專題05數(shù)列（重點(diǎn)）（解析版）

專題05數(shù)列（重點(diǎn)）一、單選題1．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同 B．?dāng)?shù)列，0，2與數(shù)列2，0，是同一個數(shù)列C．?dāng)?shù)列2，4，6，8可表示為 D．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號有關(guān)【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的定義和表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】對于A中，常數(shù)列中任意兩項(xiàng)都是相等的，所以A不正確；對于B中，數(shù)列，0，2與2，0，中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個數(shù)列，所以B不正確；對于C中，表示一個集合，不是數(shù)列，所以C不正確；對于D中，根據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號是有關(guān)的，所以D正確.故選：D.2．已知a是4與6的等差中項(xiàng)，b是與的等比中項(xiàng)，則（

）A．13 B． C．3或 D．或13【答案】D【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)得到，根據(jù)等比中項(xiàng)得到，計算得到答案.【解析】a是4與6的等差中項(xiàng)，故，b是與的等比中項(xiàng)，則，則，或.故選：D3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】先求出，由解得即可；【解析】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，可得，可得，當(dāng)時，，則所以因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：C．4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由題目條件及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列出方程，可得答案.【解析】設(shè){an}首項(xiàng)為，公差為d.因S3＝6，S4＝12，則.則.故選：C5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解方程即可得數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而可得首項(xiàng)與公比，求得.【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，又，解得或，當(dāng)時，或（舍），當(dāng)時，（舍），所以，，此時，所以，故選：D.6．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由到，左邊增加了（

）A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】D【分析】分別分析當(dāng)與時等號左邊的項(xiàng)，再分析增加項(xiàng)即可【解析】由題意知當(dāng)時，左邊為，當(dāng)時，左邊為，增加的部分為，共項(xiàng)．故選：D7．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，再求結(jié)果即可.【解析】根據(jù)題意可得：，則，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，，故.故選：B.8．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項(xiàng)的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【解析】數(shù)列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：D.9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，令代入，求得，判斷A；結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與的關(guān)系式，求出時，結(jié)合，判斷C,求出，即可判斷B;利用可得，構(gòu)造出，即可判斷D．【解析】由題意數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則，即，所以即選項(xiàng)A正確；因?yàn)棰?，∴?dāng)時，②，①-②可得，，即，當(dāng)時，，不滿足，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤，由時，可得，則，故，故B正確；由得：所以令，則所以所以，即，故是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，D正確，故選：C.10．圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成的數(shù)列為，由此數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由幾何關(guān)系得，即可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，從而求得的通項(xiàng).【解析】由題意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，由.故選：B．11．已知數(shù)列和首項(xiàng)均為1，且，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A．2019 B． C．4037 D．【答案】D【分析】先利用條件得到，進(jìn)而得到，代入，利用與的關(guān)系推得是等差數(shù)列，進(jìn)而求出，代入即可求得結(jié)果.【解析】解：，，，另外：，可得，.，，即，，又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，，故，.故選：D.12．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意累加法求得，再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和解決即可.【解析】當(dāng)，，所以，解得：，當(dāng)n=1適合因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以有，對任意的正整數(shù)，都有，所以，故選：C二、多選題13．已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列（

）A．圖象是二次函數(shù)的圖象B．是遞減數(shù)列C．從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)D．有兩項(xiàng)為1【答案】BC【分析】根據(jù)題意作出數(shù)列的圖象，利用圖象分析判斷即可【解析】由題意得，由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列的圖象是分布在二次函數(shù)圖象上的離散的點(diǎn)，如圖所示，故A錯，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，只有第2項(xiàng)為1，從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)，所BC正確，D錯誤，故選：BC14．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 D．對任意，有【答案】BCD【分析】由可得，而，從而可判斷ABCD.【解析】，，，B正確；而，故無法判斷的正負(fù)，A錯誤；，數(shù)列單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時，有最大值，即，D正確.故選：BCD15．已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足，，記等比數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，則當(dāng)取得最大值時，（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】CD【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，判斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而即得.【解析】因?yàn)?，由等比?shù)列的性質(zhì)可得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，∴，因?yàn)?，所以等比?shù)列為遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，，∴當(dāng)或時，取得最大值.故選：CD16．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對恒成立，則下列說法正確的有（

）A．若，則數(shù)列為遞減數(shù)列B．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列C．若a＝3，則的可能取值為D．若a＝3，則【答案】BCD【分析】對于A，取特殊情況，可得答案；對于B，構(gòu)造函數(shù)，作圖，利用數(shù)形結(jié)合思想，可得答案；對于C、D，同B，可得數(shù)列的取值方程，整理求得數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系，利用放縮法，解得裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列求和，可得答案.【解析】對于A，令，解得，即數(shù)列的不動點(diǎn)為2，所以當(dāng)a＝2時，，此時為常數(shù)列，A錯誤；對于B，作出函數(shù)與函數(shù)y＝x的圖像如圖：由圖可知B正確；對于C，作出函數(shù)與函數(shù)y＝x的圖像如圖：由圖可知：，∴，∴，即，又∵，∴，一方面，由得，∴，，∴∵，且當(dāng)n→＋∞，，∴，∵，∴另一方面，由，，得，，又∵，，，且，∴，所以CD正確.故選：BCD.三、填空題17．?dāng)?shù)列滿足，，則______．【答案】【分析】利用累乘法求得正確答案.【解析】，也符合上式，所以.故答案為：18．已知為等差數(shù)列，，，則_______．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)求解即可.【解析】根據(jù)題意，可設(shè)等差數(shù)列的公差為，又由，則，即，，則，即，則公差，則，所以．故答案為：19．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則_________.【答案】4【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【解析】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，，所以，所以，故答案為：420．已知等比數(shù)列的公比為q，且，能使不等式成立最大正整數(shù)_______________．【答案】【分析】根據(jù)已知求得的表達(dá)式，由此求得的取值范圍，根據(jù)成立列不等式，化簡求得的取值范圍，從而求得最大正整數(shù).【解析】由已知，結(jié)合知，解得，由于是等比數(shù)列，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.要使成立則，即，將代入整理得：又，可知，故最大正整數(shù).故答案為：四、解答題21．已知數(shù)列滿足：(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件，即可容易證明；（2）根據(jù)（1）中所證即可求得，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可求得結(jié)果.【解析】（1），故可得，故數(shù)列為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（2）根據(jù)（1）中所求，故可得，故；故.故數(shù)列的前項(xiàng)和為.22．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式及的表達(dá)式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)結(jié)合累加法整理可得，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求；（2）利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算整理.【解析】（1），，兩式相減得，即，∴，則，∴，…，，采用累加法可得，則，即，當(dāng)時，，符合上式，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，則.（2），所以，所以.23．在數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式分組進(jìn)行求和即可.【解析】（1）由已知得，，即，又?jǐn)?shù)列是公比為4的等比數(shù)列；（2）由（1）知，

.24．已知數(shù)列中，，，.設(shè).(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求.(3)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）由，變形為，根據(jù)，代入即可證明結(jié)論.（2）由（1）可得，利用時，，可得，利用求和公式即可得出數(shù)列的前項(xiàng)的和為.（3），利用裂項(xiàng)求和與數(shù)列的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【解析】（1），，，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2.（2）由（1）可得，時，，時也成立.，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2.數(shù)列的前項(xiàng)的和為.（3），數(shù)列的前項(xiàng)和，.25．已知數(shù)列滿足2，．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若記為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解．【答案】(1)，，，(2)，8【分析】（1）改寫遞推公式為，用倒數(shù)法先求出的通項(xiàng)公式，繼而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）展開計算出不等式，得出k的取值范圍，寫出的通項(xiàng)公式，再用錯位相減法求出即可.【解析】（1）因?yàn)?，所以由已知遞推式可求得：，，．因?yàn)?，所以，所以且，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則，所以．（2）當(dāng)時，，所以，所以這樣k有個，即，所以，則，，兩式相減得：，所以，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，又，，所以，所以關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解為8．26．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)設(shè)，求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合與的關(guān)系推理計算，即可判斷作答.（2）由（1）求出，再分奇偶并借助分組求和法求解作答.（3）由（1）求出，判斷的單調(diào)性即可計算作答.（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，解得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，于是得，當(dāng)n為奇數(shù)時，，所以.（3）由（1）知，，則，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，即，有，因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以的最大值是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及求數(shù)列最大項(xiàng)問題，探討數(shù)列的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調(diào)性作答.27．設(shè)數(shù)列，的項(xiàng)數(shù)相同，對任意不相等的正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列，成同序（反序）．(1)若，，且，成反序，求的取值范圍；(2)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，求證：和同序的充要條件是；(3)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為其前項(xiàng)的和為，令，研究，是成同序，反序，還是其它情況？請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)數(shù)列，成同序，理由見解析【分析】（1）設(shè)，，，由題意，求解即可；（2）對任意，，，則，由于的最小值是，按充分性，必要性證明即可；（3）根據(jù)的單調(diào)性，當(dāng)時，因?yàn)?，均為遞增數(shù)列，所以，，因而，成同序，同理當(dāng)時，因?yàn)?，，均為遞減數(shù)列，因而，