專題14 數列的通項公式?？记蠓ǎǚ謱佑柧殻ń馕霭妫?/h1>

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答案第=page22頁，共=sectionpages33頁專題14數列的通項公式?？记蠓ā揪毣A】一、單選題1．（2023·四川成都·統考一模）已知數列的前項和為．若，則（

）A．512 B．510 C．256 D．254【答案】C【分析】根據與的關系，結合等比數列的定義、等比數列的通項公式進行求解即可.【詳解】由，所以數列是以2為首項，2為公式的等比數列，于是，故選：C2．（2023·四川攀枝花·統考二模）已知正項數列的前n項和為，且，設，數列的前n項和為，則滿足的n的最小正整數解為（

）A．15 B．16 C．3 D．4【答案】A【分析】由遞推關系求得、，根據關系可得，由等差數列定義求出通項，最后應用對數的運算性質可得，進而求對應n的范圍，即可得答案.【詳解】由題設且，當時，，則，當時，，則，可得，所以，當時，，則，由上，也成立，故是首項、公差均為1的等差數列，則，即，又，所以，即，故的n的最小正整數解為.故選：A3．（2022·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統考模擬預測）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中出現了如圖所示的形狀后人稱為“三角垛”（如圖所示的是一個4層的三角躁）,“三角垛”最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球,…,設第層有個球,從上往下層球的總數為,則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據規(guī)律寫出遞推關系式,即可判斷選項D的正誤;再利用累加法即可求得通項公式,即選項C正誤,求出前7項,即可得選項B正誤,求出通項公式,利用裂項相消即可得選項A的正誤.【詳解】解:由題知,第一層有1個球,第二層有3個球,即,第三層有6個球,即,則第四層的球數為,當第層有個球時,第層有個球,所以,故選項D錯誤;因為,,,,將上述式子相加可得:,故,所以,故選項A正確;因為,,故選項B錯誤;因為,故選項C錯誤.故選:A二、多選題4．（2022·河南開封·統考一模）已知數列的前項和，若，則（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【分析】當時，由可得，當時，，驗證是否適合可得通項公式，代入通項公式求解可得結果.【詳解】解：當時，，當時，，，符合上式，數列的通項公式為：，故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，，，數列的前n項和為，則（

）A．0 B．50 C．100 D．2525【答案】B【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到，再分組求和；法二：先利用求出，又易知，從而得到為常數列，求出，再分組求和.【詳解】法一：由于①，則當時，②，①-②，得，即，易知，所以．又滿足，故，則，易知，所以.法二：由于①，則當時，②，①-②，得，即，又易知，所以數列為常數列，所以，所以，則，易知，所以.故選：B．6．（2023·四川內江·統考一模）已知數列滿足：，點在函數的圖象上，記為的前n項和，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由以及解析式求出，再由得出答案.【詳解】由題得，解得，故，所以故選：A．7．（2023·全國·高三專題練習）已知數列{}滿足，，則數列{}第2022項為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先通過條件得到，再利用累加法即可求解.【詳解】解：由.得，又，可得所以，，，……，，將上式相加得，故選：A.8．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列的前n項和為，，記，若數列的前n項和為，則（

）A． B． C．200 D．400【答案】C【分析】利用關系及等差數列的定義求的通項公式，進而可得，根據正弦函數的周期性并討論，求得，即可求.【詳解】由題設，則，所以，又為正項數列，則，由，可得，所以是首項為1，公差為2的等差數列，則，故，當且，；當且，；當且，；當且，；則，由.故選：C9．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學?？家荒＃┮阎堑缺葦盗械那绊椇停?，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據與的關系以及是等比數列，可求得，.進而判斷數列是以8為首項，4為公比的等比數列，根據等比數列前項和公式即可判斷C、D項.【詳解】當時，，當時，.因為是等比數列，所以需滿足，所以，.所以，A項正確，B項錯誤；因為，，所以數列是以8為首項，4為公比的等比數列.所以，所以C項錯誤，D項正確.故選：AD.10．（2022秋·山西·高三統考期中）已知數列的通項公式為，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據通項公式即可作出判斷.【詳解】對于A，6是偶數，則，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，，D錯誤.故選：BC.11．（2023·全國·高三專題練習）已知為數列的前項之和，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．為等差數列 B．若為等差數列，則公差為2C．可能為等比數列 D．的最小值為0，最大值為20【答案】CD【分析】當時，解出，當時，由退位相減法求得，討論和，求出數列的通項，再依次判斷即可.【詳解】當時，，解得或，當時，，，整理得，當時，若，可得此時為等差數列，若，，可得數列為等比數列，；當時，可得，數列為等差數列，若，可得，若，可得；故A錯誤；B錯誤；C正確；當時，；當時，；當時，；當時，；故D正確.故選：CD.12．（2022秋·黑龍江綏化·高三?？茧A段練習）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設第n層有個球，從上往下n層球的球的總數為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據題意求得，進而可得，利用累加法求出即可判斷選項A、C；計算前7項的和即可判斷B；利用裂項相消求和法即可判斷D.【詳解】由題意得，，以上n個式子累加可得，又滿足上式，所以，故A錯誤；則，得，故B正確；有，故C正確；由，得，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．（2023·全國·校聯考模擬預測）記函數在處的導數為，則________．【答案】【分析】求導后可得，結合對數運算法則可求得結果.【詳解】，，即，.故答案為：.14．（2023秋·江蘇揚州·高三?？计谀┮阎獢盗械那绊椇蜑椋?，，若數列滿足，，則_____________.【答案】5149【分析】用求出的遞推，然后根據遞推求通項,根據，分奇偶項來找規(guī)律求解.【詳解】∵，∴.當時，，∴，即.∴.……，上式累加得，∴.當時也滿足，故.又，，∴，當時，，①當時，，②當時，，③由①②得，由②③得，∴.故答案為：514915．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）數列滿足，，則__________【答案】【分析】由已知整理得，先利用累乘法求數列的通項，再利用錯位相減法求其前2021項的和，從而得到結果.【詳解】由得：，；設，則，，，，即，，，.故答案為：.16．（2022·上海青浦·統考一模）已知數列中，，記的前項和為，且滿足．若對任意，都有，則首項的取值范圍是______．【答案】【分析】根據給定的遞推公式，分段求出數列的表達式，再利用給定不等關系列出不等式組求解作答.【詳解】，，有，于是得，有，因此，數列分別是以為首項，6為公差的等差數列，而，，即有，解得，又，則有，于是得，，因對任意，都有，則，，從而得，解得，所以首項的取值范圍是.故答案為：【點睛】思路點睛：給出與的遞推關系，求，常用思路是：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與n之間的關系，再求.四、解答題17．（2023·云南紅河·統考一模）已知正項數列的前n項和為，且滿足．(1)求數列的通項公式：(2)若，數列的前n項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)利用，的關系，結合已知條件以及等差數列的通項公式即可求得結果；(2)根據(1)中所求，利用裂項求和法求出，即可證明.【詳解】（1）因為，所以．當時，可知，解得，當時，，兩式相減，得，即，又因為，所以，所以數列是以為首項，1為公差的等差數列，所以．（2）由（1）知．所以，因為，所以．18．（2023·河南鄭州·統考一模）已知數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）用數列中前項和與項的關系求解；（2）先寫出奇數項、偶數項的通項公式，再按奇數項、偶數項分組求和.【詳解】（1）由題意當時，；當時，兩式相減得，所以，當時也成立．所以數列的通項公式.（2）根據題意，得所以所以【提能力】一、單選題19．（2022·浙江·統考高考真題）已知數列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.

20．（2021·浙江·統考高考真題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據累加法可得，，當且僅當時取等號，，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關鍵是通過倒數法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．21．（2018·陜西安康·統考三模）已知數列滿足，則（

）A． B．2525 C． D．2526【答案】C【分析】由已知得出數列為等差數列，求出通項公式后，累加法求得.【詳解】解析：由已知，∴數列為等差數列，，∴∴．故選：C．22．（2022秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習）已知數列和首項均為1，且，，數列的前n項和為，且滿足，則（

）A．2019 B． C．4037 D．【答案】D【分析】先利用條件得到，進而得到，代入，利用與的關系推得是等差數列，進而求出，代入即可求得結果.【詳解】解：，，，另外：，可得，.，，即，，又，數列是首項為1，公差為2的等差數列，，故，.故選：D.23．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚中市第二高級中學?？计谀?022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數學中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復，直到無窮，形成雪花曲線，．設雪花曲線的邊長為，邊數為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構成等比數列 D．【答案】B【分析】根據已知寫出、、的通項公式且時，應用累加法求通項，進而判斷各選項的正誤.【詳解】據題意知：，∴，A錯誤；，當時，，D錯誤；∴，由也滿足上式，則，所以不構成等比數列，C錯誤；由上，，則，B正確.故選：B．24．（2022·全國·高三專題練習）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》．1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．此定理講的是關于整除的問題，現將到這個數中，能被除余且被除余的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則該數列共有（

）A．項 B．項 C．項 D．項【答案】B【分析】由已知可得能被除余且被除余的數即為能被除余，進而得通項及項數.【詳解】由已知可得既能被整除，也能被整除，故能被整除，所以，，即，故，即，解得，故共項，故選：B.25．（2022·全國·高三專題練習）數列滿足，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．是等比數列C． D．【答案】D【分析】推導出數列是等差數列，確定該數列的首項和公差，可求得的表達式，可判斷C選項；利用等差中項的性質可判斷A選項；利用等比數列的定義可判斷B選項；計算出、的值，可判斷D選項.【詳解】由，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，所以，且，所以，數列是等差數列，且該數列的首項為，公差為，所以，，則，其中，C對；，所以，數列是等比數列，B對；由等差中項的性質可得，A對；由上可知，則，，所以，，D錯.故選：D.26．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，且，若表示不超過x的最大整數（例如，）.則（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【分析】由題設得是首項為4，公差為2的等差數列，可得，再應用累加法求的通項公式，最后求結合函數新定義得，即可求目標式結果.【詳解】由題設，，，故是首項為4，公差為2的等差數列，則，則，所以，故，又，當時，當時，所以2021.故選：D【點睛】關鍵點點睛：構造數列并求通項公式，再由累加法求的通項公式，結合函數新定義求目標式的值.二、多選題(共0分)27．（2023·全國·高三專題練習）數列首項，對一切正整數，都有，則（

）A．對一切正整數都有 B．數列單調遞減C．存在正整數，使得 D．都是數列的項【答案】ABD【分析】由題可得，進而可得，然后逐項分析即得.【詳解】對于A，由，得，即，所以，又，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以，所以.因為，故A正確；對于B，由，得，故B正確；對于C，因為對任意正整數都有，即，所以，所以不存在正整數，使得，故C錯誤；對于D，因為，且，所以都是數列的項，故D正確.故選：ABD.28．（2022秋·湖南岳陽·高三校考階段練習）設首項為1的數列的前項和為，若，則下列結論正確的是（）A．數列為等比數列B．數列的通項公式為C．數列為等比數列D．數列的前n項和為【答案】AD【分析】由條件找到可判斷A正確，由A可求得的通項公式，利用分組求和可得D正確，由的通項公式可求得的通項公式，進而可確定CD錯誤.【詳解】又數列是首項公比都為的等比數列，故選項A正確.又所以數列的前和為，故選項D正確.又因為，當，當，，故選項B錯誤.所以數列不是等比數列.故選項C錯誤.綜上，故選：AD29．（2021·全國·高三專題練習）斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.它來源于斐波那契數列，又稱為黃金分割數列.現將斐波那契數列記為，，，邊長為斐波那契數的正方形所對應扇形面積記為，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據數列的遞推公式可判斷選項A，再根據累加法計算判斷選項B，根據扇形的面積公式判斷選項C，再次應用累加法及遞推公式判斷選項D.【詳解】由遞推公式，可得，，所以，A選項正確；又由遞推公式可得，，，類似的有，累加得，故錯誤，B選項錯誤；由題可知扇形面積，故，故錯誤，C選項錯誤；由，，，，類似的有，累加得，又，所以，所以正確，D選項正確；故選：AD.30．（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，其前項和為，則下列結論中正確的有（

）A．是遞增數列 B．是等比數列C． D．【答案】ACD【分析】將遞推公式兩邊同時取指數，變形得到，構造等比數列可證為等比數列，求解出通項公式則可判斷A選項；根據判斷B選項；根據的通項公式以及對數的運算法則計算的正負并判斷C選項；將的通項公式放縮得到，由此進行求和并判斷D選項.【詳解】因為，所以，從而，，所以，所以，又，是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，即，又因為在時單調遞增，在定義域內單調遞增，所以是遞增數列，故A正確；因為，所以，所以，所以，所以不是等比數列，故B錯誤.因為，而，從而，于是，，故C正確.因為，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：數列單調性的一般判斷步驟：（1）先計算的結果，然后與比較大?。ㄒ部梢杂嬎愕闹担缓笈c比較大小，但要注意項的符號）；（2）下結論：若，則為遞增數列；若，則為遞減數列；若，則為常數列.三、填空題(共0分)31．（2022·陜西西安·西安中學?？寄M預測）已知數列滿足，，則數列的前100項和______．【答案】【分析】疊加法求解，再裂項相消法求和即可.【詳解】∵，∴時，．∴（），當時也滿足上式，∴（）∴，（）∴數列的前項和（）所以數列的前100項和．故答案為：．32．（2023·陜西寶雞·校聯考模擬預測）已知數列滿足，則數列的前2022項的和為___________.【答案】【分析】利用累加法求數列的通項公式，再利用裂項相消法求數列的前2022項的和即可.【詳解】由題意可知，滿足，當時，，，以上各式累加得，.，當時，也滿足上式，∴，則.∴數列的前n項和為，∴.故答案為：.33．（2022春·河南鄭州·高三校聯考階段練習）數列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.【詳解】從而可得即，因為，所以.故答案為：34．（2022秋·河南南陽·高三南陽中學?？茧A段練習）已知數列的前n項和為，且，設函數，則______．【答案】##【分析】根據可求，從而可求.易驗證，故可采用倒序相加法求題設式子的值．【詳解】∵①，∴當時，②，①－②得，∴；當時，，∴，此時仍然成立，∴．∴當n=1時，；當時，，當n=1時，上式也成立，故．由于，設則，∴．故