的單調遞增函數(shù)，因為f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以實數(shù)m的取值范圍為(－∞，4].11.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，則下列說法正確的是(

)A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為偶函數(shù)C.g(x)＝f(x)＋1為奇函數(shù) D.g(x)＝f(x)＋1為偶函數(shù)解析∵對任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1.∴令x1＝