固體物理胡安課后答案

伊犁師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2011屆物理專(zhuān)業(yè)畢業(yè)生論文PAGEPAGE44第一章晶體的結(jié)構(gòu)及其對(duì)稱(chēng)性1.1石墨層中的碳原子排列成如圖所示的六角網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，試問(wèn)它是簡(jiǎn)單還是復(fù)式格子。為什么？作出這一結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的兩維點(diǎn)陣和初基元胞。解：石墨層中原子排成的六角網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子。因?yàn)槿鐖D點(diǎn)A和點(diǎn)B的格點(diǎn)在晶格結(jié)構(gòu)中所處的地位不同，并不完全等價(jià)，平移A→B,平移后晶格結(jié)構(gòu)不能完全復(fù)原所以是復(fù)式格子。1.2在正交直角坐標(biāo)系中，若矢量，QUOTERl=l1i+l2j+l3k，，為單位向量。QUOTELii=1,2,3（a）當(dāng)為全奇或全偶時(shí)；（b）當(dāng)之和為偶數(shù)時(shí)。解：QUOTERl=l1a1+當(dāng)為全奇或全偶時(shí)為面心立方結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣，當(dāng)QUOTEl1+l2+l31.3在上題中若QUOTEl1+l2+l3=奇數(shù)位上有負(fù)離子，QUOTEl1+l2+解：是離子晶體，屬于氯化鈉結(jié)構(gòu)。1.4（a）分別證明，面心立方（fcc）和體心立方（bcc）點(diǎn)陣的慣用初基元胞三基矢間夾角相等，對(duì)fcc為60○°，對(duì)bcc為109（b）在金剛石結(jié)構(gòu)中，作任意原子與其四個(gè)最近鄰原子的連線。證明任意兩條線之間夾角θ均為解:（1）對(duì)于面心立方QUOTEa1=a2(j+k)（2）對(duì)于體心立方（3）對(duì)于金剛石晶胞<1.5證明：在六角晶系中密勒指數(shù)為（h,k,l）的晶面族間距為QUOTEd=43h2+hk+k2證明:元胞基矢的體積QUOTEb=-acos60°i+cos30°QUOTE=-12ai+3倒格子基矢倒格矢：晶面間距QUOTEa*2=43(2aπ)2QUOTEb*2=43QUOTEa*．b*=23(2πa)2QUOTEb*1.6證明：底心正交的倒點(diǎn)陣仍為底心正交的。證明：簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)是一個(gè)六角正棱柱體底心正交點(diǎn)陣的慣用晶胞如圖：QUOTEa1=ax初級(jí)晶胞體積:QUOTErc=abc2倒易點(diǎn)陣的基矢：QUOTEb1=2πrQUOTEb2=2πrca3×a1=4πb這組基矢確定的面是正交底心點(diǎn)陣1.7證明：正點(diǎn)陣是其本身的倒易點(diǎn)陣的倒格子。證明：倒易點(diǎn)陣初級(jí)元胞的體積:是初基元胞的體積QUOTErc=b1．QUOTEb1=2πrca2×a3QUOTEb2=2πrc而QUOTErc=a1．由于而QUOTEQUOTEQUOTE或:現(xiàn)在證明：又令又：QUOTEb1．b2×bQUOTEc1=2π3rca1rc2π3=a1QUOTEc3=2πb1.8從二維平面點(diǎn)陣作圖說(shuō)明點(diǎn)陣不可能有七重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸。解：QUOTEm=0,θ=π2,3π2m=1,θ=1.9試解釋為什么：（a）四角（四方）晶系中沒(méi)有底心四角和面心四角點(diǎn)陣。（b）立方晶系中沒(méi)有底心立方點(diǎn)陣。（c）六角晶中只有簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣。解：（a）因?yàn)樗姆骄导拥仔?，?huì)失去4次軸。（b）因?yàn)榱⒎骄导拥仔?，將失去四條3次軸。（c）六角晶系加底心會(huì)失去6次軸。1.10證明：在氯化鈉型離子晶體中晶面族（h,k,l）的衍射強(qiáng)度為QUOTEIhkl∝fA+f其中QUOTEfA、QUOTEfB分別為正負(fù)離子的散射因子。如何用此結(jié)果說(shuō)明KCL晶體中h,k,l均為奇數(shù)的衍射消失？證明：Nacl初基原胞中有QUOTENa+和QUOTECl-兩種離子。A、B分別代表Na+和Cl-因此幾何結(jié)構(gòu)因子：射強(qiáng)度：QUOTEI∝F(h1h2h3)2,對(duì)于QUOTEh1+h2+h31.11試討論金剛石結(jié)構(gòu)晶體的消光法則。解：金剛石結(jié)構(gòu)中，金剛石單胞有8個(gè)碳原子，坐標(biāo)為：幾何結(jié)構(gòu)因子QUOTEFhkl=fje2iπ(∝衍射強(qiáng)度不為零：（1）nhnknl都為基數(shù)。（2）nhnknl都為偶數(shù)（包括零）,且QUOTE12（nh+nk+nl）也為偶數(shù)。如不滿(mǎn)足以上條件，則這些面的衍射消失，例如金剛石不可能找到（3，2，1）或（2，2，1）的一級(jí)衍射斑，也不可能有（4，4，2）這樣的二級(jí)衍射斑點(diǎn)。1.12證明：在倒易空間中，當(dāng)k落于一倒格矢kn垂直平分面上時(shí)，發(fā)生布拉格反射。證明：當(dāng)波矢滿(mǎn)足QUOTEk+kn2=k2時(shí)有QUOTEkn．∴令QUOTEK'=k+kn∴QUOTEK'剛好是QUOTEkn中垂直面的反射波。又∵,由圖知：QUOTEkn2=ksinθ=(其中QUOTEkn'=mkn)1.13試證明：具有四面體對(duì)稱(chēng)性的晶體，其介電常數(shù)為一標(biāo)量介電常量：證明：由QUOTEε=ε11ε12ε13各物理量在新舊坐標(biāo)中：(由于對(duì)稱(chēng)操作QUOTED'=εE')QUOTEAx是繞X(a)軸轉(zhuǎn)動(dòng)QUOTE90°是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的操作QUOTEAy是繞Y(b)軸轉(zhuǎn)動(dòng)QUOTE90°也是一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作將Ax代入再將Ax和ε代入1.14若AB3的立方結(jié)構(gòu)如圖所示，設(shè)A原子的散射因子為fA，B原子的散射因子為fB（a）求其幾何結(jié)構(gòu)因子（b）找出（h,k,l）晶面族的X光衍射強(qiáng)度分別在什么情況下有(c)設(shè)，問(wèn)衍射面指數(shù)中哪些反射消失？試舉出五種最簡(jiǎn)單的。解：AB3結(jié)構(gòu)中，單胞中含有3個(gè)B原子，1QUOTEFhkl=fje-2πi(h取QUOTEA(0,0,0)QUOTEB(12,12,0)QUOTE(12,0,12)QUOTE(0,12∴QUOTEFhkl=fA+當(dāng)h+k與h+l，k+l均為偶數(shù)時(shí)QUOTEFhkl=fA+3當(dāng)h+k，h+l，k+l其中兩個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)QUOTEfA=fB（1，1，0）（1，0，1）衍射面指數(shù)的消光。1.15在某立方晶系的銅KαX射線粉末相中，觀察到的衍射角（a）試確定對(duì)應(yīng)于這些衍射角的晶面的衍射面指數(shù)；（b）問(wèn)該立方晶體是簡(jiǎn)立方、面立方還是體心立方？解：QUOTEdhkl=ah2+k2+l2又QUOTE2d∝QUOTE3:4:8:∴hkl=(1,1,1)(2,0,0)(2,2,0)……∴該立方晶體是面心立方.第二章晶體的結(jié)合2.1導(dǎo)出NaCl型離子晶體中排斥勢(shì)指數(shù)的下列關(guān)系式：(SI單位)其中k為體變模量，設(shè)已知NaC晶體的，求NaCl的n=?解：NaCl晶體排斥勢(shì)指數(shù)的關(guān)系，設(shè)晶體有N個(gè)元胞。則晶體的內(nèi)能：其中：，對(duì)于NaCl結(jié)構(gòu)，（為元胞的體積）∴∴在為平衡位置處：由∴（如取SI）對(duì)于NaCl、CsCl、ZnS結(jié)構(gòu)1.747、1.762、1.638∴可求2.2帶±e電荷的兩種離子相間排成一維晶格，設(shè)N為元胞數(shù)，B/R0n為排斥勢(shì)，（a）馬德隆常數(shù)QUOTEα=2ln2；（b）結(jié)合能QUOTEU(R)=2Ne2ln24πε0（c）當(dāng)壓縮晶格時(shí)，R→R0(1-δ),且δ?1，則需做功12Cδ解：（a）一維原子鏈，正負(fù)離子的距離為a，相距為rij(R為鄰近間距總離子間的相互作用勢(shì)能)為離子晶格的馬德隆常數(shù)令∴(b)利用平衡條件∴∴(c)由于外力做的功等于晶體內(nèi)能的增量，外力做功的主項(xiàng)將代入：晶體被壓縮單位長(zhǎng)度的過(guò)程中，外力做功的主項(xiàng)：設(shè)時(shí)外力為Fe，外力與晶體(格)的形變成正比.，，α為比例函數(shù).此即為離子鏈被壓縮QUOTE2NR0δe的過(guò)程中外力做功。QUOTEWe=C2δe2NR0δ2.3量子固體在量子固體中，起主導(dǎo)作用的排斥能是原子的零點(diǎn)能，考慮晶態(tài)He4（a）試求每個(gè)粒子的零點(diǎn)振動(dòng)能；（b）推導(dǎo)維持該線不發(fā)生膨脹所需力的表達(dá)式；（c）在平衡時(shí)，動(dòng)能所引致的膨脹傾向被范德瓦爾斯相互作用所平衡，非常粗略的給出最近鄰間的范德瓦爾斯能為U(L)=-1.6L-6解：(a)根據(jù)量子力學(xué)，限制在L線段內(nèi)的自由He4原子的波函數(shù)有形式又的波函數(shù)為基態(tài)波函數(shù)，所以基態(tài)波函數(shù)QUOTEψ0=AeiπLx，每個(gè)原子的零點(diǎn)動(dòng)能也就是基態(tài)平均動(dòng)能.(b)因零點(diǎn)動(dòng)能會(huì)引起線段的膨脹，為了保持長(zhǎng)度為L(zhǎng)的線段結(jié)構(gòu)，必須增加力有范德瓦爾斯相互作用時(shí)，體系總能量U（L）是范德瓦爾斯能：(c)平衡時(shí)：QUOTE(dvdL)L0=0=?24mL03+1.6×6L07×第三章晶格動(dòng)力學(xué)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1在同類(lèi)原子組成的一位點(diǎn)陣中，若假設(shè)每個(gè)原子所受的作用力左右不同，其力常數(shù)如下圖所示相間變化，且QUOTEβ1>β2.試證明：在這樣的系統(tǒng)中，格波仍存在著聲頻支和光頻支，其格波頻率為QUOTEω2=β1+解：用QUOTEvs和QUOTErs分別表示第S個(gè)初基原胞中兩個(gè)原子相對(duì)平衡位置的位移.QUOTE∴QUOTEMvs=-β1vs-rs令QUOTEvs=vei(ska-ωt)QUOTErs=rei(ska-ωt)QUOTE∴Mω2-β1QUOTE[Mω2-β1QUOTEω2=β1+3.2具有兩維立方點(diǎn)陣的某簡(jiǎn)單晶格，設(shè)原子的質(zhì)量為M，晶格常數(shù)為a，最近鄰原子間相互作用的恢復(fù)力常數(shù)為c，假定原子垂直于點(diǎn)陣平面作橫振動(dòng)，試證明：此二維系統(tǒng)的格波色散關(guān)系為解：只考慮最近鄰作用第（l，m）個(gè)原子受四個(gè)原子的作用.QUOTEl+1,m:cvl+1,m-vl,m,QUOTEl-1,m:c(vQUOTEl,m+1:cvl,m+1-vl,m,QUOTEl,m-1:c(v∴運(yùn)動(dòng)方程：QUOTEmd2vlmd設(shè)QUOTEvlm=v0exp?[i∴QUOTEω2=-c(eik3.3求：（a）一維單原子點(diǎn)陣振動(dòng)的聲子譜密度QUOTEρ(ω)，并作圖；（b）一維雙原子點(diǎn)陣振動(dòng)的聲子譜密度QUOTEρ(ω)，并作圖.解：一維單原子鏈：QUOTEω=2βMsin(12qa)（有個(gè)3n色散關(guān)系）一維單原子鏈Q(jìng)UOTEρω=L2π?2一維雙原子鏈:QUOTEω±2=βm+MmMQUOTE∴ρω=L2π?2{1/dω+dq+1/dω-dq}QUOTEρω=V4π2A式中A,N為晶體的原胞數(shù).解：第支QUOTEα支格波的模式密度QUOTE其中QUOTEα為第QUOTEα支格波的等頻面.又因?yàn)樵趒=0附近QUOTEωq=ω0-∴等頻面是一個(gè)球面.又QUOTE?qω=-A2q=2Aq∴QUOTEvc2π3sα3.5使用德拜近似討論同類(lèi)原子所組成的下列系統(tǒng)的低溫比熱容為（a）在一維系統(tǒng)中；（b）在二維系統(tǒng)中；解：對(duì)于一維簡(jiǎn)單格子，按德拜模型：QUOTEω=qvdω范圍內(nèi)包含QUOTEdL=2dqL2π=dqLπQUOTE0ω0D(ω)dω=N=LaQUOTE∴ω0=πavQUOTECr=0ω0在高溫時(shí)：QUOTEx→0QUOTE∴exx2(ex-1)2≈1∴QUOTECr=LakB低溫時(shí)QUOTE?D/T→∞QUOTEexx2(ex-1)2QUOTE0∞exxdx(ex-1)2=n=1∞n對(duì)于二維簡(jiǎn)單格子：QUOTEρω=S(2π)2QUOTEω=vq，所以格波等頻（能）線為圓.QUOTEρω=S(2π)2?二維介質(zhì)有兩支格波,一支聲學(xué)波,一支光學(xué)波.QUOTEDω=ρω=Sωπvp2QUOTEE=0ωmρω?ωdωQUOTE0ωmρωdω=2N=0ωQUOTECr=Sπvp2QUOTE=Sπvp2(kBT?)2當(dāng)溫度較高時(shí)：QUOTEex≈1+xQUOTECr=SkBπv當(dāng)溫度較低時(shí)：QUOTE0∞exx3∴QUOTECr=AT2QUOTEA=6?(3)SkB3πvp23.6設(shè)某特殊二維系統(tǒng)聲子頻率QUOTEωk=Aq32（a）平均振動(dòng)能量正比于QUOTET73；（b）聲子比熱容及熵正比于.解：3.7題中∝對(duì)于二維系統(tǒng)∴∝同理熵：S∝∴∝3.7設(shè)d維簡(jiǎn)單晶格中，頻率ω與成正比，試證明（a）簡(jiǎn)正模（聲子譜）密度QUOTEρω=Bωdμ-1（b）比熱容QUOTECr=CTdμ.B、C為常數(shù).解：QUOTEω=quQUOTEdωdqQUOTEρ(ω)∝SddSddω/dqQUOTESd為d維空間等頻球面.∴QUOTEρ(ω)∝qd-1qu-1∝qd-u∴QUOTEρ(ω)∝ω令當(dāng)時(shí)這時(shí)故在低溫時(shí)3.8求在一維單原子鏈中，QUOTEω>ωM（截止頻率）格波的阻尼系數(shù)QUOTEα與QUOTEω的關(guān)系.解：?jiǎn)卧渔湥篞UOTEun=Aei[qna-ω(q)t]q∈1BzQUOTEωq=2βMsin12qaω當(dāng)時(shí)QUOTEsin12qa>1，q必定為復(fù)數(shù)，令QUOTEωωm=sin1QUOTE12q1a=h±12πQUOTEq1=將帶入QUOTEq1=πa+i2aQUOTEα=2arcshωωm為指數(shù)衰減因子.3.9Grüneisen常量.（a）證明頻率為ω的聲子模的自由能為；（b）如果Δ是體積的相對(duì)變化，則晶體的自由能可以寫(xiě)為其中B為體積的彈性模量，假定與體積關(guān)系為QUOTEdωqωq=-γΔ，QUOTEγ為Grüneisen常量，如果認(rèn)為γ與模q無(wú)關(guān)，證明，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)對(duì)Δ為極小，并證明利用熱能密度，可將它寫(xiě)為；（c）根據(jù)Debye證明：.其中(kB為波爾茲曼常量).解：考慮頻率為ω的聲子模，配分函數(shù)為自由能：QUOTElnz=kBTln晶體的自由能為：若晶體體積改變?yōu)镼UOTEδr則QUOTEFr+δr,T=Er+δr+k為體彈性模量.∴QUOTEF?,T=12B其中QUOTEγk=-rωk?ωk假定與k無(wú)關(guān)∴QUOTEB=-?2kcoth?(?ωk∴QUOTE?B=γk12?ω平均熱能：假定與T無(wú)關(guān)由物態(tài)方程QUOTEP=-(?E?r)T利用Deby近似，將第二項(xiàng)化為：令,,上式化為：∴平均熱能：QUOTEP=-dEdr+γU(T)r取時(shí)為正值（Grüneisen常量）3.10科恩（Kohn）反常.假定作用在l平面上總的力為方程其中晶面間的力常量為QUOTECp=Asink0式中A和為常數(shù)QUOTEk0為常數(shù)，p取遍所有整數(shù).在金屬中可能有這種形式.利用此式和晶格振動(dòng)方程證明其色散關(guān)系為QUOTEω2q=2Mp>0Cp(1-cosqpa).計(jì)算的表達(dá)式.證明當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮大，并討論QUOTEω2(q)解：若力常數(shù)為代入QUOTEmus=pCp令：QUOTEus=Aei(qna-ωt)得：QUOTE?ω2?k2=當(dāng)時(shí)右邊發(fā)散即：說(shuō)明聲子色散關(guān)系或曲線在處斜率出現(xiàn)了垂直的正切變化，也就是聲子色散關(guān)系在曲線QUOTEk0處有曲折（kink）此即Kohn反常3.11軟聲子模.設(shè)有等質(zhì)量而電荷交替變號(hào)的一維離子鏈，第l個(gè)離子的電荷為QUOTEe=e?(-1)l.原子間的勢(shì)為兩種貢獻(xiàn)之和：（1）最近鄰離子間的短程彈性相互作用，力常量為C1e=β，以及（2）所有離子間的庫(kù)倫相互作用.證明庫(kù)倫相互作用對(duì)原子的力常量的貢獻(xiàn)為QUOTEC1e=2(-1)le2l3a由晶格振動(dòng)方程推導(dǎo)下列一般的聲子色散關(guān)系：證明：色散關(guān)系可寫(xiě)為式中，而證明在布里淵區(qū)邊界處，若QUOTEσ>0.475或時(shí)，則是負(fù)的（不穩(wěn)定模），這里是Riemann-Zeta函數(shù).進(jìn)而證明，如果QUOTEσ>2ln2-1=0.721，則對(duì)于小的qa聲速為虛數(shù).所以若QUOTE0.475<σ<0.721，對(duì)于在QUOTE(0-π）區(qū)間內(nèi)的某個(gè)qa，變?yōu)榱?，因而晶格不穩(wěn)定.注意，聲子譜不是雙原子晶格型的，因?yàn)槿我浑x子與其近鄰的相互作用與其他離子相同.解：軟聲子模設(shè)離子鏈沿水平方向，第n個(gè)離子右端的第n+p個(gè)離子與第n個(gè)離子間的庫(kù)倫力QUOTEfn+p,n=-(-1)n+p(-1)ne2[pa+un+p-un]2QUOTEfn+p,n≈-(-1)pe2第n個(gè)離子左端的第n-p個(gè)離子與第n個(gè)離子間的庫(kù)倫力QUOTEfn-p,n=(-1)n-p(-1)nQUOTEfn-p,n≈(-1)pe2QUOTEfn±p,n≈2-1pe∴庫(kù)倫力時(shí)常數(shù)貢獻(xiàn)QUOTE2-1pe2p第n個(gè)離子的運(yùn)動(dòng)方程：QUOTEun+p=Aein+pqa-ωt]QUOTEun=AeQUOTE∴ω2=βm2-eiqa-e-iqaQUOTE=4βm[sin2qa2+e2βa3p=1∞-1p1-cosqpap-3]QUOTEωω0=sin2qa有QUOTEω2ω0=1-2σ1+133+153+173+…QUOTEω2ω02=1-7?(3)4σ時(shí)（軟模）第四章能帶論4.1一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)ψk（a）（b）（c）f是某確定的函數(shù)，試求電子在這些態(tài)的波矢.解：由QUOTEψ(r+Rn)=在一維周期場(chǎng)：QUOTEΨkx+a=icos[3π∴QUOTEeika=-1QUOTEk=±πa,±3πa,±5πQUOTEeika=-1∴QUOTEk=±πa,±3πa,±5πQUOTEΨkx+a=l=-∞∞f(x+a-la)lQUOTEΨkx+a=l'QUOTEeika=1∴QUOTEk=0,±2πa,±4πa,±6πa…在布里淵區(qū)內(nèi)QUOTEk=04.2試證明，在δ函數(shù)組成的以為周期勢(shì)場(chǎng)QUOTE=i=-∞+∞δ(x-la)中，單電子能量由下列Kronig—Penney關(guān)系決定：QUOTEcoska=maA?2sinαaαa+cosαa，QUOTEα2=2mE?2；并用結(jié)果說(shuō)明每一能帶曲線均滿(mǎn)足當(dāng)證明：在I區(qū)域中：QUOTE(-b<x<a)QUOTEψx=Aeikx其中QUOTEk=2mE?，QUOTEk'=2m(E-r0)/h在QUOTEx=0處波函數(shù)連續(xù)且QUOTEψ，連續(xù)得：QUOTEA+B=C+DQUOTEkk'(A-B)=C-DQUOTED=12[1-kk'在區(qū)域=2\*ROMANIIQUOTEψ(X)=eika+bψ(x-a-b)QUOTE(a<X<2a+b,-b<x-a-b<a)按Flogue定理在區(qū)域=1\*ROMANI和=2\*ROMANII的交界處QUOTE（x=a)，QUOTEψ及QUOTEψ'必須連續(xù)得：QUOTEAeika+Be-ika=eika+bψ-b代入C，D得：方程有解條件為行列式為零化簡(jiǎn)得：QUOTEcoskacosk'b-(∴只有當(dāng)QUOTEcoskacosk'b-k2對(duì)于QUOTEE<r0只需把QUOTEk'→ik又QUOTEcosikb=chkbQUOTEsinikb=ishkb當(dāng)QUOTEb→0QUOTEr0→∞令QUOTEb0r0=γ(常數(shù))QUOTEr(x)=γn=-∞∞δ(x+ηa)QUOTEγ=br0=Ω?2即：QUOTEmr0?2=QUOTEγ為常數(shù)QUOTEb→0QUOTE（r0→∞）QUOTEchkb→0QUOTEshkb→kb而QUOTEk2?2mr04.3電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能且QUOTE=4b，ω是常數(shù).試畫(huà)出此勢(shì)能曲線，并求此勢(shì)能的平均值.4.4用近自由電子模型處理上題，求此晶體第一及第二禁帶寬度.解：自由電子模型，某帶寬度QUOTErn=1a-QUOTEEg1=2r1QUOTE=214b-a2QUOTE=214b-bbmQUOTEVr=Vx，y=-4UcosQUOTEVr按倒格矢展開(kāi)的傅里葉系數(shù)QUOTEV(kh)；對(duì)近自由電子而言，在哪些布里淵區(qū)界線上有Bragg反射？并寫(xiě)出相應(yīng)的能隙.解：由得QUOTE2V1=2U∴能隙為QUOTE2V1=2U此即布里淵區(qū)頂角處能隙.所求倒格基矢最近鄰次近鄰電子波函數(shù)QUOTEkh=b1+b2QUOTEψ0kxQUOTE<k'γ'k>=vn(k=k')QUOTE<k以Ij表示單位矢量，QUOTEb1b2表示倒格矢,QUOTEG=G1b1+GQUOTEg1,g1為整數(shù).晶體勢(shì)能其中QUOTEUx,y=-4Ucos(2πa而其他勢(shì)能縛氏系數(shù)QUOTEUG1,0=UG這樣基本方程:QUOTE(λk-ε)Ck+GUGQUOTE+UG1,1Ck-G1,1=0求布里淵區(qū)角頂QUOTE(πa,πa)QUOTEφ=Ckeikr+C(k-G)ei(k-G)r當(dāng)QUOTEk=-12G(1,1)時(shí)依次有QUOTEk-G1,1=-12G(1,1)QUOTEk-G(1,1)=12G(1,1)而其它的QUOTEk-G(1,1)>因?yàn)镼UOTEλ12G1,1=由行列式：QUOTE(λ-ε)2-U2=0QUOTEε=λ±U=?2π24.8平面正六角形晶格（如圖）六角形兩個(gè)對(duì)邊的間距是a，基矢為QUOTEa1=12ai+32aj試畫(huà)出此晶體的第一、二、三布里淵區(qū).解：取單位矢量垂直QUOTEa1,a2a3=kQUOTEΩ=a1?aQUOTEb1=2πa2QUOTEb2=2πa3QUOTEb3=2πa1在QUOTEb1、b2、平面內(nèi)選一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)最近鄰倒格矢有6個(gè)正六邊形為第一布里淵區(qū).4.9用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體s態(tài)電子的能帶:QUOTEE(k)=Es-試畫(huà)出沿方向QUOTE(ky=kz=0),和QUOTEv(kx的曲線.解:緊束縛s態(tài)電子能帶QUOTEEs=Esat-用緊束縛方法，只計(jì)其最近鄰格點(diǎn)作用時(shí)QUOTEEs(k)=Esat-取參考點(diǎn)的坐標(biāo)QUOTE(±a2,±a2,±QUOTEEs(k)=Esat-Cs-Jsnei在第一布里淵區(qū)邊界：QUOTEkx=ky=QUOTEEs=E0-8JQUOTEkx=ky=kz=0最小值為QUOTE∴kx=QUOTEmxx*=?2?在邊界QUOTE(±2πa,0,0)是能帶頂QUOTEmxx*=myy*其它交叉項(xiàng)的倒數(shù)也會(huì)為零。4.10用緊束縛方法導(dǎo)出面心立方晶體s態(tài)電子能帶：QUOTEEk=Es-并求能帶底部的有效質(zhì)量.解：由QUOTEEsk=Esat-C以為坐標(biāo)原點(diǎn)有12個(gè)最近鄰：QUOTE(0,±a2,±a2能帶底即最小值QUOTEmxx*=?2?2E4.11設(shè)一維晶體晶格常數(shù)為a，系統(tǒng)的哈密頓量QUOTEH=-?22md2QUOTEVx=-lAδ(x-la)，若已知孤立原子的勢(shì)和波函數(shù)為試用緊束縛近似求s態(tài)電子的能帶公式；（b）能帶寬度；（c）帶底有效質(zhì)量.解：由QUOTEvx=-n=1NAδ(x-na)QUOTEδ(x-na)為δ，孤立原子中s態(tài)電子的波函數(shù)QUOTEφsatx-na=αQUOTEEsk=Esat-CQUOTECs=-Naφsat*取等號(hào)格點(diǎn)，則QUOTECs=-Naφ上式積分只取了右邊的最近鄰，取左邊最近鄰也相同.又QUOTEneikRnQUOTEEk=φsatQUOTEk=πa時(shí)能最大QUOTEEπa=Esat+2AαQUOTEk=2πa時(shí)能最小QUOTEE2πa=Esat-2Aα帶寬QUOTEEπa-E2πa帶頂有效質(zhì)量QUOTEmxx*=?2?2E?kx2|kx4.12試由緊束縛近似證明晶格常數(shù)為a的簡(jiǎn)單一維晶體中，第l格位上s電子的概率幅Cl(t)式中QUOTEA=Es-J0，QUOTEB=J1，是孤立原子s軌道的能量，是晶場(chǎng)劈裂，是最近鄰交疊積分.假定一維中晶鏈中原子總數(shù)為N，試求：電子的能量與波矢關(guān)系QUOTEEk=？能帶寬度和帶頂空穴及帶底電子的有效質(zhì)量；設(shè)QUOTEA=0，求能帶電子的態(tài)密度QUOTEρE=?假定原子有一個(gè)價(jià)電子，試求QUOTET=0時(shí)的費(fèi)米子能QUOTEEF0.解：設(shè)第n個(gè)格點(diǎn)上電子的幾率振幅為：QUOTECn=C0ei(kna-E?t)第QUOTEn-1和第QUOTEn+1個(gè)格點(diǎn)上QUOTECn-1=C0ei[k(n-1)a-E?將以上三式代入QUOTEi?e=ACn-BCn-1QUOTEi?(-iE?)=A-Be-ika-Beika,QUOTEE=A-2BcoskaQUOTEk=0是電子能帶底，在能帶底電子能量的有效質(zhì)量QUOTEm*=?2?2QUOTEk=±πa為能帶頂QUOTEm*=?2?2E?帶頂空穴有效質(zhì)量QUOTEm?*=?22B能量區(qū)間波矢數(shù)為：QUOTEna2π?2dkQUOTEdz=2na2π?2dk=2Naπ?1dEdk?dEQUOTEA=0時(shí)能態(tài)密度：QUOTENE=dzdEA=0=2Nπ14設(shè)晶體有NQUOTEN個(gè)電子，在絕對(duì)零度時(shí)都分布在費(fèi)米能及以下，采用QUOTEN=0時(shí)的能態(tài)密度QUOTE=11-x2dx=sin-1xQUOTEEF0=2B4.13某晶體中電子的等能面是橢球面QUOTEE(k)=?22(kx2m1+ky解：由：QUOTEE=?22(kxQUOTEk122m1EQUOTEx2a2+y2QUOTEτ=43π2?22m1m2m3QUOTEdz=2rc(2π)3dτ=電子能態(tài)密度：QUOTENE=dzdE=QUOTEEk=?2k1QUOTE?kE(k)=磁感應(yīng)強(qiáng)度QUOTEB=B(k1α+k2應(yīng)用：帶入運(yùn)動(dòng)方程：QUOTEdkdt=-qβ[k1mQUOTEdk1dt=-qBk2m2γ-k3m3βQUOTEdk2dt令QUOTEk1=k10eiωtk即：QUOTEiωk10+qBγQUOTEiωk20+qBγQUOTEiωk30+qBβm由系數(shù)行列式為零QUOTEiωqBγm2-qBγmQUOTEω=0無(wú)意義QUOTEω=qB(1m2m3α4.14一維金屬的peierls失穩(wěn)（詳見(jiàn)基泰爾《固體物理導(dǎo)論》10.7式）考慮一維金屬電子氣費(fèi)米波矢為，滿(mǎn)足自由電子能譜如果一維晶格由電子氣相互作用產(chǎn)生的周期形變?yōu)?，其彈性能可表示為該形變同時(shí)使電子處在一個(gè)周期勢(shì)場(chǎng)中試計(jì)算：（a）在該周期勢(shì)作用下電子在附近的能譜；（b）對(duì)系統(tǒng)的電子能量和形變能求導(dǎo)，求出系統(tǒng)的最低能量所對(duì)應(yīng)的型變；（c）在時(shí)，形變的表達(dá)式為；解：考慮一個(gè)一維金屬，在絕對(duì)零度下其中電子充滿(mǎn)所有導(dǎo)帶軌道直到波矢，peierls提出這樣一個(gè)線性金屬在波矢為的周期性靜態(tài)點(diǎn)陣下是不穩(wěn)定的，這個(gè)形變?cè)谫M(fèi)米面上產(chǎn)生能隙，使能隙下面的能