湖北省黃岡市蔡河中學2023屆高三最后一模（5月月考）數學試題

湖北省黃岡市蔡河中學2023屆高三最后一模（5月月考）數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．小張家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小張家，小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件：“小張在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為，小張離開家的時間為，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．2．展開式中x2的系數為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12803．下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．4．如圖，拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若直線與以為圓心，線段（為坐標原點）長為半徑的圓交于，兩點，則關于值的說法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定5．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結果，則輸入的值為()A． B．C．3或 D．或6．已知函數，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．一物體作變速直線運動，其曲線如圖所示，則該物體在間的運動路程為（）m．A．1 B． C． D．29．設，則（）A． B． C． D．10．若復數，，其中是虛數單位，則的最大值為()A． B． C． D．11．已知，則的值構成的集合是（）A． B． C． D．12．已知復數，滿足，則（）A．1 B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2，則該圓柱的底面半徑為__________.14．已知，則__________．15．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.16．根據記載，最早發(fā)現勾股定理的人應是我國西周時期的數學家商高，商高曾經和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現有滿足“勾3股4弦5”，其中“股”，為“弦”上一點（不含端點），且滿足勾股定理，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列是等差數列，其前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：.18．（12分）已知橢圓：的長半軸長為，點（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，為直線上任一點，過點橢圓上點處的切線為，，切點分別，，直線與直線，分別交于，兩點，點，的縱坐標分別為，，求的值.19．（12分）某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機抽取50人，得到各班抽取的人數和其中本科上線人數，并將抽取數據制成下面的條形統(tǒng)計圖.（1）根據條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數為4萬，假設以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機抽取10名高三學生，求恰有8名學生達到本科線的概率（結果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數為3.6萬，假設該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數據：取，.20．（12分）已知向量，函數．（1）求函數的最小正周期及單調遞增區(qū)間；（2）在中，三內角的對邊分別為，已知函數的圖像經過點，成等差數列，且，求a的值．21．（12分）是數列的前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列中最小的項.22．（10分）如圖，在中，點在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件發(fā)生，需滿足，即事件應位于五邊形內，作圖如下：故選：D【點睛】考查幾何概型，是基礎題.2、A【解析】

根據二項式展開式的公式得到具體為：化簡求值即可.【詳解】根據二項式的展開式得到可以第一個括號里出項，第二個括號里出項，或者第一個括號里出，第二個括號里出，具體為：化簡得到-1280x2故得到答案為：A.【點睛】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數.3、D【解析】

根據以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，屬于基礎題.4、A【解析】

利用的坐標為，設直線的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達定理求解即可【詳解】據題意，得點的坐標為.設直線的方程為，點，的坐標分別為，.討論：當時，；當時，據，得，所以，所以.【點睛】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎題5、D【解析】

根據逆運算，倒推回求x的值，根據x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當，解得

，所以3是輸入的x的值；當時，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為

或3，故選：D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用，通過結果反求輸入的值，屬于基礎題.6、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數的解析式化簡，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數的解析式為，可得函數的值域為，結合條件，可得出、均為函數的最大值，于是得出為函數最小正周期的整數倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數，將函數的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數的圖象，易知函數的值域為.若，則且，均為函數的最大值，由，解得；其中、是三角函數最高點的橫坐標，的值為函數的最小正周期的整數倍，且．故選C．【點睛】本題考查三角函數圖象變換，同時也考查了正弦型函數與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、B【解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質的應用.8、C【解析】

由圖像用分段函數表示，該物體在間的運動路程可用定積分表示，計算即得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運動的路程公式，可得．所以物體在間的運動路程是．故選：C【點睛】本題考查了定積分的實際應用，考查了學生轉化劃歸，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.9、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復合函數求值．10、C【解析】

由復數的幾何意義可得表示復數，對應的兩點間的距離，由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復數的幾何意義可得，復數對應的點為，復數對應的點為，所以，其中，故選C【點睛】本題主要考查復數的幾何意義，由復數的幾何意義，將轉化為兩復數所對應點的距離求值即可，屬于基礎題型.11、C【解析】

對分奇數、偶數進行討論，利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數時，；為奇數時，，則的值構成的集合為.【點睛】本題考查三角式的化簡，誘導公式，分類討論，屬于基本題.12、A【解析】

首先根據復數代數形式的除法運算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點睛】本題考查了復數求模問題，考查復數的除法運算，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由圓柱外接球的性質，即可求得結果.【詳解】解：由于圓柱的高和球半徑均為2，,則球心到圓柱底面的距離為1，設圓柱底面半徑為，由已知有，∴，即圓柱的底面半徑為.故答案為：.【點睛】本題考查由圓柱的外接球的性質求圓柱底面半徑，屬于基礎題.14、【解析】解：由題意可知：.15、1【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據平移法判斷出最優(yōu)點，代入目標函數的解析式，易可得到目標函數的最大值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.16、【解析】

先由等面積法求得，利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得，依題意可得，，所以.故答案為：【點睛】本題考查向量的數量積，重點考查向量數量積的幾何意義，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）設數列的公差為，由，得到，再結合題干所給數據得到公差，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用放縮法證明不等式即可；【詳解】解：（1）設數列的公差為，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【點睛】本題考查等差數列的通項公式的計算，放縮法證明數列不等式，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）因為點在橢圓上，所以，然后，利用，，得出，進而求解即可（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達定理，再利用，，即可求出的值【詳解】（1）由橢圓的長半軸長為，得.因為點在橢圓上，所以.又因為，，所以，所以（舍）或.故橢圓的標準方程為.（2）設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為.據得.據題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，，所以.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題，聯(lián)立方程求定值的關鍵在于利用韋達定理進行消參，屬于中檔題19、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用上線人數除以總人數求解；（2）（i）利用二項分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【詳解】（1）估計本科上線率為.（2）（i）記“恰有8名學生達到本科線”為事件A，由圖可知，甲市每個考生本科上線的概率為0.6，則.（ii）甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數分別記為X，Y，依題意，可得，.因為2020屆高考本科上線人數乙市的均值不低于甲市，所以，即，解得，又，故p的取值范圍為.【點睛】本題考查二項分布的綜合應用，考查計算求解能力，注意二項分布與超幾何分布是易混淆的知識點.20、（1），（2）【解析】

（1）利用向量的數量積和二倍角公式化簡得，故可求其周期與單調性；（2）根據圖像過得到，故可求得的大小，再根據數量積得到的乘積，最后結合余弦定理和構建關于的方程即可．【詳解】（1），最小正周期：，由得，所以的單調遞增區(qū)間為；（2）由可得：，所以．又因為成等差數列，所以而，．21、（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，兩式作差可求得數列的通項公式；（2）求得，利用數列的單調性的定義判斷數列的單調性，由此可求得數列的最小項的值.【