《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件 孟祥波 第七章 參數(shù)估計(jì)

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第七章參數(shù)估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的基本問(wèn)題根據(jù)手中的數(shù)據(jù)，分析或推斷數(shù)據(jù)反映的本質(zhì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)推斷根據(jù)樣本對(duì)總體的分布或數(shù)字特征等作出合理的推斷核心問(wèn)題參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷的一種基本形式數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要分支參數(shù)估計(jì)的兩種形式點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)二、最大似然估計(jì)法一、矩估計(jì)法三、小結(jié)如果總體的分布類型是已知的，但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)是未知的，則需要對(duì)未知的參數(shù)作出估計(jì)，這就屬于參數(shù)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題．設(shè)是總體的分布函數(shù)，其中是未知參數(shù)，為總體的一個(gè)樣本設(shè)總體的分布中含有未知參數(shù)，從總體中抽取樣本，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量

作為參數(shù)的估計(jì)，則稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量；若樣本的觀測(cè)值為，則稱為參數(shù)

的點(diǎn)估計(jì)值.

定義：由于估計(jì)量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量,故對(duì)不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,如何求估計(jì)量是關(guān)鍵問(wèn)題.估計(jì)量的求法常用構(gòu)造估計(jì)量的方法:(兩種)矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.（1）矩估計(jì)基本思想一、矩估計(jì)法用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)，即用樣本矩去替換相應(yīng)的總體矩.矩可以是原點(diǎn)矩，也可以是中心距.英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾遜（KarlPearson）在1900年提出.（2）矩估計(jì)的理論基礎(chǔ)設(shè)總體的階原點(diǎn)矩存在，則由大數(shù)定律可知，當(dāng)時(shí)，樣本的階原點(diǎn)矩依概率收斂于.（3）矩估計(jì)的具體做法設(shè)總體的分布中含有個(gè)未知參數(shù)，

，為總體的一個(gè)樣本，假設(shè)總體的階原點(diǎn)矩都存在，則有用樣本的階原點(diǎn)矩作為總體的階原點(diǎn)矩的估計(jì)量，由此得到含有的方程組：求解方程組，得這就是未知參數(shù)的矩估計(jì)量．這就是未知參數(shù)的矩估計(jì)值．代入樣本觀測(cè)值得到個(gè)數(shù)，即例1：設(shè)總體，其中為未知參數(shù)，

是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量．由于解：所以參數(shù)的矩估計(jì)量為令即設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，其中

是未知參數(shù)，若取得樣本觀測(cè)值，試計(jì)算參數(shù)的矩估計(jì)值．例2：解：由于總體服從區(qū)間上的均勻分布，故其概率密度函數(shù)為故有而樣本的一階原點(diǎn)矩為由于只有一個(gè)未知參數(shù)，所以只需計(jì)算總體的一階原點(diǎn)矩所以的矩估計(jì)量為進(jìn)而得到的矩估計(jì)值例3：解：由于總體的分布中有兩個(gè)未知參數(shù)，故應(yīng)考慮一、二階原點(diǎn)矩，從而有設(shè)總體的均值及方差都存在，且有

，但均未知，又設(shè)是來(lái)自總體的樣本，試求的矩估計(jì)值．于是，由矩估計(jì)的方法得方程組解得及的矩估計(jì)量分別為進(jìn)一步得到及的矩估計(jì)值為以上結(jié)果表明：無(wú)論總體服從何種分布，只要總體的均值和方差存在，總體均值的矩估計(jì)量就是樣本均值，總體方差的矩估計(jì)量就是樣本二階中心矩，即其矩估計(jì)值為用儀器測(cè)量某零件的長(zhǎng)度（單位：mm），設(shè)測(cè)得的零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，現(xiàn)進(jìn)行5次測(cè)量，其結(jié)果如下：9294103105106試計(jì)算參數(shù)及的矩估計(jì)值．例4：解：由例3可知的矩估計(jì)量分別為及，故

的矩估計(jì)值分別為與，即矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是：簡(jiǎn)便、直觀，不需要事先知道總體是什么分布．缺點(diǎn)是：一般情形下，矩估計(jì)量不具有唯一性，而且對(duì)于總體矩不存在的情形不適用．二、最大似然估計(jì)法一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率。它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,然而，這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)舍爾(Fisher).費(fèi)舍爾在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).高斯費(fèi)舍爾最大似然估計(jì)又稱極大似然估計(jì)，是一種利用給定樣本觀測(cè)值來(lái)評(píng)估模型參數(shù)的方法.基本原理：利用已知的樣本結(jié)果信息，反推最具有可能（最大概率）導(dǎo)致這些樣本結(jié)果出現(xiàn)的模型參數(shù)值.（1）離散型總體設(shè)離散型總體的分布律為其中為未知參數(shù)，為的所有可能取值范圍（稱為參數(shù)空間），則對(duì)于給定的樣本觀測(cè)值，樣本的聯(lián)合分布律為令稱樣本為似然函數(shù)，它是未知參數(shù)的函數(shù)．（2）連續(xù)型總體設(shè)連續(xù)型總體的概率密度函數(shù)為其中為未知參數(shù)，為的所有可能取值范圍（稱為參數(shù)空間），則對(duì)于給定的樣本觀測(cè)值，樣本的概率密度為隨機(jī)變量落在點(diǎn)的鄰域（其半徑為）內(nèi)的概率可近似為當(dāng)取定時(shí)，它是的函數(shù)，記為，我們稱為樣本似然函數(shù)．由于與無(wú)關(guān)，故似然函數(shù)常取為最大似然估計(jì)法得到樣本值時(shí)，選取使似然函數(shù)

取得最大值的作為未知參數(shù)的估計(jì)值，即其中與有關(guān)，記為參數(shù)的最大似然估計(jì)值參數(shù)的最大似然估計(jì)量計(jì)算最大似然估計(jì)步驟離散型總體（1）寫(xiě)出似然函數(shù)連續(xù)型總體（2）似然函數(shù)兩側(cè)取自然對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)離散型總體連續(xù)型總體（3）求對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值點(diǎn)（通常為極大值點(diǎn)）對(duì)數(shù)似然方程可得的最大似然估計(jì)當(dāng)在端點(diǎn)處取得最大值時(shí)，的最大似然估計(jì)即為該端點(diǎn)值.當(dāng)為單峰函數(shù)，并在極大值點(diǎn)處取得最大值時(shí)，由例5：解：總體的分布律為設(shè)總體，是來(lái)自總體的樣本，求的最大似然估計(jì)量．設(shè)是相應(yīng)的樣本值，則似然函數(shù)為對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得對(duì)數(shù)似然方程由可得因此參數(shù)的最大似然估計(jì)量為設(shè)是來(lái)自總體的樣本，總體的概率密度函數(shù)為例6：解：設(shè)是相應(yīng)的樣本觀測(cè)值，則似然函數(shù)為其中是未知參數(shù)，求的最大似然估計(jì)量．在這里，最大似然估計(jì)只需考慮非零部分量最大就可以了，似然函數(shù)可改寫(xiě)為對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得由可得因此參數(shù)的最大似然估計(jì)量為當(dāng)總體的分布中有多個(gè)未知參數(shù)時(shí)，似然函數(shù)就是多元函數(shù)，則相應(yīng)地有方程組由此方程組解得的最大似然估計(jì)值．對(duì)數(shù)似然方程組例7：解：設(shè)總體的概率密度函數(shù)為設(shè)總體，其中和是未知參數(shù)，取樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)和

的最大似然估計(jì)．則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)，得對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于和分別求偏導(dǎo)，得似然方程組由此解得及的最大似然估計(jì)值分別為最大似然估計(jì)量分別為從本例可以看到，正態(tài)總體參數(shù)的最大似然估計(jì)與矩估計(jì)是相同的．

設(shè)總體服從均勻分布，其中和

是未知參數(shù)，取樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)和的最大似然估計(jì).例8：解：設(shè)總體的概率密度函數(shù)為則似然函數(shù)為令，則似然函數(shù)可以寫(xiě)為由于當(dāng)及時(shí)，似然函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)不為零，故按照最大似然原理來(lái)確定的最大值．對(duì)于滿足及

的任意，有即似然函數(shù)在，時(shí)取得最大值．故，的最大似然估計(jì)值分別為最大似然估計(jì)量分別為最大似然估計(jì)的不變性原理設(shè)是的最大似然估計(jì)，是的函數(shù)，且具有單值的反函數(shù)，則是的最大似然估計(jì)．正態(tài)分布總體中，的最大似然估計(jì)值為

是的函數(shù)，且具有單值的反函數(shù)，故的最大似然估計(jì)值為類似地，的最大似然估計(jì)值為注意：（1）當(dāng)似然函數(shù)關(guān)于未知參數(shù)不可微時(shí)，只能按最大似然原理計(jì)算最大值點(diǎn)；（2）上述方法推廣至多個(gè)未知參數(shù)的情形；（3）對(duì)數(shù)似然方程對(duì)數(shù)似然方程組小結(jié)兩種求點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法，最大似然估計(jì)法.3.注：在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中往往先使用最大似然估計(jì)法,在最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí),再用矩估計(jì)法.2.

似然函數(shù).4.最大似然估計(jì)的一般步驟：（3）判斷并求出最大值點(diǎn)，用樣本值代入就是參數(shù)

的最大似然估計(jì)值．（1）寫(xiě)出似然函數(shù)；（2）令或，求出駐點(diǎn)；概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第七章參數(shù)估計(jì)第二節(jié)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)二、有效性一、無(wú)偏性三、一致性（相合性）四、小結(jié)在上一節(jié)中可知，對(duì)于同一個(gè)參數(shù)，用不同的點(diǎn)估計(jì)方法得出的估計(jì)量可能不同，即使利用同一種方法，也可能得到多個(gè)估計(jì)量．這就涉及到評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題.本節(jié)我們討論評(píng)價(jià)估計(jì)量常用的三條標(biāo)準(zhǔn)：（1）無(wú)偏性；（2）有效性；（3）一致性（相合性）．設(shè)是從總體中抽取的樣本，

是總體分布中未知參數(shù)的估計(jì)量，如果存在，且則稱是的無(wú)偏估計(jì)量．定義：一、無(wú)偏性無(wú)偏性的意義對(duì)于某些樣本值，用估計(jì)量得到的估計(jì)值相對(duì)于真值來(lái)說(shuō)有的偏大，有的偏小，但是平均來(lái)說(shuō)它等于未知參數(shù)．即不存在系統(tǒng)誤差．注意：（3）無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量一個(gè)常見(jiàn)而重要的要求，它

的實(shí)際意義指估計(jì)量沒(méi)有系統(tǒng)偏差，只是隨機(jī)

偏差.（1）如果，則稱為的有偏估計(jì)量，

稱為估計(jì)量的偏差；（2）如果是的有偏估計(jì)量，但，

則稱是的漸近無(wú)偏估計(jì)量；定理：設(shè)是取自總體的樣本，總體的均值為，方差為．則（1）樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量；（2）樣本方差是總體方

差的無(wú)偏估計(jì)量；證明因?yàn)闃颖鞠嗷オ?dú)立且與總體

服從相同的分布，故有由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)可知：（3）樣本二階中心矩不是總

體的無(wú)偏估計(jì)量，而是漸近無(wú)偏估計(jì)量．（1）（2）由于故樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量．則再由公式，可得因此即樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量．（3）由于又因?yàn)樗圆皇堑臒o(wú)偏估計(jì)量．所以是的漸近無(wú)偏估計(jì)量．二、有效性對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù)，它可能有多個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，在這些估計(jì)量中自然選用對(duì)的平均偏離程度較小者為好，也就是說(shuō)一個(gè)較好的估計(jì)量應(yīng)有較小的方差．由此我們引入評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：有效性．設(shè)和都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，且，則稱較的有效．定義：

當(dāng)樣本容量一定時(shí)，若在的所有無(wú)偏估計(jì)量中，的方差最小，則稱是的有效估計(jì)量．設(shè)是總體的樣本，證明

都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量，并比較哪個(gè)估計(jì)量更有效．例1：由于解：又因?yàn)樗?，都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量．又因?yàn)椋暂^

更有效．三、一致性（相合性）在樣本容量一定的情況下，無(wú)偏性和有效性能夠較好地反映估計(jì)量的好壞．但是隨著樣本所包含信息的增多，當(dāng)充分大時(shí)，我們希望估計(jì)值在某種意義下穩(wěn)定在真值附近．這就是第三個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：一致性（相合性）．設(shè)是總體參數(shù)的估計(jì)量，如果對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，

依概率收斂于，即對(duì)于任意，有則稱是總體參數(shù)的一致估計(jì)量或相合估計(jì)量．定義：設(shè)是總體的樣本，且證明：樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量．例2：證明：由于樣本是相互獨(dú)立的，且與總體服從相同的分布，故有再由切比雪夫定理，其中則有所以樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量．說(shuō)明：（1）樣本方差是總體方差的一致估計(jì)量．用樣本的階原點(diǎn)矩與樣本方差作為總體的階原點(diǎn)矩與總體方差的估計(jì)是無(wú)偏的、一致的，且是較好的估計(jì)．（2）若是連續(xù)函數(shù)，

是的一致估計(jì)量，則是的一致估計(jì)量，故用矩估計(jì)法得到的統(tǒng)計(jì)量一般是一致估計(jì)量．在大多數(shù)情況下，最大似然估計(jì)量也是一致估計(jì)量．小結(jié)無(wú)偏性3.一致性（相合性）2.

有效性概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第七章參數(shù)估計(jì)第三節(jié)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)四、小結(jié)一、置信區(qū)間的概念三、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

定義1：設(shè)總體的分布函數(shù)一、置信區(qū)間的概念中含有一個(gè)未知參數(shù)所有可能取值的范圍），由總體的樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量其中若對(duì)于給定的，使得則稱隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為的置信區(qū)間，稱為置信水平，分別稱為的雙側(cè)置信上限和雙側(cè)置信下限.注：（1）置信區(qū)間的長(zhǎng)度反映了估計(jì)的精度；（2）反映估計(jì)的可靠性，值越大，估計(jì)的（3）置信水平可靠性越高.而精度和可靠性是矛盾的.的含義：在隨機(jī)抽樣中，如果進(jìn)行N次抽樣，則隨機(jī)得到N個(gè)區(qū)間，這N個(gè)區(qū)間中有的包含未知參數(shù)的真值，有的不包含.二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體是總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，置信水平為1.正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（1）已知時(shí)，的置信區(qū)間利用樣本函數(shù)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)定義，有即得到的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間或例1

從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得滾珠的直徑（單位：mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8若滾珠直徑服從正態(tài)分布，并且已知

求滾珠直徑均值的置信水平為95%的置信區(qū)間.解

計(jì)算樣本均值，置信水平查表得，由此得的置信水平為95%的置信區(qū)間為即注：未知參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間并不是唯一的.置信區(qū)間的長(zhǎng)度隨置信水平變化.(2)未知時(shí)，的置信區(qū)間當(dāng)未知時(shí)，選取樣本函數(shù)由于t分布的分布曲線對(duì)稱于y軸，故給定的置信水平，選取對(duì)稱區(qū)間.使得即則于是置信區(qū)間為例2從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得滾珠直徑（單位mm）為：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8.若滾珠直徑服從正態(tài)分布，求滾珠直徑均值的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，置信水平，，自由度，查表得，則的置信區(qū)間為即注：比較兩例，未知時(shí)的置信區(qū)間要比已知時(shí)的置信區(qū)間長(zhǎng)度大一些，這表明當(dāng)未知條件增多，估計(jì)精度變差.2.正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)（1）已知時(shí)，的置信區(qū)間構(gòu)造樣本函數(shù)注：分布的分布曲線不對(duì)稱，找到最短置信區(qū)間是困難的，所以仿照曲線對(duì)稱情形選取區(qū)間.故有即即得到置信區(qū)間為例3

從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得滾珠直徑（單位mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8.若滾珠直徑服從正態(tài)分布，已知求滾珠直徑方差的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：已知?jiǎng)t方差的置信水平為95%的置信區(qū)間為即所以置信水平為95%的置信區(qū)間為(2)未知時(shí)，的置信區(qū)間選取樣本函數(shù)選取分位點(diǎn)可得即置信區(qū)間為例4從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得滾珠直徑（單位：mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8若滾珠直徑服從正態(tài)分布，若未知，求滾珠直徑方差的置信水平為95%的置信區(qū)間.解：樣本方差置信水平自由度查表得置信區(qū)間為即三、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要研究?jī)蓚€(gè)正態(tài)總體均值或方差之間的差異問(wèn)題，要討論兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題.設(shè)總體是總體,的樣本，樣本均值和樣本方差.,是總體的樣本，樣本均值和樣本方差1.兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)（1）已知時(shí)，的置信區(qū)間有有樣本函數(shù)對(duì)于給定的置信水平，有即則有因此均值差的置信區(qū)間為例5比較甲，乙兩種鋼板的強(qiáng)度，從甲鋼板中抽取20個(gè)樣品，測(cè)得強(qiáng)度均值為從乙鋼板中抽取25個(gè)樣品，測(cè)得強(qiáng)度均值為設(shè)兩種鋼板強(qiáng)度服從正態(tài)分布，其方差分別為試計(jì)算兩種鋼板強(qiáng)度均值差的置信水平90%的置信區(qū)間.解：置信水平查表得數(shù)據(jù)代入得到置信區(qū)間為（2）均未知，但時(shí)，的置信區(qū)間選取樣本函數(shù)其中有即置信區(qū)間為例6兩批導(dǎo)線，從第一批中抽取4根，第二批抽取5根測(cè)得電阻如下（單位：）第一批：0.1430.1420.1430.138第二批：0.1400.1420.1360.1400138設(shè)第一批導(dǎo)線的電阻，第二批導(dǎo)線的電阻，可認(rèn)為，其中都未知，計(jì)算兩批導(dǎo)線電阻均值差的置信水平90%的置信區(qū)間.解：經(jīng)計(jì)算可得查表得代入得置信區(qū)間即2.兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)已知時(shí)，方差比的區(qū)間估計(jì)確定分位數(shù)有選取樣本函數(shù)得到方差比的置信區(qū)間為（2）未知時(shí)，的置信區(qū)間選取樣本函數(shù)給定的置信水平，確定分位數(shù)使得得到方差比的置信區(qū)間為小結(jié)一、置信區(qū)間的概念二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（四種情況）三、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（四種情況）概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第七章參數(shù)估計(jì)第五節(jié)綜合例題設(shè)總體，抽取樣本，

（1）若已知，計(jì)算未知參數(shù)

的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量，并討論它們的無(wú)偏性；（2）若已知，計(jì)算未知參數(shù)的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量，并討論它們的無(wú)偏性．例1：解：（1）由于，所以參數(shù)的矩估計(jì)量為下面計(jì)算的最大似然估計(jì)量．因?yàn)橐阎运迫缓瘮?shù)為上式兩邊取對(duì)數(shù)，得上式兩側(cè)關(guān)于參數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)，并令一階導(dǎo)數(shù)等于零，得由此解得的最大似然估計(jì)值為所以的最大似然估計(jì)量為因?yàn)槭强傮w均值，是樣本均值，所以由本章第二節(jié)定理7.2.1可知，的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量都是無(wú)偏估計(jì)量．（2）由于，且已知，根據(jù)有由矩估計(jì)法得到參數(shù)的矩估計(jì)量為由于所以，的矩估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)量．上式兩側(cè)關(guān)于參數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)，并令一階導(dǎo)數(shù)等于零，得上式兩邊取對(duì)數(shù)，得下面計(jì)算的最大似然估計(jì)量．由于已知，所以似然函數(shù)為由此解得的最大似然估計(jì)值為所以，的最大似然估計(jì)量為由，有所以，的最大似然估計(jì)量也是無(wú)偏估計(jì)量．設(shè)為正態(tài)總體的一個(gè)樣本，試確定常數(shù)的值，使

為的無(wú)偏估計(jì)．例2：解：由于所以再由（無(wú)偏性），故有所以例3：解：對(duì)方差為已知的正態(tài)總體來(lái)說(shuō)，問(wèn)需取容量為多大的樣本，才能使總體均值的置信水平為的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于？由于的置信區(qū)間為故的置信區(qū)間長(zhǎng)度為要使其不大于，需有從而即需至少取樣本容量為，才能使總體均值的置信水平為的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于．解：由于且知，故得設(shè)和為參數(shù)的兩個(gè)獨(dú)立的無(wú)偏估計(jì)量，且假設(shè)，求常數(shù)和，使

為的無(wú)偏估計(jì)，并使方差最?。?：又由于要使方差達(dá)到最小，需在滿足的條件下，使達(dá)到最?。睿氲茫箨P(guān)于的一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得從而解得解：進(jìn)而有設(shè)總體，其中為未知參數(shù)，

是的樣本，試證明：是的相合估計(jì)量．例5：由于，所以應(yīng)用切比雪夫不等式，有即從而由于概率不能大