2023-2024學年江蘇省南通市高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學年江蘇省南通市高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復數(shù)的虛部為（

）A．－2i B．－2 C．4i D．42．已知，是兩個不共線的向量，向量，．若，則（

）A．－2 B． C．2 D．3．已知點，若直線AB上的點D滿足，則D點坐標為（

）A． B． C． D．4．已知，，則sin（α＋β）=（

）A． B． C． D．5．已知向量，，則在方向上的投影向量為（

）A． B．2 C． D．16．已知，，，則（

）A．1 B． C． D．27．在中，，則（

）A． B． C． D．8．用向量方法推導正弦定理采取如下操作：如圖1，在銳角△ABC中，過點B作與垂直的單位向量，因為，所以．由分配律，得，即，也即．請用上述向量方法探究，如圖2，直線l與△ABC的邊AB，AC分別相交于D，E．設(shè)，，，，則與△ABC的邊和角之間的等量關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列條件中，能使的形狀唯一確定的有（

）A． B．，，C．，∠B=30°，∠C=60° D．，，∠B=60°10．下列命題正確的有（

）A．對于復數(shù)z，則 B．對于向量，則C．若，為復數(shù)，則 D．若，為向量，則11．下列等式成立的有（

）A． B．C． D．12．剪紙藝術(shù)是一種中國傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠流長，經(jīng)久不衰，已成為世界藝術(shù)寶庫中的一種珍藏．某學校為了豐富學生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學在觀看了2022年北京冬奧會的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺上漂亮的“雪花”圖案（如圖1）所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”，它的平面圖可簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，六邊形ABCDEF為正六邊形，，，為等邊三角形，P為該平面圖形上的一個動點（含邊界），則（

）

A． B．C．若，則λ＋μ的最大值為 D．的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．寫出一個滿足的復數(shù)____________.14．已知單位向量，滿足，若向量，則向量，的夾角為______．15．已知，則______．16．已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，且，______，的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知復數(shù)：，．(1)若復數(shù)z滿足，求z；(2)在復平面內(nèi)，O為原點，向量，，分別對應(yīng)復數(shù)，，，且與同向，，求．18．已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且．(1)求；(2)已知，______，且為的中點，求線段的長．在①周長為6；②面積為這兩個條件中任選一個填在上面橫線上，作為條件，并解決該問題．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．）19．已知，，設(shè)．(1)求當取最大值時，對應(yīng)的x的取值；(2)若，且，求的值．20．如圖，某景區(qū)有一塊圓形水域，水域邊上有三處景點A，B，C，景點之間有觀景橋相連，已知AB，BC，AC長度分別為30m，50m，70m．

(1)求圓形水域面積；(2)為了充分利用水域，現(xiàn)進行景區(qū)改造，準備在優(yōu)弧上新建景點D，修橋DC，DA與景點A，C相連，并準備在修建一塊圓形觀賞魚飼養(yǎng)區(qū)，使其分別與橋AC，DC，DA相切，求圓形觀賞魚飼養(yǎng)區(qū)半徑的最大值．21．平行四邊形ABCD中，點M，N分別在邊AD，AB上，且，，線段AC交MN于點H．(1)若，求x＋y的值；(2)若AB=6，，，求的值．22．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且．(1)求角B；(2)若D為AC上一點，，且，求角C．答案解析1．B【分析】利用復數(shù)乘法法則化簡，得到虛部.【詳解】，故虛部為-2.故選：B2．A【分析】利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因為，所以存在唯一實數(shù)，使，所以，因為，是兩個不共線的向量，所以，解得，故選：A3．D【分析】由向量的坐標運算即可求解.【詳解】設(shè)，則，由得且，解得，故,故選：D4．C【分析】分別對已知兩個等式兩邊平方相加，化簡后利用兩角和的正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，，兩式相加可得：，所以，所以，解得，故選：C.5．C【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及投影向量的定義求解.【詳解】，，則在方向上的投影向量為.故選：C.6．A【分析】設(shè)，根據(jù)模長得到，，從而得到，得到.【詳解】設(shè)，則①，，則②，②-①得，，，則，故.故選：A7．B【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩角和差的正切公式求得，進而可求，結(jié)合正弦定理運算求解.【詳解】因為，不妨設(shè)，又因為，即，解得，所以，因為，即，且，即，又因為，則，解得，同理可得，所以.故選：B.8．C【分析】設(shè)，利用得到，由向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，因為，所以，即，即，所以，即，C正確.故選：C9．ACD【分析】利用余弦定理求出，由此可判斷A；由正弦定理及大邊對大角可判斷B，D；先求出，根據(jù)正弦定理求出，可判斷C；【詳解】對于A，，因為，由余弦定理可得：，解得：，故三角形的解唯一，故A正確；對于B，根據(jù)正弦定理：，可得，即，又因為，所以，所以或，故B不正確；對于C，，由正弦定理可得：，即三角形的解唯一確定的，故C正確；對于D，根據(jù)正弦定理：，可得，即，又因為，所以，所以，故三角形的解唯一，D正確；故選：ACD.10．BC【分析】設(shè)復數(shù)，分別計算、可判斷A；由數(shù)量積公式可判斷B；設(shè)，，分別計算可判斷C；由數(shù)量積公式可判斷D.【詳解】對于A.，設(shè)復數(shù)，則，，故A錯誤；

對于B，，故B正確；對于C，設(shè)，，則，故C正確；對于D，若，為向量，設(shè)、的夾角為，且，則，故D錯誤.故選：BC.11．BD【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷A選項；利用兩角差的正切公式可判斷B選項；利用二倍角的正弦公式結(jié)合誘導公式可判斷C選項；利用兩角差的余弦公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，A錯；對于B選項，因為，所以，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：BD.12．ACD【分析】把題中圖2的平面圖形順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)正六邊形的中心為，連接，，連接，交于點，過作，垂足為點，過作，垂足為點，利用數(shù)量積結(jié)合選項即可逐一求解．【詳解】如圖，把題中圖2的平面圖形順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)正六邊形的中心為，連接，，連接，交于點，易得，在上，．過作，垂足為點，過作，垂足為點．由題意得，，所以，，所以，所以，A正確．計算，所以B錯誤；，所以，，所以，即，連接，取的中點，連接，則，所以，當點與點重合時取得最大值，所以的最大值為：，C正確；因為四邊形為矩形，所以，，所以，當與重合時，取得最大值為，當與重合時，取得最小值為，所以的取值范圍是，，D正確．故選：ACD．

平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.13．（答案不唯一）【分析】根據(jù)復數(shù)的模長求解即可求解.【詳解】設(shè)復數(shù)，則，滿足該關(guān)系的，都是正確的故14．##【分析】依題意不妨設(shè)，，即可求出，再由坐標法計算可得.【詳解】因為單位向量，滿足，不妨設(shè)，，則，所以，，則，又，所以.故15．##【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，進而求出，利用二倍角公式化簡得到.【詳解】由題意得，故，即，因為，所以，即，因為，解得，故，，.故16．2【分析】由面積公式結(jié)合已知條件得，進而由余弦定理可得；由，結(jié)合正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式可求得，，故，結(jié)合二倍角公式化簡，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍．【詳解】，，，又由余弦定理可得，；由，結(jié)合正弦定理可得，即，即，即，因為，所以或(舍)，所以，則，故，在銳角三角形ABC中，可得，即，所以，當時，，當時，，當時，，所以的取值范圍是．故2，．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的運算及共軛復數(shù)的概念求解；（2）利用復數(shù)的幾何表示求解.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，，所以．因為，所以，又因為與同向，所以，所以.18．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導公式及兩角和的正弦公式求出，即可得解；（2）若選①，可得，由余弦定理求出、，再根據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得；若選②，由面積公式求出，由余弦定理求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得；【詳解】（1）因為，由正弦定理得，又，所以，代入上式得，因為，所以，又，所以．（2）選擇①：因為周長為6，又，所以．由余弦定理，且，，由余弦定理得，則，．因為，所以，即，所以．選擇②因為面積為，則，解得．由余弦定理，且，，解得，因為，所以，即，所以．19．(1)，取最大值1(2)【分析】（1）首先由，結(jié)合兩角差的正弦公式，二倍角公式及降冪公式得出，即可得出答案；（2）由及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得出，由及兩角和的正切公式計算即可．【詳解】（1），當，即，取最大值1．（2）因為，所以，又，所以，所以，所以，所以．20．(1)平方米(2)米．【分析】（1）由余弦定理可得，結(jié)合正弦定理可得外接圓半徑，即可由圓的面積求解，（2）由余弦定理以及等面積法，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）因為中，由余弦定理得，，又因為，所以．設(shè)圓形水域半徑為R米，由正弦定理，所以圓形水域面積為：平方米．（2）因為，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以．①設(shè)圓形觀賞魚飼養(yǎng)區(qū)的半徑為r米，則，將①式代入上式得．因為，解得．當且僅當時，取得最大值為140m，所以r的最大值為米．答：圓形觀賞魚飼養(yǎng)區(qū)半徑的最大值為米．21．(1)(2)51【分析】（1）設(shè)，，由平面向量基本定理可建立的方程組，進一步可得，由此建立關(guān)于的方程組，解出即可得出答案；（2）由題意可得，進一步可得，由此可得出的值．【詳解】（1）設(shè)，則，①又，所以．又因為，，所以②由平面向量基本定理，且，不共線，則解得所以，，代入已知得．整理得．所以，解得所以x＋y的值為．（2）因為，所以，即．又AB=6，所以AD=5．又，則，即，所以，解得．所以．22．(1)(2)．【分析】（1）利用三角恒等變換化簡得，再利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，最后利用余弦定理即可得到答案；（2）利用正弦定理化簡得，設(shè)，再利用余弦定理即可解出，則有，則，.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以．由正弦定理得，所以由余弦定理得．又因為，所以．（2）

因為，所以，由正弦定理得①在中，②，在中，③將②③代入①得，即．因為，設(shè)，則，，由余弦定理，，則④由余弦定理，即，則⑤聯(lián)立④⑤，解得．所以，從而，所以．2023-2024學年江蘇省南通市高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】化簡即可得出，即可得出答案.【詳解】因為，所以，復數(shù)的虛部是.故選：D.2.（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)誘導公式，逆用兩角差的正弦公式進行求解即可.【詳解】，故選：B3.已知平面向量，滿足，且，則（）A.4 B.3 C.2 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，即，即，所以，.所以，.故選：C.4.如圖所示，F(xiàn)為平行四邊形ABCD對角線BD上一點，AC，BD交于點O，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運算法則把用表示即可得.【詳解】因為，所以，所以，又，而不共線，所以，所以.故選：C.5.在中，，，，則的值是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先由正弦定理求得，再由平方關(guān)系求得即可.【詳解】由正弦定理得，，又，，則.故選：D.6.如圖，有一古塔，在A點測得塔底位于北偏東方向上的點D處，在A點測得塔頂C的仰角為，在A的正東方向且距D點30m的B點測得塔底位于西偏北方向上（A，B，D在同一水平面），則塔的高度CD約為（）A.17.32m B.14.14m C.10.98m D.6.21m【正確答案】B【分析】在中，根據(jù)正弦定理可求出.在中，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，在中，有，，，根據(jù)正弦定理可得，.在中，有，，，所以(m).故選：B.7.由下列條件解，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為及三角形三邊關(guān)系，結(jié)合正弦定理逐項判斷即可.【詳解】對于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；對于B，因為，由余弦定理可知只有唯一解，所以三角形的三個邊唯一確定，即只有唯一解；對于C，因為，由正弦定理得，即，所以，所以角有兩個解，即有兩個解；對于D，因為，，，由正弦定理得，所以，又c>a，所以，所以角只有一個解，即只有唯一解.故選：C8.已知定義域為R的函數(shù)有最大值和最小值，且最大值與最小值的和為8，則等于（）A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】C【分析】化簡可得，設(shè)，可判定為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出，求解即可得出答案.【詳解】因為，設(shè)，則，所以，為R上的奇函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，所以，故選：C.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.在中，下列命題正確的是（）A.B.C.點O為的內(nèi)一點，且，則為等腰三角形D.，則為銳角三角形【正確答案】BC【分析】A.由向量的減法法則判斷；B.由向量加法的三角形法則判斷；C.根據(jù)因為，得到，即，利用數(shù)量積的運算律求解判斷；D.由，得到為銳角，但角BC無法判斷.【詳解】A.由向量的減法法則可知：，故錯誤；B.由向量加法的三角形法則可得：，故正確；C.因為，即；又因為，所以，即，所以是等腰三角形，故正確；D.若，則，據(jù)此可知為銳角，無法確定為銳角三角形，錯誤.故選：BC10.已知不相等的復數(shù)，，則下列說法錯誤的是（）A.若是實數(shù)，則與不一定相等B.若，則C.若，則，在復平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱D.若，則【正確答案】BCD【分析】通過舉例可判斷A,B,D；由共軛復數(shù)的基本概念及幾何意義判斷C.【詳解】取，，此時是實數(shù)，但與不相等，故A正確；取，，滿足，但，故B錯誤；若，則z1，z2的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則z1，z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，故C錯誤；取，，此時，，滿足，但與不能比較大小，故D錯誤.故選：BCD.11.的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則下列命題正確的是（）A. B.的周長為C.的面積為 D.的外接圓半徑為【正確答案】BC【分析】根據(jù)已知化簡可得出.分類討論根據(jù)以及，結(jié)合正弦定理以及余弦定理可求出的值，即可判斷A、B、C項；根據(jù)正弦定理，即可求出外接圓半徑.【詳解】由可得，.對于A項，若，則滿足，此時，由正弦定理可知，所以；若，則，此時有，由正弦定理可知，所以.綜上所述，或，故A項錯誤；對于B項，當時，由，，由余弦定理可得，，所以，，解得，，的周長為；同理，當時，有，，的周長為.綜上所述，的周長為，故B項正確；對于C項，由B可知，，，或，.當時，由正弦定理可知，，所以，，；同理可得，當時，，.綜上所述，，故C正確；對于D項，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可知，，所以，故D項錯誤.故選：BC.12.如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，，則（）A.B.實數(shù)的值為C.D.若M，N是線段BC上的動點，且，則的最小值為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算，結(jié)合已知條件，即可判斷A、B；根據(jù)圖形，表示出，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可得出C項；建立平面直角坐標系，得出的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，得出，配方根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最小值.【詳解】對于A項，因為，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，，所以，，所以，所以，，故B項正確；對于C項，，所以，，故C正確；對于D項，如圖，建立平面直角坐標系，由題意可知，，，，則，不妨設(shè)，，則，所以，，，所以，，所以，當時，有最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知向量，，則在方向上的投影向量坐標是______.【正確答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以在方向的投影向量為.故答案為.14.設(shè)復數(shù)，滿足，，則=__________.【正確答案】【分析】方法一：令，，根據(jù)復數(shù)的相等可求得，代入復數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.方法二：設(shè)復數(shù)所對應(yīng)點為,,根據(jù)復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的模，判定平行四邊形為菱形，，進而根據(jù)復數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計算.詳解】方法一：設(shè)，，，，又，所以，，.故答案為.方法二：如圖所示，設(shè)復數(shù)所對應(yīng)的點為,,由已知,∴平行四邊形為菱形，且都是正三角形，∴，∴.方法一：本題考查復數(shù)模長的求解，涉及到復數(shù)相等的應(yīng)用；考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道中檔題.

方法二：關(guān)鍵是利用復數(shù)及其運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解15.在中，角、、所對的邊分別為、、，，的平分線交于點，且，則的最小值為______.【正確答案】##【分析】利用等面積法可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，，因此，當且僅當時取等號，則最小值為.故答案為.16.已知在銳角中，，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知求出，然后根據(jù)輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)即可得出.令，則，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可得出，進而得出答案.【詳解】因為，所以銳角中，有，即，所以.因為，.又在上單調(diào)遞增，所以，.因為，令，則，根據(jù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，，所以，，所以，.故答案為.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知向量與的夾角，且，.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求與的夾角的余弦值.【正確答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義求出，由計算可得.（Ⅱ）設(shè)與的夾角為，由計算可得.【詳解】解：（Ⅰ）由已知，得..（Ⅱ）設(shè)與的夾角為.則.∴.∴與的夾角的余弦值為.本題考查平面向量的數(shù)量積，向量的模的計算，兩向量的夾角的余弦，屬于中檔題.18.在①；②復平面上表示的點在直線上；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答：已知復數(shù)，（為虛數(shù)單位），滿足____.（1）若，求復數(shù)以及；（2）若是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）選條件①，根據(jù)求出a的值；選條件②，求出在復平面上表示點的坐標，代入直線方程求出a的值；選條件③，計算，根據(jù)求出a的值；計算和的值即可；（2）根據(jù)是實系數(shù)一元二次方程的根，也是方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值.【小問1詳解】選條件①：，因為，所以，解得，又，所以；選條件②：復平面上表示的點在直線上.因為，所以，其表示的點為，有，解得；選條件③.因為，所以，所以，解得.所以，所以；【小問2詳解】是實系數(shù)一元二次方程的根，則也是該方程的根，所以m=(+)=.19.（1）求的值；（2）已知，均為銳角，且，，求的值．【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）對原式變形為，逆用二倍角正弦公式結(jié)合誘導公式可得答案.(2)先求出，，余弦的差角公式可得答案.根據(jù)角的范圍得到答案.【詳解】（1）；（2）因為均為銳角，，所以，，由，根據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以.又均為銳角，則，所以.20.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點，求面積的最大值.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化邊為角結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)范圍進而即得的大?。唬?）結(jié)合角平分線性質(zhì)求，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求的最大值，再利用三角形面積公式求【小問1詳解】由正弦定理及，得因為，所以，所以，所以所以，所以.因為，所以，所以，故.【小問2詳解】因為為角的平分線，為角的平分線，所