專題02空間向量的坐標(biāo)表示及用向量法證明平行垂直共面問題（知識梳理專題過關(guān)）（解析版）

專題02空間向量的坐標(biāo)表示及用向量法證明平行垂直共面問題【知識梳理】1、設(shè)，，則（1）．（2）．（3）．（4）．（5）若，為非零向量，則．（6）若，則．（7）．（8）．（9），，則．2、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來表示．向量稱為點(diǎn)的位置向量．3、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn)．4、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對，使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置．5、直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量：若A、B是直線上的任意兩點(diǎn)，則為直線的一個(gè)方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量．（2）平面的法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．（3）平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．②設(shè)平面的法向量為．③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)．④根據(jù)法向量定義建立方程組．⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量．6、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即．即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線．（2）線面平行①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即．即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．（3）面面平行若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證．即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線．7、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直．（2）線面垂直①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即．②（法二）設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直．（3）面面垂直若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證．即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．【專題過關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)2：空間向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)3：空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)4：空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)5：空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)6：共面問題考點(diǎn)7：平行問題考點(diǎn)8：垂直問題【典型例題】考點(diǎn)1：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．（2022·江蘇常州·高二期中）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，∵，又，∴，解得，即.故選：B.2．（2021·廣東·新會陳經(jīng)綸高二期中）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，則故選：C3．（2021·河北省博野高二期中）已知，且，則的值是（

）A．5 B．6 C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．故選：A.4．（2021·安徽·高二期中）已知向量，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵向量，，∴.故選：A.5．（2022·廣西桂林·高二期中（理））已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.6．（2021·天津天津·高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線般的中點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)線般的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得，所以可得，所以線般的中點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：A.7．（2021·北京·人大附中高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，由得即，故選：C.8．（2021·北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)高二期中）已知，，則______【答案】【解析】由已知．故答案為：9．（2021·廣東·廣州市玉巖高二期中）空間直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)、、，則點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.考點(diǎn)2：空間向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算10．（2022·江蘇徐州·高二期中）已知點(diǎn)，，，，則向量在向量上的投影向量的模為______．【答案】【解析】因?yàn)?，，，，所以，，所以，，所以向量在向量上的投影為；所以向量在向量上的投影向量為即向量在向量上的投影向量的模為；故答案為?1．（2022·江蘇常州·高二期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，，故．故答案為：.12．（2021·浙江省杭州學(xué)軍高二期中）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】因?yàn)榭臻g向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量為：，故答案為：.13．（2021·湖北武漢·高二期中）已知正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，，，又得：即；又平面，故為與平面所成角，要使最小，只需最小，即最大，令，∴tan∠當(dāng)時(shí)，最大，則，所以.故答案為：.14．（2022·江蘇南通·高二期中）設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)椋瑒t，解得，即，所以，，因此，.故選：D.15．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【解析】由題設(shè)，則.故選：C考點(diǎn)3：空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算16．（2022·江蘇徐州·高二期中）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得?故選：C17．（2022·江蘇·響水縣第二高二期中）已知，則下列向量中與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，因?yàn)?，所以A不正確；對于B，因?yàn)?，所以B正確；對于C，因?yàn)?，所以C不正確；對于D，因?yàn)椋訢不正確.故選：B18．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）已知，，，若，則（

）A． B． C．11 D．4【答案】B【解析】，，因?yàn)?，所以，解得，，?故選：B19．（2022·安徽省舒城高二期中）已知向量，若∥，則______.【答案】-6【解析】因?yàn)橄蛄浚摇?，所?，所以，解得：.故答案為：-6.20．（2021·安徽宣城·高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，若，則實(shí)數(shù)______．【答案】3【解析】由題意得，，所以，即，故答案為：321．（2021·河北·石家莊市第六高二期中）已知，，若與共線，則x的值是__________.【答案】【解析】因?yàn)?，，且與共線，所以，解得，故答案為：考點(diǎn)4：空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算22．（2022·新疆·烏魯木齊市第四高二期中（理））已知向量，，且與互相垂直，則的值是（

）A．－1 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得，故選：D23．（2022·江蘇·濱海縣五汛高二期中）已知向量，，，且向量與互相垂直，則的值是（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【解析】，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，故，故，故選：B24．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，正方體的棱長為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，由得，即，由于，所以，，所以點(diǎn)的軌跡為面上的直線：，，即圖中的線段，由圖知：，故選：B.25．（2022·江蘇徐州·高二期中）已知直線的方向向量分別為，若，則等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由于，所以.故選：B26．（2022·江蘇省江浦高級高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，，，因?yàn)?，所以，．故選：A．27．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，點(diǎn)，.(1)求；(2)若直線AB上存在一點(diǎn)E，使得，其中O為原點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】(1)因?yàn)?，，所以，所以?2)設(shè)，由，，得，則，故，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以.考點(diǎn)5：空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算28．（2022·福建龍巖·高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，．(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．【解析】(1)由題設(shè)，，又，，三點(diǎn)共線，所以存在使，即，可得，所以.(2)由，由（1）知：當(dāng)時(shí)，有；而，又，的夾角是鈍角，所以，可得；綜上，且不同時(shí)成立.29．（2022·福建寧德·高二期中）已知空間三點(diǎn)，，，則與的夾角的大小是______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以所以，所以因?yàn)?，所以故答案為?0．（2022·江蘇連云港·高二期中）已知空間向量，且，則n＝_______，向量與的夾角為_______．【答案】

2

【解析】依題意，解得，所以，所以，由于，所以向量與的夾角為.故答案為：；.31．（2021·浙江·紹興高二期中）已知動點(diǎn)P在正方體的對角線（不含端點(diǎn)）上.設(shè)，若為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，，，，，，所以，，為鈍角，則，解得．又不可能共線，故答案為：．32．（2022·四川省成都市新都高二期中（理））已知，，則向量與的夾角為（

）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，故向量與的夾角為，故選：A.33．（2021·山東·臨沭縣教育和體育局高二期中）若向量，且與的夾角余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（

）A．0 B．－ C．0或－ D．0或【答案】C【解析】由題知，即，解得或.故選：C34．（多選題）（2022·江蘇·馬壩高中高二期中）若，，與的夾角為120°，則的值為（

）A． B．17 C．1 D．【答案】BD【解析】由題意得解得或故選：BD35．（多選題）（2021·湖北省廣水市實(shí)驗(yàn)高級高二期中）若與的夾角為鈍角，則的取值可能為（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】BD【解析】因?yàn)?，，所以，解得；?dāng)時(shí)，設(shè)，無解，即不能平行；故選：BD考點(diǎn)6：共面問題36．（2021·山東威?！じ叨谥校┤鐖D，在四棱錐中，面，．E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且．(1)求證：面；(2)設(shè)點(diǎn)G在上，且．判斷是否存在這樣的，使得A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】(1)由面面，則，又且，可得：面.(2)以A為原點(diǎn)，面內(nèi)與垂直的直線為x軸，方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，存在這樣的.由可得：，則，若A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，則在面內(nèi)，又面的一個(gè)法向量為，∴，即，可得.∴存在這樣的，使得四點(diǎn)共面.37．（2021·廣東深圳·高二期中）如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：，，，四點(diǎn)共面；【解析】（1）如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn).所以，，，，，，，，，，，所以，而，所以，所以，，，四點(diǎn)共面；38．（2021·廣東·廣州市第一高二期中）已知，，．若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】因?yàn)椴黄叫?，且、、三向量共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使，所以，解得，故答案為：39．（2021·全國·高二期中）已知點(diǎn)A?B?C?D的坐標(biāo)分別為，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，則___________.【答案】3【解析】由題意，A，B，C，D四點(diǎn)共面故，使得又故解得故答案為：340．（2021·福建·廈門雙十高二期中）已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)=_____.【答案】【解析】由題意可知，存在實(shí)數(shù)滿足：，據(jù)此可得方程組：，求解方程組可得：.故答案為．41．（多選題）（2021·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)高二期中）在正方體中，棱長為2，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，Q，R分別為線段BC，上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)Q使得B．存在點(diǎn)R使得C．當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)R使得，，共面D．當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)R使得，Q，，R四點(diǎn)共面【答案】BD【解析】在正方體中，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，令，，則，，因?yàn)?，，，即與不垂直，A不正確；而，，當(dāng)時(shí)，，即存在點(diǎn)R使得，B正確；當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí)，，，若存在點(diǎn)R使得，，共面，則，，即，即，解得，C不正確；當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí)，若，Q，，R四點(diǎn)共面，則，，而，，即，解得，D正確.故選：BD42．（2021·云南省瀘西縣第一高二期中）已知空間向量，若共面，則(

)A． B．0 C．1 D．【答案】B【解析】若、、共面，則，即，1，，，，故，故，故選：B．考點(diǎn)7：平行問題43．（2022·四川成都·高二期中（理））若直線l的方向向量，平面的法向量，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以?故選：D44．（多選題）（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．若兩條不重合的直線的方向向量分別是，則B．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則C．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則D．若兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則【答案】BD【解析】對于A，因?yàn)橄蛄坎黄叫?，所以不平行，故A不正確；對于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以或在面?nèi)，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BD．45．（2020·廣東順德德勝高二期中）設(shè)向量分別是平面的法向量，向量，若平行，則實(shí)數(shù)___________【答案】4【解析】∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行，∴，2，，，，且；解得，．故答案為：446．（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)M在棱PD上，點(diǎn)N為BC中點(diǎn).(1)若，證明：直線平面PAB：【解析】(1)如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則若，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以又因?yàn)樗云矫鍼AB平面PAB的其中一個(gè)法向量為所以，即又因?yàn)槠矫嫠云矫?7．（2021·河北·石家莊市第十二高二期中）如圖所示，在四棱錐中，底面，，∥，，.點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，求證：(1)；(2)∥平面；【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，因?yàn)椋詢蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，所以，所以，（2）平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以∥平面?8．（2021·廣東·湛江二十高二期中）如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．(1)若P為側(cè)棱SD上的中點(diǎn)，證明SB平面PAC．(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．【解析】(1)證明：如圖所示：連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接OP，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)為中點(diǎn)，又P為側(cè)棱SD上的中點(diǎn)，所以，又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；(2)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC，且，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則，所以，則，因?yàn)镾D⊥平面PAC，所以是平面PAC的一個(gè)法向量，若BE平面PAC，則，解得，所以側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC，且.49．（2021·湖南·懷化高二期中）如圖所示，在長方體中，，，、分別、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，易知平面的一個(gè)法向量為，，則，平面，故平面；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，所以，，故平面.考點(diǎn)8：垂直問題50．（多選題）（2021·福建·泉州高二期中）已知正三棱柱的所有棱長均相等，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，為銳角 D．當(dāng)時(shí)，平面【答案】ABD【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)棱長為2，則，所以，所以，A.當(dāng)時(shí)，，，所以，故正確；B.當(dāng)時(shí)，，，所以，故正確；C.當(dāng)時(shí)，，正負(fù)不定，故錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，又平面，所以平面，故正確；故選：ABD51．（2022·四川省成都市新都高二期中（理））若直線l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是______．【答案】垂直或【解析】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，且，所以與共線，，所以直線l與平面的位置關(guān)系為垂直，故答案為：垂直或52．（2022·四川·閬中高二期中（理））已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___．【答案】【解析】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.53．（2021·福建·泉州高二期中）如圖，在長方體中，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為軸?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在平面上，若平面，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】【解析】由題意得：，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上，所以設(shè)點(diǎn)，若平面，則，即，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是故答案為：54．（2020·山東省商河縣第一高二期中）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF：【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則,設(shè)面的一個(gè)法向量為，，可得，即，不妨令則,平面.55．（2020·寧夏長慶高級高二期中（理））如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．(1)用向量法證明平面平面；(2)用向量法證明平面．【解析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，即，故平面平面；（2）由，是線段，中點(diǎn)，則，，所以，則，所以平面.56．（2021·四川涼山·高二期中（理））如圖，在正四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱長為，底面邊長為2．點(diǎn)E，F(xiàn)分別CD，BC中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥EF；(2)平面PAB⊥平面PCD．【解析】（1