數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

數(shù)學(xué)探究：楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用

衡陽市八中

謝德斌問題1：按照確定的順序排列的一列數(shù)是數(shù)列，如果研究的內(nèi)容從一維拓展到二維，那么將數(shù)字按照一定順序組合成的圖形就是數(shù)陣，你之前接觸過數(shù)陣嗎？賈憲開方作法本源圖11世紀(jì)13世紀(jì)17世紀(jì)楊輝帕斯卡研究概率問題“帕斯卡三角”<<從楊輝三角談起>>華羅庚20世紀(jì)一、認(rèn)識(shí)“楊輝三角”問題2：你知道楊輝三角的歷史由來嗎？問題3：楊輝三角是按照怎樣的規(guī)則構(gòu)成的？

楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)有何聯(lián)系？11121133114641151010511615201561

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1第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行第n行一、認(rèn)識(shí)“楊輝三角”

對(duì)稱性：11121133114641151010511615201561

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1遞推性：第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行二、初探“楊輝三角”問題3：你認(rèn)為可從哪些方面探究楊輝三角？我們?cè)撊绾翁骄織钶x三角的性質(zhì)？“楊輝三角”的探究方向研究內(nèi)容性質(zhì)應(yīng)用研究方法觀察歸納猜想證明研究方向局部整體楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)楊輝三角與數(shù)列楊輝三角的“形”如何觀察？11121133114641151010511615201561

1橫看，斜看，豎看，連續(xù)看，隔行看等；采取畫一畫，連一連，算一算，進(jìn)行歸納和猜想.11121133114641151010511615201561

1橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.橫看斜看11121133114641151010511615201561

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816324求和11121133114641151010511615201561

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20706求和第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行

聯(lián)想結(jié)構(gòu)，如何證明？探究方向一：“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)拓展1:一款如圖所示的彈子游戲,小球向容器內(nèi)跌落,碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落,碰到第二層阻擋物等可能地向兩側(cè)第三層跌落,如此,一直下跌.小球最終落入最底層.根據(jù)落入?yún)^(qū)域獲取獎(jiǎng)品的設(shè)計(jì)與小球跌落的區(qū)域有關(guān).試問:為什么落入中間區(qū)域的彈珠數(shù)多于兩邊區(qū)域的彈珠數(shù)？通過落入各個(gè)區(qū)域彈珠數(shù)的分布規(guī)律，同學(xué)們能不能得到二項(xiàng)式系數(shù)的一個(gè)分布規(guī)律呢？

探究方向一：“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)

小組展示，分享心得分享1分享2分享3楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)分享1分享3分享2楊輝三角與數(shù)列楊輝三角中的形分享1分享3分享2類比與猜想小結(jié)與收獲課后延伸與思考第5行

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14641常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)問題4：換個(gè)角度觀察楊輝三角，觀察由這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列，你能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?視角1：數(shù)列求通項(xiàng)視角2：對(duì)應(yīng)組合數(shù)第r斜列的通項(xiàng)為？

問題5：從每一斜列的和，你能提出哪些猜想？

在第r+1條斜線上(從右上到左下)前n-r個(gè)數(shù)字的和，等于第r+2條斜線上的第n-r個(gè)數(shù).探究方向二：“楊輝三角”與數(shù)列

拓展1:楊輝《詳解九章算法》有一個(gè)這樣的問題：三角垛，下廣，一面十二個(gè)，上尖，問計(jì)幾何.拓展2:試底層是每邊堆n個(gè)圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個(gè)，頂層是1個(gè)，求總數(shù).楊輝三角，簡單應(yīng)用

125第5行

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14641……138132134

斜線上各行數(shù)字之和的規(guī)律？第8行18285670562881斐波那契數(shù)列探究方向二：“楊輝三角”與數(shù)列問題5：斜線上各行數(shù)字之和有什么規(guī)律?試給出推理證明.

中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算術(shù)之法》中提出：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長成大兔子，再過一個(gè)月就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？

1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．

斐波那契數(shù)列與“兔子繁殖問題”斐波那契數(shù)學(xué)文化，拓展視野小組展示，分享心得分享1分享2分享3楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)分享1分享3分享2楊輝三角與數(shù)列楊輝三角中的形分享1分享3分享2類比與猜想小結(jié)與收獲課后延伸與思考如果用筆將楊輝三角中的偶數(shù)與奇數(shù)分別標(biāo)出，并保留全部的奇數(shù)，會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？11121133114641151010511615201561

1謝爾賓斯基三角形探究方向三：“楊輝三角”的形小組展示，分享心得分享1分享2分享3楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)分享1分享3分享2楊輝三角與數(shù)列楊輝三角中的形分享1分享3分享2類比與猜想小結(jié)與收獲課后延伸與思考

類比與猜想，主題升華

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，試從楊輝三角性質(zhì)（規(guī)律）歷經(jīng)的發(fā)現(xiàn)過程角度，談?wù)勀銓?duì)數(shù)學(xué)問題的研究（探究）方法與體會(huì).小結(jié)與收獲四:課后延伸與思考五:【課后拓展】請(qǐng)從其它研究方向繼續(xù)嘗試研究、發(fā)掘楊輝三角的規(guī)律，體驗(yàn)楊輝三角的“結(jié)構(gòu)美”，發(fā)現(xiàn)楊輝三角的“含蓄美”，展現(xiàn)楊輝三角的“形式美”，體會(huì)數(shù)學(xué)美及數(shù)學(xué)奧妙.【開放性作業(yè)】作業(yè)1：整理探究內(nèi)容，撰寫研究報(bào)告.作業(yè)2:查閱相關(guān)資料，進(jìn)一步探究開方算法的具體操作及其中蘊(yùn)含的算法思想及楊輝三角在網(wǎng)絡(luò)路徑問題的應(yīng)用.謝謝同學(xué)們?cè)僖?！?shù)學(xué)探究:楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用說課稿

衡陽市八中

謝德斌教學(xué)內(nèi)容分析一:利用適時(shí)地問題引導(dǎo)就能建立起知識(shí)之間的相互聯(lián)系，從而解決相關(guān)問題預(yù)計(jì)學(xué)生對(duì)于數(shù)陣中規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和歸納有困難，對(duì)性質(zhì)的解釋或證明也難度較大綜合分析問題的能力數(shù)學(xué)探究的能力，研究數(shù)陣的能力已有能力新能力學(xué)生情況分析二:知識(shí)方面組合數(shù)的定義二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角

奠定知識(shí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)已有知識(shí)已有知識(shí)能力方面教學(xué)設(shè)計(jì)思路三:1.數(shù)學(xué)探究，體現(xiàn)在探：從哪些角度去分析探討，即就某個(gè)問題深入研究?？紤]到楊輝三角的性質(zhì)很多，全部探究顯然是不實(shí)現(xiàn)的，所以做了這樣的處理，先由學(xué)生思考，小組討論得出研究的方向，估計(jì)學(xué)生可能會(huì)從“從二項(xiàng)式系數(shù)”角度--（數(shù)）；“從數(shù)的規(guī)律角度”--（數(shù)列）；“從結(jié)構(gòu)式及

“形”的角度--（圖）等方向來回答，再從中擷取一個(gè)方向作集中研究，當(dāng)生獲得了探究的方法、養(yǎng)成了探究的習(xí)慣，他們就會(huì)自發(fā)地去探究、主動(dòng)積極地學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)尋找解決問題的方向和方法，從而真正地提高學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).2.深入課題，明確定位：教材呈現(xiàn)給我們的只是楊輝三角規(guī)律當(dāng)中的冰山一角.因此，在教學(xué)內(nèi)容的選取上，如1中所述，以楊輝三角為載體，選取一個(gè)小視角，結(jié)合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，從二項(xiàng)式系數(shù)出發(fā)去探究，并歸納出一般數(shù)陣的研究方法，課尾引導(dǎo)學(xué)生類比，從楊輝三角形到楊輝三棱錐，使得二維上升到三維，力求使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)再次得到升華.教學(xué)設(shè)計(jì)思路三:3.契合主題，合作探究，力求合理布局，解決矛盾：作為一節(jié)探究課，最大的問題是學(xué)生探究時(shí)間與課堂時(shí)間的矛盾.在課堂上，若給學(xué)生足夠多的探究時(shí)間，學(xué)生可以討論整整一節(jié)課；若限制學(xué)生的探究時(shí)間，由于楊輝三角的內(nèi)容相對(duì)寵大，根本探究不出什么內(nèi)容，又失去了探究的意義.因此，探究課各環(huán)節(jié)的時(shí)間按排就顯得尤為重要，本節(jié)課中，擬采取課前自主探究、課內(nèi)合作交流與小組展示相結(jié)合的探究模式，將自主探究放在課外，讓學(xué)生課前對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行資料的查找與自主探究，既保證了探究的時(shí)間與效果，又保證了課堂的時(shí)間.4.設(shè)計(jì)學(xué)歷案：遵循“學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷歸還學(xué)生”理念，就目標(biāo)達(dá)成與否設(shè)計(jì)分層評(píng)價(jià)任務(wù)，學(xué)習(xí)（活動(dòng)）過程有序推進(jìn)，貫徹學(xué)-教-評(píng)一致性.力求形成幾個(gè)回路：運(yùn)用歸納思想進(jìn)行探索；運(yùn)用遞推的思想將特殊推向一般；運(yùn)用算法思想構(gòu)建了解決一類問題（數(shù)陣的研究）的數(shù)學(xué)模型。單元長作業(yè)課時(shí)任務(wù)內(nèi)容學(xué)習(xí)目標(biāo)作業(yè)規(guī)劃作業(yè)反饋探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用1知識(shí)層面(了解探