第1課時(橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第三章圓錐曲線的方程

我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個圓.如果改變圓錐的軸與截平面所成的角，那么會得到怎樣的曲線呢?

如圖,橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.

圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著緊密的關(guān)系.如行星繞太陽運(yùn)行的軌道是橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的外形線是雙曲線，探照燈反射鏡面、衛(wèi)星接收天線是拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所成的拋物面.....為什么圓錐曲線有如此廣泛的應(yīng)用呢?我們可以從它們的幾何特征及其性質(zhì)中找到答案.,它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣.

17世紀(jì)，笛卡兒發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開始借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法研究圓錐曲線.

本章我們繼續(xù)采用坐標(biāo)法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎(chǔ)上，建立它們的方程，通過方程研究它們的性質(zhì)，并解決與圓錐曲線有關(guān)的幾何問題和實(shí)際問題，進(jìn)-步感受數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會坐標(biāo)法的魅力與威力.3.1橢圓

橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用.那么，橢圓到底有怎樣的幾何特征?我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)?3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

第一課時(橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程)

取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點(diǎn))畫出的軌跡是一個圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1、F2(如右圖),套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線?

在這一過程中，移動的筆尖(動點(diǎn))滿足的幾何條件是什么?一、探究新知F1F2M

把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，筆尖移動的過程中，細(xì)繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù).二、橢圓的概念

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.

動點(diǎn)M到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定長的軌跡一定是橢圓嗎？1.改變兩圖釘間的距離，使其與繩長相等，軌跡還是橢圓嗎？不是，是線段F1F22.繩長小于兩圖釘之間的距離時，軌跡是什么？

軌跡不存在三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在我們根據(jù)橢圓的幾何特征,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立橢圓的方程.

觀察橢圓的形狀,你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單?

觀察右圖畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點(diǎn)的直線是它的對稱軸,所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.Oxy

設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c>0)，那么焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c，0)、(c，0).

根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1、F2的距離的和等于2a.

由橢圓的定義可知，橢圓可看作點(diǎn)集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

設(shè)為2a能為問題的研究帶來方便.三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程Oxy(-c,0)(c,0)(x,y)

如何化簡?a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

由橢圓的定義可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0.a、b哪個大?三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

這個方程表示焦點(diǎn)在x軸上，兩個焦點(diǎn)是F1(-c,0)、F2(c,0)的橢圓，這里c2=a2-b2.OxyF1F2M

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：注意

觀察右圖，你能從中找出表示a、b、c的線段嗎?OxyF1F2Mbacca

如右圖，如果焦點(diǎn)F1、F2在y軸上，且F1、F2的坐標(biāo)分別為(0，-c)、(0，c),a、b的意義同上，那么橢圓的方程是什么?OxyF1F2M三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

這個方程表示焦點(diǎn)在y軸上，兩個焦點(diǎn)是F1(0,-c)、F2(0,c)的橢圓，這里c2=a2-b2.注意三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程OxyF1F2M(-c,0)(c,0)yOxF1F2M(0,-c)(0,c)(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1.(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)a、b滿足a2=b2+c2.(3)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值.(4)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大焦點(diǎn)在那一個軸上.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：四、典型例題例1已知F1、F2是橢圓

的兩個焦點(diǎn)，直線AB過F1交橢圓

于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的周長.例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a=4,c=1,焦點(diǎn)在x軸上.(2)a+b=9，c=3.(3)焦點(diǎn)為(-4,0)、(4,0)，且橢圓過點(diǎn)(5,0).(4)焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓過點(diǎn)(0,2)、(1,0).四、典型例題四、典型例題例3已知橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)、(2,0)，并且經(jīng)過點(diǎn)

，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

你還能用其他方法求它的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?

試比較不同方法的特點(diǎn).c五、課堂小結(jié)橢圓的定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)橢圓分母看大小，焦點(diǎn)隨著大的跑.12yoFFMx1oFyx2FMabM1.橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程：五、課堂小結(jié)3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：(1)確定焦點(diǎn)的位置；(2)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)用待定系數(shù)法確定a、b的值;(4)寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.橢圓的定義具有雙向作