概率檢驗中的兩類錯誤

PAGEPAGE5概率檢驗中的兩類錯誤論文摘要：概率檢驗又稱假設檢驗。假設檢驗實質(zhì)上就是在原假設和備擇假設中二者擇其中之一的決策過程。決策的依據(jù)就是檢驗統(tǒng)計量的樣本植。本文以文字的形式論述了什么是概率檢驗中的兩類錯誤，即在原假設正確時但卻被拒絕了的錯誤，稱為第一類錯誤；在原假設錯誤時但卻接受了的錯誤，稱為第二類錯誤。兩類錯誤概率的相互關聯(lián)可以粗略的概括為在樣本含量不變的前提下，第一類錯誤的概率α越小，第二類錯誤的概率β越大；反之，第一類錯誤的概率α越大，第二類錯誤的概率β越小的特點，以及由此而得出的對兩類錯誤概率的控制。關鍵字：概率檢驗假設檢驗兩類錯誤原假設備擇假設概率檢驗又稱假設檢驗。假設檢驗實質(zhì)上就是在原假設和備擇假設中二者擇其中之一的決策過程。決策的依據(jù)就是檢驗統(tǒng)計量的樣本植。在給定的顯著性水平之下，若檢驗統(tǒng)計量的樣本植落入拒絕域，則拒絕原假設；若檢驗統(tǒng)計量的樣本植落入接受域，則接受原假設。然而，由于樣本抽取的隨機性，檢驗統(tǒng)計量的樣本植落入接受域，也不意味著原假設就肯定正確；檢驗統(tǒng)計量的樣本植落入拒絕域，并不意味著原假設就肯定不正確。由此可見，在假設檢驗過程中，人們可能做出正確的決策，也可能做出錯誤的決策。做出正確決策的情形有兩種，即當原假設正確時做出接受原假設的決策情形和當原假設不正確時做出，做出拒絕原假設的決策情形。做出錯誤決策的情形也有兩種，即當原假設正確時做出拒絕原假設的決策情形和當原假設不正確時做出接受原假設的決策情形。這兩種決策錯誤分別成為第一類錯誤和第二類錯誤。原假設H。為真原假設H。為假接受原假設H。正確決策第Ⅱ類錯誤拒絕原假設H。第Ⅰ類錯誤正確決策為了在假設檢驗中盡量少犯錯誤，我們就需要對這兩類錯誤決策加以討論和研究。假設檢驗的第一類錯誤是在原假設正確時但卻拒絕了的錯誤，又稱為棄真錯誤。產(chǎn)生第一類錯誤的概率是由假設檢驗的顯著性水平給出的，而事實上犯此錯誤的概率就等于給定的顯著性水平。由于假設檢驗中接受域和拒絕域是臨界值，是根據(jù)給定的顯著性水平α而確定的，所以在原假設正確的條件下，檢驗統(tǒng)計量的樣本植落入拒絕域的概率就為α，從而犯第一類錯誤的概率就是α。α可以取單尾也可以取雙尾。假設檢驗時，研究者可以根據(jù)需要確定α值的大小，一般規(guī)定α=0.05或0.01。其意義為假設檢驗中如果拒絕H0時發(fā)生第一類錯誤的概率為5%或1%,即100次拒絕H0的結論中,平均有五次或一次是錯誤的.假設檢驗中的第二類錯誤是原假設不正確,但卻被接受了的錯誤,又稱為納偽的錯誤.由于假設檢驗中,原假設H0和備擇假設H1必有一個為真,原假設不正確必定是備擇假設正確,所以犯第二類錯誤的概率就等于備擇假設成立時的概率,即等于備擇假設成立的條件下,相應統(tǒng)計量的樣本值落入接受域的概率,此概率一般用β表示,可根據(jù)備擇假設成立時相應統(tǒng)計量的概率分布計算出來。β只取單尾。一、兩類錯誤概率之間的關系發(fā)生兩類錯誤的概率之間也有一定的關系。如前所述，假設檢驗時根據(jù)檢驗結果做出的判斷，即決絕H0或不拒絕H0，并不是百分之百正確，可能發(fā)生兩類錯誤。我們以樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的t檢驗為例說明。1.拒絕了實際上成立的H0，即樣本原本來自μ=μ0的總體，由于抽樣的偶然性得到了較大的t值，因t≥t0.05，按照α＝0.05的顯著性水平拒絕了H0而接受了H1，這類錯誤為第一類錯誤。如下圖B。2.不決絕實際上不成立的H0，即樣本原本來自μ≠μ0的總體，H0：μ=μ0是不成立的，但由于抽樣的偶然性，得到了較小的t值。因為t≤ta按照α＝0.05的顯著性水平不拒絕H0，這為第二類錯誤，如下圖C，犯第二類錯誤的概率為β。β值的大小一般很難確切的估計，但知道在樣本含量不變的前提下，α越小，β越大；反之，α越大，β越小。同時減小α和β的唯一方法是增加樣本含量，因為增加了樣本含量后，均數(shù)的抽樣誤差小，樣本均數(shù)的代表性強，也就是樣本均數(shù)接近總體均數(shù)，因而可使犯第一類錯誤的和第二類錯誤的概率減少。μ1μ01—βα1-αβ臨界值判斷正確判斷正確判斷錯誤（Ⅱ類錯誤）判斷錯誤(Ⅰ類錯誤)DCBA無效假設不成立（即樣本來自μ≠μο的總體）無效假設成立（即樣本來自μ=μο的總體）拒絕H0，認為樣本不來自μ=μο的總體不拒絕H0，認為樣本來自μ=μο的總體實際情況Aμ1μ01—βα1-αβ臨界值判斷正確判斷正確判斷錯誤（Ⅱ類錯誤）判斷錯誤(Ⅰ類錯誤)DCBA無效假設不成立（即樣本來自μ≠μο的總體）無效假設成立（即樣本來自μ=μο的總體）拒絕H0，認為樣本不來自μ=μο的總體不拒絕H0，認為樣本來自μ=μο的總體實際情況Ⅰ型錯誤與Ⅱ型錯誤的關系二、犯兩類錯誤的原因我們知道犯第一類錯誤的概率α為統(tǒng)計量T的觀測值落在決絕域中的概率α，由于可以調(diào)節(jié)拒絕域的大小，從而檢驗統(tǒng)計量T的觀測值落入拒絕域這一小概率事件發(fā)生的概率α可由我們控制，因此我們可以控制犯第一類錯誤的概率大小。但對第二類錯誤，卻不好似第一類錯誤那么簡單。下面我們來研究一下犯第二類錯誤的原因。我們知道在原假設H0是不成立時，統(tǒng)計量T的觀測值也有可能落入接受域中。這是因為我們的檢驗統(tǒng)計量T是子樣X1、X2、……Xn的函數(shù)。T的分布是由子樣X1、X2、……Xn的聯(lián)合分布決定的。而子樣X1、X2、……Xn的聯(lián)合分布是由母體的分布決定的。關于母體的分布我們做出原假設H0與備擇假設H1，不管原假設與備擇假設中那一個是正確的，檢驗統(tǒng)計量都會相應的確定一個分布。由于檢驗統(tǒng)計量T在H0成立條件下與在H1成立條件下的分布是不一樣的，從而檢驗統(tǒng)計量T在數(shù)軸上同一個區(qū)間上取值的概率H0成立條件下與在H1成立的條件下也就不一樣。在原假設成立的情況下，我們得到的檢驗統(tǒng)計量T服從某一分布，依據(jù)此分布我們得出T的觀測值以很大的概率1－α落在實數(shù)軸的某一區(qū)間上，這一區(qū)間即為接受域。這里所說的T以很大的概率1－α落在某一區(qū)間的含義為：T的密度曲線上包括峰值及峰值左右各有一大部分在內(nèi)的密度函數(shù)曲線部分與其下面對應的坐標軸上的區(qū)間之間的面積為1－α。問題是如果H0是假的，H1才是真的，從而檢驗統(tǒng)計量T服從的真實分布是由H1確定的某個分布。那么檢驗統(tǒng)計量T落在上面所確定的接受域中的真實概率實際上應當是根據(jù)檢驗統(tǒng)計量T在H1成立下所確定的分布計算出來的一個數(shù)值β。這個β正是我們犯第二類錯誤的概率。這是因為在H0為假時，檢驗統(tǒng)計量的觀測值以概率β落在接受域中，而我們根據(jù)T的觀測值落入接受域中已做出了接受H0的決策。β的值一般比較小，這是因為在H0為假時，檢驗統(tǒng)計量T的真實分布既然是由H1確定的某一個分布，而不是由H0確定的分布，其密度函數(shù)曲線的峰值部分必然偏離接受域上方，從而β的值必然是比較小的。需要注意的一點是：當H1成立時，一般來說我們并不知道檢驗統(tǒng)計量T的確切分布是什么，即使知道T的分布類型，也不知道T的分布中的參數(shù)到底取什么值。因此我們并不知道β的值到底有多大。當然，在給定了α后，我們可挑選檢驗法即挑選檢驗統(tǒng)計量T使得β盡量小，即尋找一致最優(yōu)勢檢驗；但是在備擇假設是復合備擇假設或較為復雜的其它備擇假設的情況下，也是無法控制犯第二類錯誤的概率β。在某些情況下，增加樣本容量可以減少β，這是因為在某些情況下增加樣本容量以后，檢驗統(tǒng)計量T的方差變小了，使得T的密度曲線高窄峰，從而在備擇假設H1為真時，檢驗統(tǒng)計量T的觀測值落入接受域中的概率也變小。三、假設檢驗中應注意的一些事項假設檢驗時也應注意一些事項。首先，要有嚴密的抽樣研究設計；樣本必須是從同質(zhì)總體中隨即抽取的；要保證組間的均衡性和資料的可比性。第二，根據(jù)現(xiàn)有的資料的性質(zhì)設計類型、樣本含量大小，正確選用檢驗方法。第三，對差別有無統(tǒng)計學意義的判斷不能絕對化，因檢驗水準只是人為規(guī)定的界限，是相對的。差別有統(tǒng)計學意義時，是指無效假設H0被接受的可能性只有5%或不到5%，甚至不到1%，根據(jù)小概率事件一次不可能拒絕H0，但尚不能排除有5%或1%出現(xiàn)的可能，所以可能產(chǎn)生第一類錯誤；同樣，若不拒絕H0，可能產(chǎn)生第二類錯誤。第四，統(tǒng)計學上差別顯著與否，與實際意義是有差別的。如應用某藥治療高血壓，平均降壓0.5Kpa并得出差別有高度統(tǒng)計學意義的結論。從統(tǒng)計學高度，說明該藥有降壓作用，但實際上，降低0.5Kpa是無臨床意義的。四、假設檢驗的功效下面在說一下假設檢驗的功效。犯第二類錯誤的概率β是在假設檢驗中原假設錯誤但卻接受了它的概率，也就是備擇假設正確卻拒絕了它的概率。由此可得備擇假設正確并接受了它的概率為1－β，稱為假設檢驗的功效。一般來說，隨著備擇假設值與原假設值離差的增大，犯第二類錯誤的概率會變小，檢驗的功效則會增大。由兩類錯誤的關系可得，對