遼寧省沈陽市和平區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

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數(shù)學(xué)

考試時(shí)間：150分鐘分?jǐn)?shù)：150分

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．B．C．D．

2．歐拉是世界上偉大的數(shù)學(xué)家，而歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式．其中最著名的有，復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式，即將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，公式內(nèi)容為：，則，（）

A．B．C．2D．1

3．若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）

A．B．C．D．

4．設(shè)分別是兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，（）

A．B．C．D．

5．赤崗塔是廣州市級(jí)文物保護(hù)單位，是廣州市明代建筑中較具特色的古塔之一，與琶洲塔、蓮花塔并稱為廣州明代三塔，如圖，在點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏東方向上的點(diǎn)處，塔頂?shù)难鼋菫?，在的正東方向且距點(diǎn)的點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏西方向上在同一水平面），則塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．C．D．

6．已知函數(shù)，若把的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍后，再將圖象向右平移個(gè)單位，可以得到，則下列說法不正確的是（）

A．B．的周期為

C．的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

D．在區(qū)間上有5個(gè)不同的解，則的取值范圍為

7．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意有，且，則不等式的解集為（）

A．B．C．D．

8．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；②在上有最大值；③若，則，④區(qū)間是的遞減區(qū)間．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④

二、多選題

9．下列說法正確的是（）．

A．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)

B．“”的必要不充分條件是“”

C．函數(shù)滿足，則的最小正周期為2

D．函數(shù)的最小值為2

10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差．若，則（）

A．B．C．D．

11．函數(shù)的部分圖象如圖，則下列說法中正確的是（）

A．的最小正周期是B．的值為

C．在上單調(diào)遞增D．若為偶函數(shù)，則最小值為

12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)

B．當(dāng)時(shí)，們圖象關(guān)于中心對(duì)稱

C．當(dāng)，且時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)

D．當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，

三、填空題

13．復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們滿足下列兩個(gè)條件：①，②兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為______

14．已知正項(xiàng)等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，若也是公差為的等差數(shù)列，則______

15．已知中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，若，則______．

16．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______

四、解答題

17．如圖，在四邊形中，與互補(bǔ)，．

（1）求；（2）求四邊形的面積．

18．已知平面向基，記．

（1）對(duì)于，不等式（其中）恒成立，求的最大值．

（2）若的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且成等比數(shù)列，求的值．

19．記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．

（1）求的通項(xiàng)公式：

（2）設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．

（ｉ）求的通項(xiàng)公式；（ⅱ）設(shè)，證明；．

20．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．

（1）若，求的值；

（2）是否存在以為直角頂點(diǎn)的？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

21．函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，且在上存在導(dǎo)函數(shù)（其中）．定義：若區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù)．已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率為，（1）判斷在區(qū)間上是否為凸函數(shù)，說明理由；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

22．已知函數(shù)．

（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）存在正實(shí)數(shù)，使得成立，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案：

1．B2．D3．C4．A

5．C6．C7．B8．A

9．AB10．ABD11．BD12．BC

13．2014．15．1816．

17．（1）

【詳解】（1）連接，如圖，與互補(bǔ)，與互補(bǔ)，在中，，

即，得，

在中，，即

，

得，又與互補(bǔ)，，故；

（2）由（1）得，

由（1）得，

．

18．（1）（2）

【詳解】（1）

．

，則，故，

恒成立，故，

當(dāng)時(shí)，有最大值為．

（2），即，

，故，

成等比數(shù)列，則，

19．（1）（2）（?。áⅲ┳C明見解析．

【詳解】（1）解：因?yàn)?，可得?/p>

兩式相減可得，即，則，

又因?yàn)?，可得?/p>

所以當(dāng)時(shí)，，即．

當(dāng)時(shí)，不滿足上式，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（2）解：（?。┰O(shè)數(shù)列的公差為，

因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，

所以

整理得，解得或，因?yàn)?，可得?/p>

又因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為，

（ⅱ）由（?。┲?，，

可得，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

，

綜上可得，對(duì)于任意，都有．

20．（1）不存在，理由見解析

【詳解】（1）（法一），由正弦定理得，又因?yàn)椋?/p>

所以，即，由余弦定理知

（法二）因?yàn)?，所以，又?/p>

所以，即．

所以，即，所以，

因?yàn)?，所以?/p>

（2）不存在以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，理由如下：

因?yàn)椋?/p>

由正弦定理，得，

若，則，且，

所以，

將上式兩邊平方得：，所以

因?yàn)?，所以，且，方程無解．

故不存在滿足條件的三角形．

21．（1）在區(qū)間上是凸函數(shù)，理由見解析：（2）證明見解析

【詳解】（1）由，得，

而，依題意，，

因?yàn)椋?/p>

在區(qū)間上為凸函數(shù)．

（2）證明：由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，

，使得，

當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，

在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

因?yàn)椋?/p>

在及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

22．（1）

【詳解】（1）函數(shù)恒成立，即，在上恒成立

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)取得最大值，即，即，故的取值范圍是；

（2）因?yàn)闀r(shí)，存在正實(shí)數(shù)