三年級奧數(shù)等差數(shù)列求和習(xí)題及答案

計(jì)算（三）等差數(shù)列求和知識精講定義：一個數(shù)列的前項(xiàng)的和為這個數(shù)列的和。表達(dá)方式：常用來表示。三：求和公式：和(首項(xiàng)末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)，。對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：(思路1)(思路2)這道題目，還可以這樣理解：即，和。四、中項(xiàng)定理：對于任意一個項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。譬如：①，題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20，而和恰等于；②，題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33，而和恰等于。例題精講：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6=（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋…＋85=分析：弄清楚一個數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。例如（3）式項(xiàng)數(shù)=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21（2）36（3）1247例2：求下列各等差數(shù)列的和。（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一個數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900答案：（1）19900（2）1160（3）5355例3：一個等差數(shù)列2，4，6，8，10，12，14，這個數(shù)列的和是多少？分析：根據(jù)中項(xiàng)定理，這個數(shù)列一共有7項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，即為：答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401該數(shù)列的和是多少。分析：這個數(shù)列的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是401，項(xiàng)數(shù)是（401-1）÷4+1=101，所以根據(jù)求和公式，可有：和=（1+401）×101÷2=20301答案：20301例5：有一串自然數(shù)2、5、8、11、……，問這一串自然數(shù)中前61個數(shù)的和是多少？分析：即求首項(xiàng)是2，公差是3，項(xiàng)數(shù)是61的等差數(shù)列的和，根據(jù)末項(xiàng)公式：末項(xiàng)=2+（61-1）×3=182根據(jù)求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612答案：5612例6：把自然數(shù)依次排成“三角形陣”，如圖。第一排1個數(shù)；第二排3個數(shù)；第三排5個數(shù)；…求：（1）第十二排第一個數(shù)是幾？最后一個數(shù)是幾？（2）207排在第幾排第幾個數(shù)？（3）第13排各數(shù)的和是多少？分析：整體看就是自然數(shù)列，每排的個數(shù)的規(guī)律是1,3,5，7...即為奇數(shù)數(shù)列若排數(shù)為n（n≥2de自然數(shù))，則這排之前的數(shù)共有（n-1）（n-1)個。第十二排共有23個數(shù)。前面共有（1+21）×11÷2=121個數(shù)，所以第十二排的第一個數(shù)為122，最后一個數(shù)為122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196個數(shù)，前十五排共有225個數(shù)，所以207在第十五排，第十五排的第一個數(shù)是197，所以207是第（207-197=10）個數(shù)（3）前十二排共有144個數(shù)，所以第十三排的第一個數(shù)是145，而第十三排共有25個數(shù)，所以最后一個數(shù)是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925答案：（1）122；144（2）第十五排第10個數(shù)（3）3925例7：15個連續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少？分析：由中項(xiàng)定理，中間的數(shù)即第8個數(shù)為：，所以這個數(shù)列最大的奇數(shù)即第15個數(shù)是：。答案：147。例8：把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5，那么，第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？分析：由題可知：由210拆成的7個數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個數(shù)為210÷7=30，所以，9.求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。分析：解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一個公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是一個公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到這兩個等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對應(yīng)項(xiàng)差1，所以1000項(xiàng)就差了1000個1，即原式=1000×1=1000答案：100010.在這一百個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？分析：先計(jì)算的自然數(shù)和，再減去能被9整除的自然數(shù)和，就是所有不能被9整除的自然數(shù)和了．，，所有不能被9整除的自然數(shù)和：．如果直接計(jì)算不能被9整除的自然數(shù)和，是很麻煩的，所以先計(jì)算所有的自然數(shù)和，再排除掉能被9整除的自然數(shù)和，這樣計(jì)算過程變得簡便多了。答案：59411.一個建筑工地旁，堆著一些鋼管（如圖），聰明的小朋友，你能算出這堆鋼管一共有多少根嗎？分析：觀察發(fā)現(xiàn)，這堆鋼管的排列就是一個等差數(shù)列：首項(xiàng)是3，公差是1，末項(xiàng)是10，項(xiàng)數(shù)是8根據(jù)求和公式，和=（3+10）×8÷2=52