浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】解出不等式，然后根據(jù)交集的定義可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性跟比較即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：B3．下列各式中，值為的是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化簡各選項(xiàng)，計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，A不符合；對(duì)于B，，B不符合；對(duì)于C，，C符合；對(duì)于D，，D不符合.故選：C4．已知是邊長為正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用二次函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.【詳解】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的取值范圍為.故選：A.5．衡量鉆石價(jià)值的4C標(biāo)準(zhǔn)之一是切工．理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進(jìn)入鉆石的光線．現(xiàn)有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且，，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】如圖，延長CD和BE交于點(diǎn)F，證明四邊形ABFC為正方形，再利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖，延長CD和BE交于點(diǎn)F，由題得,所以四邊形ABFC為矩形，又,所以四邊形ABFC為正方形，又，所以分別是中點(diǎn)，所以．故選：C6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可知函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合時(shí)函數(shù)的符號(hào)即可得答案.【詳解】解：由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故排除B，D，當(dāng)時(shí)，，故排除C，得A為正確選項(xiàng).故選：A7．已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，依題意恒成立，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因?yàn)榍?，又單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故選：C8．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先根據(jù)三角恒等變換化簡的解析式，再結(jié)合單調(diào)區(qū)間即可求出的取值范圍.【詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，令，由此可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以由此解得.故選：C.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)，一般先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.二、多選題9．若向量滿足，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【正確答案】BC【分析】由模與數(shù)量積的關(guān)系求得，再根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)確定與的夾角，判斷向量垂直，求解投影向量即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故A不正確；又，，所以，即與的夾角為，故B正確；又，所以，故C正確；又在上的投影向量為，故D不正確.故選：BC.10．已知函數(shù)（，，，）的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．在上為增函數(shù)D．把的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像【正確答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知，，，，，，又，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，令，，得，，時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，令，在上遞增，故C正確；對(duì)于D，把的圖像向右平移個(gè)單位長度，得函數(shù)表達(dá)式為，它是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．設(shè)，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【正確答案】ACD【分析】利用基本不等式可判斷A選項(xiàng)；求出的取值范圍，可得出的取值范圍，可判斷B選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的最值可判斷C選項(xiàng)；求得，將與相乘，展開后利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由可得，解得，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D對(duì).故選：ACD.12．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為周期函數(shù)且最小正周期為8B．C．在上為增函數(shù)D．方程有且僅有7個(gè)實(shí)數(shù)解【正確答案】ABD【分析】由條件得函數(shù)的對(duì)稱性，進(jìn)而得到函數(shù)的周期性，然后利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即關(guān)于直線對(duì)稱；則，所以，故的周期為，結(jié)合條件可得函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而可得A正確；，B正確；由于在上單調(diào)遞減，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故在上單調(diào)遞減，又的周期為8，則在上也為減函數(shù)，C錯(cuò)誤；作出函數(shù)的圖象和函數(shù)的大致圖象，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有7個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.通過函數(shù)圖象具有中心對(duì)稱性和軸對(duì)稱性，推斷函數(shù)的周期性，由上的解析式，可得函數(shù)的大致圖象進(jìn)而可得其他區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì).三、填空題13．________．【正確答案】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)即可求解.【詳解】.故14．如果光線每通過一塊玻璃其強(qiáng)度要減少10%，那么至少需要將______塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的0.1倍，（參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】【分析】由題意，建立不等式，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，可得答案.【詳解】設(shè)光線的強(qiáng)度為，至少重疊玻璃的快數(shù)為，則，整理可得.故答案為.15．若，，且，，則的值是________.【正確答案】【分析】依題意,可求得，進(jìn)一步可知，于是可求得與的值，再利用兩角和的余弦公式及角的范圍即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即所?因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，，所以，所?故答案為.16．已知的外接圓圓心為O，為的重心且則_________【正確答案】【分析】由三角形重心及外心的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)，過作，則是的中點(diǎn).∵為的重心，∴，,同理，故故結(jié)論點(diǎn)睛：（1）三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且是中線的三等分點(diǎn)（靠中點(diǎn)近），即；（2）三角形的外心是三角形三條中垂線的交點(diǎn)，即有.四、解答題17．已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，向量與的夾角為鈍角，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)且【分析】（1）首先求出，的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）依題意可得且與不反向，根據(jù)向量共線及數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到求出的取值范圍；【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，所以，解得；?）解：因?yàn)椋遗c的夾角為鈍角，所以且與不反向，由，解得，當(dāng)即時(shí)與反向，故，綜上可得且18．在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大??；(2)若，求周長的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇①，利用正弦定理，化角為邊后，結(jié)合余弦定理求角；若選擇②，利用正弦定理，化邊為角，結(jié)合三角恒等變換，求角；如選擇③，利用正弦定理，將邊化角，利用誘導(dǎo)公式，和二倍角公式，即可求角；（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求三角形周長的取值范圍.【詳解】（1）選擇條件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以；選擇條件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；選擇條件③：由及正弦定理，得：，因?yàn)?，，所?在中，，則，故.因?yàn)?，所以，則，故；（2）在中應(yīng)用余弦定理得：，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，解得：，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以周長的取值范圍是：19．已知指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，函數(shù).(1)求，的值；(2)判斷函數(shù)在上的奇偶性，并給出證明；(3)已知在上是單調(diào)函數(shù)，由此判斷函數(shù)，的單調(diào)性（不需證明），并解不等式.【正確答案】(1)；(2)為偶函數(shù)，證明見解析；(3)增區(qū)間為，減區(qū)間為；不等式解集為.【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)求參數(shù)a，即可得的解析式，進(jìn)而求，的值；（2）利用奇偶性定義判斷的奇偶性；（3）由題設(shè)及（1）（2）結(jié)論即可判斷的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性、奇偶性求不等式的解集.【詳解】（1）由題設(shè)，，則，所以，.（2），，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，故為偶函數(shù)；（3）由且，在上單調(diào)，所以為單調(diào)增區(qū)間，而為偶函數(shù)，則單調(diào)減區(qū)間為由可得：，即，解得.20．設(shè)平面向量，，函數(shù)．(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(3)若銳角滿足，求的值．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）化簡得到，取，解得答案.（2），則，得到值域.（3）代入數(shù)據(jù)得到，化簡得到，計(jì)算得到答案.【詳解】（1），取，，解得，，故的單調(diào)增區(qū)間為，（2），則，故（3），.21．在梯形中，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn).(1)求；(2)若，求；(3)若，求的最小值；【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意得，所以，求解計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得，所以；（3）根據(jù)題意得，且，再分析單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所?（2）由（1）知，，因?yàn)椋?，所以，所?（3）因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，解得，設(shè)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.22．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為常數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)，由條件可得在，上恒成立，進(jìn)一步得到，求出的范圍即可；（2）函數(shù)在，上存在零點(diǎn)，即方程在，上有解，設(shè)，然后分和兩種情況求出的范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，若不等式在，上恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則；當(dāng)，則在，上恒成立，即在，上恒成立，因?yàn)樵?，上單調(diào)增，，，則，解得，；則實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（2）函數(shù)在，上存在零點(diǎn)，即方程在，上有解；設(shè)當(dāng)時(shí)，則，，，且在，上單調(diào)遞增，所以，（2），則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；當(dāng)時(shí)，，則在，上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在，上單調(diào)增；①當(dāng)，即時(shí)，（2），，則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；②當(dāng)，即時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；③當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；當(dāng)，即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，原方程有解，則；綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．本題考查了函數(shù)恒成立問題和函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查了函數(shù)最值的求法，考查了分類討論思想和函數(shù)思想，屬難題．浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合M={1,2,3,5}，N={2,3,4}，則M∩N=(

)A.{1,5} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3,4}2.設(shè)a=20.7，，c=2?0.3，則A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c3.設(shè)x∈R，則“x2?2x<0”是“|x?1|<2”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，一個(gè)水平放置平面圖形的直觀圖A'B'C'D'是邊長為1的菱形，且O'D'=1，則原平面圖形的面積為(

)A.2

B.1

C.22

D.5.下列命題中正確的是(

)A.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行

B.平面α內(nèi)有不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面β的距離相等，則α/?/β

C.b/?/α，α/?/β，則b/?/β

D.a/?/α，a/?/b，b?α，則b/?/α6.圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則估算索菲亞教堂的高度為(

)

A.20m B.203m C.2067.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P，Q，R分別是棱A1D1，C1DA.32

B.3

C.23

8.已知a2?2ab?3b2=1，且，則a?bA.[?1,53] B.[1,54]二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列命題為真命題的是(

)A.復(fù)數(shù)2?2i的虛部為?2i

B.若i為虛數(shù)單位，則i2023=?i

C.復(fù)數(shù)?2?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

D.復(fù)數(shù)510.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列說法正確的是(

)A.若A>B，則cosA<cosB

B.若A=30°，b=5，a=2，則△ABC有兩解

C.若cosAcosBcosC>0，則△ABC為銳角三角形

D.若，則△ABC為等腰三角形或直角三角形11.已知向量，c=(λ,?1)，λ∈R，μ∈R，則(

)A.若λ=1，則a+2b在c方向上的投影向量為

B.與b共線的單位向量為(255,55)

C.若12.如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的動(dòng)點(diǎn)，SO=OC=2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.圓錐

SO的側(cè)面積為82π

B.三棱錐S?ABC體積的最大值為83

C.∠SAB的取值范圍是(π4,π3)

D.若AB=BC三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.復(fù)數(shù)z(2+i)=2?i，i為虛數(shù)單位，則|z|=______．14.如圖，在單位圓中，P(1,0)，M、N分別在單位圓的第一、二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若，△MON為等邊三角形，則sin∠POM=______．15.已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，BE=λBC，DF=μDC.若λ+μ=2316.已知圓錐底面圓的直徑為2，高為3，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長為a的正四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則a的最大值為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知|a|=4，|b|=8，a與b的夾角是120°．

(1)計(jì)算：|a+b|18.(本小題10.0分)

已知向量a=(2cosx,1)，，x∈[0,π2].

(1)若a/?/b，求x的值；

(2)記f(x)=a?b，若對(duì)于任意x119.(本小題12.0分)

如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑：一種是從A處沿直線步行到C處；另一種是先從A處沿索道乘纜車到B處，然后從B處沿直線步行到C處，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為，在甲出發(fā)2min

后，乙從A處乘纜車到B處，再從B處勻速步行到C處，假設(shè)纜車的速度為，山路AC長為1260m，經(jīng)測(cè)量cosA=1213，cosC=35．

(1)從A處到B處，乙乘坐纜車的時(shí)間是多少min？

(2)乙出發(fā)多長時(shí)間后，乙在纜車上與甲的距離最短？20.(本小題12.0分)

如圖，斜三棱柱ABC?A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，求證BC1/?/平面A21.(本小題12.0分)

在①a+acosC=3csinA，②(a+b+c)(a+b?c)=3ab，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．

已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，_____．

(1)求角C的值；

(2)若角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且CD=23，求2a+b22.(本小題14.0分)

已知f(x)=|x?a|+ax|x?2|(a≥2)．

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f(x)≥0；

(2)若g(x)=x?f(x)，且函數(shù)y=g(x)的圖像與直線y=3有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，假設(shè)3個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，且答案和解析1.【正確答案】C

解：由題設(shè)．

故選：C．

利用集合的交運(yùn)算即可求解．

本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

2.【正確答案】B

解：因?yàn)閍=20.7，，c=2?0.3，

所以b<0，，

所以a>c>b．

故選：B．

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．

3.【正確答案】A

解：由x2?2x<0，得0<x<2，

由|x?1|<2，得?2<x?1<2，即?1<x<3，

，

∴“x2?2x<0”是“|x?1|<2”的充分不必要條件．

故選：A．

分別求解一元二次不等式與絕對(duì)值的不等式，再結(jié)合充分必要條件的判定可得答案．4.【正確答案】A

解：根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為平行四邊形，如圖所示：

其中OD=2O'D'=2，AB=CD=A'B'=1，

所以原平面圖形的面積為S=2×1=2．

故選：A．

把直觀圖還原出原平面圖形，是平行四邊形，計(jì)算原平面圖形的面積即可．

本題考查了直觀圖與原平面圖形的關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

5.【正確答案】D

解：對(duì)于A：若一條直線與一個(gè)平面平行，這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但不是任意一條，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由題意可得：α/?/β或α與β相交，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：根據(jù)題意可得：b/?/β或b?β，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：∵a/?/α，則?m?α，使得a//m，則a//m，

∴b//m，b?α，m?α，

∴b//α，D正確；

故選：D．

根據(jù)線面平行的判斷和性質(zhì)理解辨析．

本題主要考查空間直線、平面位置關(guān)系的判定，命題真假的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【正確答案】C

解：由題意知：∠CAM=45°，∠AMC=105°所以∠ACM=30°，

在Rt△ABM中，AM=ABsin∠AMB=ABsin15°，

在△ACM中，由正弦定理得AMsin30°=CMsin45°，

所以CM=AM?sin45°sin30°=AB?sin45°7.【正確答案】D

解：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為H，連接HR并延長，交DA延長線于E，交DC延長線于F，連接PE交A1A于G，

連接QF交C1C于I，連接GH，RI，則六邊形為過點(diǎn)P，Q、R三點(diǎn)的截面，

由題意可知，△AHE≌△BHR，則，

故△AGE≌，可知，即G為A1A的中點(diǎn)，

同理可證I為C1C的中點(diǎn)，故可知六邊形為正六邊形，

且邊長為2，

故其面積為，即過點(diǎn)P、Q.R三點(diǎn)的截面面積是33，

故選：D．

作圖作出過點(diǎn)P、Q，R三點(diǎn)的截面，說明截面為正六邊形，求得邊長即可求得截面面積．

8.【正確答案】B

解：a2?2ab?3b2=(a?3b)(a+b)=1，

，，

設(shè)a+b=m，a?3b=n，則mn=1，

則a?b=12[(a+b)+(a?3b)]=12(m+n)=12(m+1m)，m∈[12,2]，

∵y=m+1m在[12,1]單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，

，m=12時(shí)，y=52；m=2時(shí)，y=52，

∴a?b的取值范圍為：[1,54]．9.【正確答案】BC

解：復(fù)數(shù)2?2i的虛部為?2，故A錯(cuò)誤；

i2023=(i4)505?i3=?i，故B正確；

復(fù)數(shù)?2?i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(?1,?1)在第三象限，故C正確；

，其共軛復(fù)數(shù)為?2+i，故D錯(cuò)誤．10.【正確答案】ACD

解：對(duì)于A，∵A>B，

∴sinA>sinB，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可知cosA<cosB，故A正確；

對(duì)于B，由正弦定理可得：asinA=bsinB，

，

此時(shí)△ABC無解，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，∵cosAcosBcosC>0，

∴cosA>0cosB>0cosC>0，可知A，B，C均為銳角，故△ABC為銳角三角形，故C正確；

對(duì)于D：，，

，，，b=a或，故D正確．

故選：ACD．

利用正、余弦定理對(duì)每項(xiàng)逐一判斷即可得解．

本題考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

11.【正確答案】AD

解：A.λ=1時(shí)，c=(1,?1)，a+2b=(1,4)，

∴a+2b在c方向上的投影向量為：，A正確；

B.與b共線的單位向量為：b|b|=(255,55)或，B錯(cuò)誤；

C.，，

，，C錯(cuò)誤；

D.，

，

的最小值為：755，D正確．

故選：AD．

A.λ=1時(shí)，c=(1,?1)，得出a+2b=(1,4)，然后根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求出a+2b在c方向上的投影向量，從而判斷出A的正誤；

B.與b共線的單位向量為±b|b|，從而判斷B的正誤；

C12.【正確答案】BD

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)體及其特征，考查剪展問題中最值的求法，考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力及思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

由已知求出圓錐側(cè)面積判斷A；求出三棱錐S?ABC體積的最大值判斷B；由極限觀點(diǎn)求解∠SAB的取值范圍判斷C；利用剪展問題求得SE+CE的最小值判斷D．解：在Rt△SOC中，∵SO=OC=2，∴SC=22，

則圓錐

SO的側(cè)面積為S=12×2π×2×22=42π，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)B位于AC中點(diǎn)時(shí)，△ABC面積取最大值，為12×4×2=4，

此時(shí)三棱錐S?ABC體積的最大值為13×4×2=83，故B正確；

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí)，∠ASB=0，為最小角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，∠ASB=π2，為最大角，

又因?yàn)辄c(diǎn)B與A，C不重合，

故∠ASB∈0,π2，

又2∠SAB+∠ASB=π，

可得∠SAB的取值范圍是(π4,π2)，故C錯(cuò)誤；

若AB=BC，以AB為軸把平面SAB旋轉(zhuǎn)至與平面ABC共面，連接SC，交AB于E，如圖所示，

在此平面圖中，易得△SAB為等邊三角形，AB⊥BC，且AB=BC=22

13.【正確答案】1

解：由題意，，

則|z|=(35)2+(?45)2=1．

14.【正確答案】53解：，解得，

而點(diǎn)N在第二象限，

則，

∵∠MON=π3，

．

故5314．

根據(jù)三角形面積公式求出，然后結(jié)合兩角和與差的正弦公式，即可求解．

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，以及正弦函數(shù)的兩角差公式，屬于中檔題．

15.【正確答案】49解：如圖，

∵BE=λBC,DF=μDC，且λ+μ=23，

∴AE?AF=(AB+BE)?(AD+DF)=(AB+λBC)?(AD+μDC)=(AB+λAD)?(AD+μAB)=(1+λμ)AB?AD+λ|AD|2+μ|AB|2

=(1+λμ)×2×2×(?1216.【正確答案】22解：四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，

設(shè)球心為P，球的半徑為r，下底面半徑為R，軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為Q，圓錐的軸截面如圖：

則OA=OB=1，，．

∴三角形SAB為等邊三角形，故P是△SAB的中心，

連接BP，則BP平分∠SBA，∴∠PBO=30°．

∴tan30°=rR，即，

即四面體的外接球的半徑為r=33．

另正四面體可以從正方體中截得，如圖：

從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長為a時(shí)，截得它的正方體的棱長為22a，

而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在正方體上，

故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

，

即a的最大值為223．

故223．

根據(jù)題意，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，然后利用分割補(bǔ)形法求得a17.【正確答案】解：(1)|a+b|=(a+b)2=a2+b2+2a?b=(1)|a+b|=(a+18.【正確答案】解：(1)由a/?/b，

則，

即sinx=3cosx，

即tanx=3，

又x∈[0,π2]，

則x=π3；

，

又x∈[0,π2]，

則2x?π6∈[?π6,5π6]，

則f(x)∈[?(1)由a/?/b，則，再求解即可；

(2)由，又x∈[0,π2]，則f(x)∈[?12,1]，又對(duì)于任意x1，x219.【正確答案】解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏osA=1213，cosC=35.所以sinA=513，sinC=45，

從而，

由正弦定理ABsinC=ACsinB，得，乙乘纜車的時(shí)間是；

(2)假設(shè)乙出發(fā)t(0≤t≤8)分鐘后，甲、乙距離為d，此時(shí)，甲行走了，

乙距離A處130m，所以由余弦定理得(1)先利用兩角和的正弦公式求得sinB，再根據(jù)正弦定理求出AC的長，從而可求乙乘坐纜車的時(shí)間；

(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100+50t)m，乙距離A處130tm，由余弦定理可求d，進(jìn)而可求d的最小值；

本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義，屬中檔題．

20.【正確答案】解：(1)證明：如圖，當(dāng)A1D1D1C1=1