第15 屆中環(huán)杯決賽試題解析（五年級）

第15屆中環(huán)杯決賽試題解析（五年級）一、填空題A（本大題共8小題，每題6分，共48分）：3161431. 91131

5 7 .2015 1115 7【答案】2【解答】91131

3161435 72015 1115 73131319931 5 72015 1115 731111130

5 7 51331 1115 723123120道。若兩人收到的題目數(shù)量之比為43，則小明回家需要完成 道題目?！敬鸢浮?0【解答】設(shè)小明收到了4x道題目，則小王收到了3x道題目，根據(jù)題意4x3x20x20，所以小明需要完成4x42080道題目。如圖，正八邊形的邊長為1，將其進(jìn)行下圖的切割，切割后灰色部分面積與斜線部面積之差為 大減?。??！敬鸢浮?4【解答】如下圖，A,B與C,D抵消，剩下的中間的正方形可以切割為四個等腰直角三角形，其中三個與灰色部分抵消，留下的一個面積就是14【說明】考察等腰直角三角形用斜邊表示的面積公式DDBCA在一組英文字母串中，第一個字母串A、第二個字母串a(chǎn)2B，之后每個字母串n3都是由an1后面跟著an2的反轉(zhuǎn)構(gòu)成的。比如（我們用表示反轉(zhuǎn)，就是從右往左讀這個字母串得到的結(jié)果，比如、），，，。那么，這組字母串的前個中，有 個是回文字母串（所謂的回文字母串，就是指從左往右讀與從右左讀相同，比如、）【答案】667【解答】通過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)只有a3、a6、a9、、a999不是回文字母串，別的都是，那么可以直接得到答案：一共只有333個非回文字母串，剩下的1000333667個都是回文字母串。接下來嚴(yán)格證明一下（考場上沒有時間的話，這部分可以忽略）：假設(shè)anPan1Q，那么an2QPan3QPQP兩邊Q與Q可以保證其回文特性，最后an3是否為回文字母串P的情況。如果anP為回文字母串，那么an3QPQ也是回文字母串；如果anP不是回文字母串，那么an3QPQ也不是回文字母串。考慮到、a2都是回文字母串，所以a4a7,與,a998都是回文字母串。而BA不是回文字母串，所以a6,a999不是回文字母串。至此，已經(jīng)證明了前面的猜測。如下左圖，七個字母放置在圓中，每次將包含中心圓的三個圓（等邊三角形）順時針旋轉(zhuǎn)BD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而B出現(xiàn)在原D的位置（用BD表示這個旋轉(zhuǎn)），DA，AB。也可以將D,E,F進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（DE，EF，F(xiàn)D），但是不能將D,G或者C,B,E進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。經(jīng)過若干次操作后，得到下右圖。那么，最少需要操作 次。CACAFDBEGEFBCADG【答案】3【解答】由于除了G以外，外圍的5個圓中的字母位置都變了，而每次操作只能改變外圍2個圓中的字母位置，所以至少需要3次。如下圖，第一次旋轉(zhuǎn)FDE二次旋轉(zhuǎn)BF，第三次旋轉(zhuǎn)E,CBCCACACFEFFDBEFBEBABCAEGDGD GDGk S表示一個首項為k，公差為k2的等差數(shù)列，比如S為3、12、21、k 是Sk中的一項，滿足條件的k之和為 。【答案】326k【解答】由于S的首項為k，公差為k2，所以其中的某一項可以表示為kkkmk2k1。如果是S中的一項，則k1k|。由于k217，滿足條件的k1、2、17、（注意，當(dāng)kk1；當(dāng)k306時，m0），所以這些數(shù)之和為1217306326下圖的三角形網(wǎng)格中，有 條直線能正好經(jīng)過其中的兩個點【答案】6019【解答】首先，這里一共有19個點，所以會產(chǎn)生C2171條直線。然后我們將其中19通過超過2個點的直線數(shù)量減去，就得到最后的答案了。3315條，如下圖所示，一共導(dǎo)致15C2條直線不滿足要求3446條，如下圖所示，一共導(dǎo)致6C2條直線不滿足要求4553條，如下圖所示，一共導(dǎo)致3C2條直線不滿足要求53 4 綜上所述，本題的答案為17115C26C23C21714536303 4 如圖，直角ABAC4I上，且都是正方形。則的面積為 。IDIDAHEBCFGMKL【答案】110【解答】如下圖，進(jìn)行切割后，得到弦圖ANLO，所以得到四個相同的三角形：、、、1346，然后三個正方形的面積之和2為9162550，三個矩形的面積均為3412，所以總面積為4650123245036110IDIDAHEBCONFGMKL二、填空題B（本大題共4小題，每題8分，共32分）：計算：444744422525729629234232 .【答案】7615

0494029202920909029290292【解答】由于8474827282728787827258272244222222222223222所以04948474244029258257296295234232902925827232220292582729625234227222722200292222722220110112117567615B兩地同時出發(fā)（A出發(fā)）4B之間相距S千米，其中S為正整數(shù)，并且S8個因數(shù)。第一次兩人在C處碰頭（注意：這里的碰頭可以指迎面相遇，也可以指背后追到）DADD處附近的村子問老鄉(xiāng)借摩托DE處（A地）AE的長14人同時達(dá)到A地。那么，A、B兩地相距千米?！敬鸢浮?05【解答】由于甲的速度是乙的4倍，所以第一次碰頭時，AC4S。根據(jù)題意，4S5 5為整數(shù)，所以5|S；還是由于甲的速度是乙的4倍，如果乙走了S千米，甲要走4S千米，已經(jīng)兩個來回了，所以第二次碰頭時，甲應(yīng)該是追到乙。設(shè)乙走了x千米，則甲走了4x千米，得到方程4xxSxS，此時ADSS2S千米。根據(jù)題意，2S為整數(shù)，所以3 3 3 33|S；142S分31413DA地。所以，我們推出AE2S11S。根據(jù)題意，1S為整數(shù)，所以21|S。3 14 21 215|S3|3|21|S

5|S3|S7|

。由于S有8個因數(shù)，所以S357105千米。 對任意正整數(shù)n，定義rmn為mn的余數(shù)（比如r8,3表示83的余數(shù)，所以r8,32）。那么滿足方程rm,1rm,2rm,3rm,104的最小正整數(shù)解為 .【答案】120【解答】如果m1mod2，那么m4、6、8、100，此時的余4了，所以m0mod2480、24（64了）。843，5，7，9，10的公倍數(shù)，由于3,5,7,9,10630，為了滿足除以8的余數(shù)為4，這個數(shù)至少為63021260；如果這個數(shù)除以8的余數(shù)為2，則它除以4的余數(shù)也為2（4個余數(shù)都用完了），所以它還是必須為3，5，7，9，10的公倍數(shù)，這個數(shù)至少為6303189080，則m0mod2、m0mod4、m0mod8。我們要進(jìn)一步分析。如果m306，90。由于m為偶數(shù)，所以m6的余數(shù)至少為2。為了使得余數(shù)之和為4，則只能m1mod3是m2mod6，但是m2mod6m2mod3，矛盾，所以這個數(shù)一定是3的倍m1mod9數(shù)。由于這是一個偶數(shù)，而且它又是3的倍數(shù)，所以必定是6的倍數(shù)，所以m0d6m0d3m0d、m0d2、mm0d6m0mod4、mmod5、m0mod6、mmod7、m0mod8、mmod9、mmod10（表示還不能確定的余數(shù)）。接下來對m9的余數(shù)進(jìn)行討論：（3.1）如果m3mod9，只剩下1個余數(shù)了?？紤]到md0md5md5mmd0md5m1mod7、m3mod9、m0mod10，此時m120；m0d（3.2）如果m0d94個余數(shù)。由于mm0d8,972的倍數(shù)了。顯然72不滿足我們的要求，而722已經(jīng)超過120了；綜上所述，m最小為1206個正整數(shù)a,b,cd,e,f按字母順序排成一排，構(gòu)成一個數(shù)列，其中a1。如果某個正整數(shù)大于11的數(shù)肯定出現(xiàn)在它的左邊。比如d1，則a,bc中必有一個值為d1。舉例：1，1，2，1，3，2滿足要求；1，2，3，1，4，1滿足求；1，2，2，4，3，2不滿足要求。滿足要求的不同排列有 。【答案】203【解答】我們用表示滿足題目要求的n個自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列個數(shù)，顯然1，接下來計算，這個數(shù)列由兩個正整數(shù)構(gòu)成。由于a1，那么b12，如果a1，那么這個數(shù)列中的數(shù)最大為1，這樣的數(shù)列有1個；如果a1，那么這個b1 b2數(shù)列中的數(shù)最大為2，這樣的數(shù)列有1個。我們用下面的寫法表示計數(shù)：1 1 1 1 1 2接下來計算b3，這個數(shù)列由三個正整數(shù)構(gòu)成。（1）為了使得數(shù)列中的數(shù)最大為1，則前面的數(shù)只能都為1，所以只有1個。（2）為了使得數(shù)列中的數(shù)最大為2，有兩種可能：前面的數(shù)都是1，最后一個數(shù)填2，這樣的數(shù)列有1個，這個1就是前面b2中的第一個數(shù)字；前面的數(shù)已經(jīng)到達(dá)2了，那么最后一個數(shù)可以是1，可以是2，所以有12個。其中1就是b2中的第二個數(shù)字，2表示最后一個數(shù)字有兩種寫法；（3）為了使得數(shù)列中的數(shù)最大為3，則前面兩個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列必須到達(dá)最大為2的情況，這樣的數(shù)列有1個，這個1就是前面b2中的第二個數(shù)字。我們用下面的寫法表示計數(shù)：

b31 3 1 3 1 數(shù)列中的數(shù)最大1 數(shù)列中的數(shù)最大為2 數(shù)列中的數(shù)最大31 112 1 數(shù)列中的數(shù)最大1 數(shù)列中的數(shù)最大為2 數(shù)列中的數(shù)最大3利用相同的推導(dǎo)方法，我們得到下面的結(jié)果：1 1 132 313 1 數(shù)列中的數(shù)最大1 數(shù)列中的數(shù)最大為2 數(shù)列中的數(shù)最大3 數(shù)列中的數(shù)最大為41 1 7 6 1 數(shù)列中的數(shù)最大1 數(shù)列中的數(shù)最大為2 數(shù)列中的數(shù)最大3 數(shù)列中的數(shù)最大為4b51172763614111525101b6111521525325104101511319065151203三、動手動腦題（本大題共2小題，每題10分，共20分）：1，2，3，4，5，6，7，984個兩位質(zhì)數(shù)（用一次）4個質(zhì)數(shù)有多少種不同的可能？【答案】4【解答】容易知道2、4、5、6只能作為十位數(shù)，設(shè)這四個兩位質(zhì)數(shù)為2a、4b、5c、6d。剩下的四個數(shù)字為1、3、7、9，簡單分析一下得a7b9c7，cd3,9。由于a7ac只能取3、9，剩下的1、7要分給bd，一共有22c可能（第1個2表示a3或者a9，第2個2表示b1或者b7）c9

c

d7

d1邊上有一塊奶酪，其位置在最靠近點C的四等分點AD上有三個透視鏡、、AD四等分。有一只疑心病很AB上爬行（AB）米。當(dāng)老鼠，某個透鏡，奶酪在一條這樣就可以保證在它還沒有爬到前，這塊奶酪沒有被別的老鼠吃掉。所以它第1分鐘往前爬80米，第2分鐘往回退20米，第3分鐘往前爬80米，第4分鐘往回退20米。，依次類推。當(dāng)這只老鼠爬到點B后，它直接沿著BC沖過去吃奶酪。問：老鼠在AB段上一共可以看到多少次奶酪。W1W1W2W3奶酪B D C【答案】5【解答】本題的關(guān)鍵就是要求出哪幾個點可以看到奶酪。設(shè)奶酪的位置為E（如下圖），由于AEAW33，所以GE//BC，從而推出AG33。由于AB400米，所AC AD 4 3

AB 4以AG3300米。本題的難點就在于如何求出AG1,AG2的長度。G1G1G2W1W2G3W3EB D C我們先來求AG2，這里提供兩種思路：思路一：如下圖，延長G2E與BC延長線交于點H。ADC被W2EH所截，所以AW2DHCE11DH11DH3。設(shè)CHa，則DC2a，所以D3 BDDC2a。而ABD被G2W2H所截，所以AG2BHDW21AG2511AG23AG23。由于AB400米，所以BA BAG2150米

B

8G2G2W2EB D C H思路二：如下圖，作EI//AK//BC，則AJAE3。設(shè)AD4k，則AJ3k。由于AD AC 42 W為AD