第十三講-矩陣的秩

第十三講矩陣的秩一、矩陣的秩的定義二、矩陣的秩的求法三、矩陣的秩的性質(zhì)矩陣的秩是矩陣的一個重要的數(shù)字特征.在有些運算(比如初等變換)下，它是一個不變量.第三章矩陣的初等變換與線性方程組1k階子式：在矩陣A中，任取k行與k列，由這些行和列交點上個元素按原有順序構(gòu)成的一個k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.一般地，矩陣的階子式共有個.一、矩陣的秩的定義想一想:多少個？階子式共有的矩陣kA2如:矩陣的秩：

設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D

且所有r

1階子式(如果存在的話)全等于0

那么D稱為矩陣A的最高階非零子式

數(shù)r稱為矩陣A的秩

記作R(A)

并規(guī)定零矩陣的秩等于0

3如：因為所以矩陣A的秩R(A)=2.)(

階數(shù)不等于零的子式的最高中是的秩矩陣也就是說：AARAnm

×4（2）設(shè)n階方陣A可逆，則R(A)=n.（1）設(shè)矩陣A為m×n矩陣,則秩R(A)≤m,R(A)≤n注：由矩陣秩的定義，可知51)行階梯形矩陣其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0;每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非非零行的行數(shù)；階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，稱為首非零元.行階梯形矩陣:自上而下，每個非零行的首非零元前面的零的個數(shù)依次增加；零行在最下方.二、矩陣秩的求法1.先介紹兩個概念：62)行最簡形矩陣其特點是:是階梯形矩陣；非零行的第一個非零元（首非零元）為１；首非零元所在的列的其它元素都為０．注意：

1)對于任何矩陣A，總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣．

2)行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的.3)一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的(只用初等行變換).7方法一：尋找最高階不為零的子式.此方法的依據(jù)是矩陣的秩為最高階非零子式的階數(shù).例1求矩陣A和B的秩.解：先計算A的4個三階子式r1-2(r2)=r32.矩陣秩的求法8這4個三階子式全為零，再計算2階子式所以R(A)=2.注意：行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù).在B中，顯然所有的4階子式全為零，又所以R(B)=3.9定理任意矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變.

根據(jù)這一定理

為求矩陣的秩

只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣

行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩

方法二：用初等變換，將矩陣化為行階梯形矩陣，非零行的行數(shù)就是矩陣的秩，依據(jù)定理

.求矩陣秩的方法二10例4解:作初等行變換，變成行階梯形矩陣：對A1112由階梯形矩陣有三個非零行可知13從中找一個非零子式，運算量是很大的。階梯形矩陣為的行則矩陣),,(421aaaB=記),,,,,(54321aaaaaA=

的一個最高階非零子式下面求A14則這個子式便是的一個最高階非零子式.這就減小了運算量.個的子式共有而,B415(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1