微積分學(xué)習(xí)體會

微積分學(xué)習(xí)體會XXXXXXXXX班XXX目錄7535_WPSOffice_Level1對微積分的認(rèn)識 212385_WPSOffice_Level2初識微積分 23293_WPSOffice_Level2我眼中的微積分 312385_WPSOffice_Level1微積分的發(fā)展 49684_WPSOffice_Level2萌芽初顯 47259_WPSOffice_Level2初步成型 48_WPSOffice_Level2理論一統(tǒng) 510610_WPSOffice_Level2逐步完善 63293_WPSOffice_Level1微積分在現(xiàn)實中的應(yīng)用 628195_WPSOffice_Level2為什么計算機(jī)要采用二進(jìn)制 66778_WPSOffice_Level2運(yùn)用微積分做變力計算 89684_WPSOffice_Level1小結(jié) 10對微積分的認(rèn)識初識微積分對大多數(shù)人來說,微積分的認(rèn)識學(xué)習(xí)都始于高二時期。老師以求函數(shù)圖像面積的方式告訴我們微積分的概念,意味著我們開始邁入這一神奇的領(lǐng)域。但事實上，早在更久之前，我們便已接觸過微積分的思想。在我們還在上初中或小學(xué)之時，老師就開始教導(dǎo)我們學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識，特別是圓的面積的求法。諸多人都只記得的公式，卻忘記了這一公式的根原來源。大多數(shù)老師在解說這一公式時，都采用以下兩種思路：將一種圓平均分割成數(shù)個等大的扇形，然后將其以一定的規(guī)律拼成近似的長方形,其長邊邊長可視為圓的周長的1/2，窄邊邊長為R，運(yùn)用長方形的面積公式可得S=a＊b=。將一種圓平均分割成n個等大的扇形,將其面積s相加即可得到圓的面積。每個扇形能夠近似為三角形來計算：,則圓的面積。從中不難看出,對圓的面積的推導(dǎo)過程中也存在著一定的微積分思想,特別是第二種辦法，和分割-取點求積-近似求和—取極限的微積分的過程基本一致。其實，人類最早對微積分思想的認(rèn)知就來源于圓面積的計算。我們初識微積分其實也由此開始。我眼中的微積分在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)一段時間微積分后，我對微積分也有了一定體會。在我看來,函數(shù)描繪的是一種規(guī)律性的變化，而微積分則是對這一變化的變化率和變化累加量進(jìn)行的轉(zhuǎn)換和運(yùn)算。微分是將函數(shù)代表的變化分割成微小的量，作為其微小變化量的線性主部,積分則是微分的逆運(yùn)算,是對微小量的累加和。在微分和積分中，極限思想是都非常重要的。在取極限的狀況下,某些有限的量往往對成果沒故意義，因此在極限思想下，我們能夠用一元函數(shù)的微分dy來近似替代其函數(shù)變化量從而進(jìn)行近似計算,也能夠通過黎曼和作為函數(shù)在區(qū)間上的圖形面積計算.我們前四章的學(xué)習(xí)，正是沿著極限—微分—積分的路線逐步邁進(jìn)的。微積分的發(fā)展在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)微積分之前，我始終只懂得微積分是由牛頓和萊布尼茲發(fā)明的。在我的心目中，微積分只但是是這兩個人天才思想的體現(xiàn)。但在學(xué)習(xí)后我才發(fā)現(xiàn)，微積分實質(zhì)上來源已久，并非只是一兩個人的思想，而是幾個時代數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶,現(xiàn)有先賢們的探索,也有近當(dāng)代數(shù)學(xué)家的閃光.萌芽初顯微積分的思想萌芽,部分能夠追溯到兩千數(shù)年前。在希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家的著作中，已不乏用樸素的極限思想，即無窮小過程計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。例如，希臘數(shù)學(xué)家用方砌圓，莊子的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。魏晉時劉徽的“割圓術(shù)”和祖氏父子的割圓法則是將其應(yīng)用于解決實際問題的典范。古希臘時期的安提芬提出了窮竭法，其由歐多克斯和阿基米德發(fā)展。芝諾的一系列有關(guān)分割的悖論始終困擾數(shù)學(xué)家們數(shù)年.另外，阿基米德、阿波羅尼奧斯以及中國部分?jǐn)?shù)學(xué)家也曾嘗試求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問題。初步成型隨著著社會發(fā)展，16世紀(jì)后來的數(shù)學(xué)家們需要解決更多的現(xiàn)實問題，自然科學(xué)開始迎來新的突破.這一時期，幾乎全部的科學(xué)大師都致力于解決速率、極值、切線、面積問題，特別是描述運(yùn)動與變化的無限小算法，并且在相稱短的時間內(nèi)獲得了極大的發(fā)展。開普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動三大定律,并運(yùn)用無窮小求和的思想，求得曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利與同時期發(fā)現(xiàn)卡瓦列利原理（祖暅原理),運(yùn)用不可分量辦法冪函數(shù)定積分公式，另外，卡瓦列利還證明了吉爾丁定理。同一時期笛卡爾的代數(shù)辦法對于微積分的發(fā)展起了極大的推動.費(fèi)馬在求曲線的切線及函數(shù)的極值方面奉獻(xiàn)巨大.他們?yōu)槲⒎e分的正式創(chuàng)立做出了不可磨滅的奉獻(xiàn)。理論一統(tǒng)1664年,牛頓開始研究微積分問題，并在1666年發(fā)表《流數(shù)簡論》,發(fā)明出正流數(shù)術(shù)（微分）和反流數(shù)術(shù)（積分)，并敘述了微積分基本定理。此后數(shù)年，他始終還在致力于改善自己的理論.先后完畢三篇微積分論文:《運(yùn)用無窮多項方程的分析學(xué)》，《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，《曲線求積術(shù)》。與牛頓的切入點不同，萊布尼茲創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，特別是特性三角形的研究。1684年,萊布尼茲整頓、概括自己1673年以來微積分研究的成果，發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文它包含了微分記號以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茲又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，這篇論文初步敘述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號，并給出了擺線方程.牛頓和萊布尼茲的發(fā)現(xiàn)將前人的成果有機(jī)地結(jié)合成一種整體，使微積分開始變得系統(tǒng)化然而，瑞士科學(xué)家丟德勒的一篇文章卻引發(fā)了”科學(xué)史上最不幸的一章“，微積分發(fā)明權(quán)之爭，他認(rèn)為萊布尼茲的借鑒了牛頓,由此，支持牛頓和萊布尼茲的科學(xué)家們?yōu)榇藸巿?zhí)不休數(shù)年，停止了互相的意見交換，甚至在很長一段時間內(nèi)影響到了英國數(shù)學(xué)的發(fā)展。此后數(shù)年，學(xué)術(shù)界終于達(dá)成共識：微積分由兩人共同獨立發(fā)明。此時，兩人均已過世，其中萊布尼茲晚景頗為凄涼。逐步完善微積分學(xué)在牛頓與萊布尼茨的時代逐步建立成型，但是任何新的數(shù)學(xué)理論的建立，在起初都是會引發(fā)一部分人的極力質(zhì)疑，微積分學(xué)同樣也是.由于早期微積分學(xué)的建立的不嚴(yán)謹(jǐn)性，許多不安分子就找漏洞攻擊微積分學(xué)，其中最出名的是英國主教貝克萊針對求導(dǎo)過程中的無窮小展開對微積分學(xué)的攻打.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)便拉開了序幕。危機(jī)出現(xiàn)之后，許多數(shù)學(xué)家開始對微積分學(xué)的理論嚴(yán)謹(jǐn)性進(jìn)行完善。捷克數(shù)學(xué)家布爾查諾對于函數(shù)性質(zhì)作了細(xì)致研究，初次給出了持續(xù)性和導(dǎo)數(shù)的恰當(dāng)?shù)亩x，對序列和級數(shù)的收斂性提出了對的的概念；柯西建立了靠近當(dāng)代形式的極限，把無窮小定義為趨近于0的變量,并定義了函數(shù)的持續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、持續(xù)函數(shù)的積分和級數(shù)的收斂性;數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯提出了病態(tài)函數(shù)（到處持續(xù)但到處不可微的函數(shù)),后續(xù)又有人發(fā)現(xiàn)了到處不持續(xù)但到處可積的函數(shù)，使人們重新認(rèn)識了持續(xù)與可微可積的關(guān)系，他提出了致密性定理，并引進(jìn)了極限的ε～δ定義。繼而在此基礎(chǔ)上，黎曼與1854年和達(dá)布于1875年對有界函數(shù)建立了嚴(yán)密的積分理論，19世紀(jì)后半葉，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數(shù)理論，并且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了.至此，微積分才算是成為了一門較為獨立、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。微積分在現(xiàn)實中的應(yīng)用為什么計算機(jī)要采用二進(jìn)制眾所周知，我們普通在生活中使用的是十進(jìn)制，進(jìn)位基數(shù)為十,用0到9十個基本數(shù)字來表達(dá)數(shù)據(jù)。但對于廣大的數(shù)字電子設(shè)備，特別是計算機(jī)而言，其使用的卻是以二為基數(shù)的二進(jìn)制。那么,為什么這些設(shè)備不使用成熟通用的二進(jìn)制，而去使用二進(jìn)制呢？常見的一種解釋是：計算機(jī)使用二進(jìn)制是由于電路的構(gòu)造決定了0和1容易用電路開關(guān)來實現(xiàn)，并且運(yùn)算簡樸,存儲方便.但如果從用不同數(shù)制表達(dá)數(shù)據(jù)能力的強(qiáng)弱來看，計算機(jī)使用二進(jìn)制顯然尚有其它因素。在這里，我們引入“設(shè)備狀態(tài)”這一概念,我們懂得，為了表達(dá)0—99這一百個數(shù)字，需要兩位十進(jìn)制數(shù)字，每位數(shù)字有10種狀態(tài)。這樣，表達(dá)0-99就需要2＊10=20種設(shè)備狀態(tài)。普通來說，n位十進(jìn)制數(shù)字,可表達(dá)這個數(shù)，需要10n個設(shè)備狀態(tài)。類似地考慮二進(jìn)制，當(dāng)其擁有20種設(shè)備狀態(tài)時，共有20/2=10位，能夠表達(dá)這=1024個數(shù)字，可見，在這一狀況下二進(jìn)制比十進(jìn)制能夠表達(dá)更多的數(shù)。將條件普通化，那么就成了下列兩個問題：對擬定的設(shè)備狀態(tài)N，用幾進(jìn)制能夠表達(dá)最多的數(shù)字？對于一種擬定的數(shù)M，用幾進(jìn)制能以最少的設(shè)備狀態(tài)表達(dá)它？問題（一）的解答以下：已知設(shè)備狀態(tài)N,設(shè)使用x進(jìn)制，則有位，能夠體現(xiàn)的數(shù)字為,則對等式兩端同時取自然對數(shù)得對等式兩端同時求導(dǎo)令=0，得x=e，即在定義域上有唯一駐點x=e易知當(dāng)時，，M單調(diào)遞增當(dāng)時，，M單調(diào)遞減則M在x=e上獲得最大值問題（二)的解答以下:已知擬定的數(shù)M，設(shè)使用x進(jìn)制，則對其求導(dǎo)得令，得x=e，即在定義域上有唯一駐點x=e易知當(dāng)時，，M單調(diào)遞增當(dāng)時,,M單調(diào)遞減則N在x=e上獲得最小值綜上可知，當(dāng)x=e時表達(dá)數(shù)字的能力最佳，但x不能取一種非正整數(shù),因此對e兩側(cè)的2和3進(jìn)行比較可知,，也就是說，從數(shù)據(jù)體現(xiàn)角度，三進(jìn)制最為優(yōu)秀。但限于底層電路因素,二進(jìn)制在易實現(xiàn)程度上要遠(yuǎn)高于三進(jìn)制,因此最后三進(jìn)制計算機(jī)沒能真正發(fā)展起來,而是二進(jìn)制成為了時代的寵兒。運(yùn)用微積分做變力計算對于大小和方向都在時刻變化的狀況下，直接使用高中物理知識并不合用.在這種狀況下，用微積分進(jìn)行計算無疑更為好用。例子以下：質(zhì)量為m的小球最初位于半徑為R的光滑圓弧面的頂端A點，然后小球沿光滑圓弧面從靜止開始下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面的作用力。解：受力如圖所示對小球做受力分析，并列方程得對方程的變量進(jìn)行變換分離變量對其積分,得即此時壓力小結(jié)在學(xué)習(xí)微積分之前,我總是簡樸地將它當(dāng)作一本數(shù)學(xué)教材，一種數(shù)學(xué)辦法，或是一類數(shù)學(xué)難題.對于微積分，我總是對其懷著一種敬畏的心情。然而在逐步接觸學(xué)習(xí)之后，我發(fā)現(xiàn)微積分遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止如此，它更是一種數(shù)學(xué)的思想和整體觀念。放眼大學(xué)其它學(xué)科，但凡涉及到數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)容，幾乎無一避得開微積分，它也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是停留在紙面上，而是活躍在我們生活學(xué)習(xí)的每一種角落。由于才疏學(xué)淺，