湖南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

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數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名考生號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)第一章，第二章第一節(jié).

一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)單位向量，滿(mǎn)足，則與的夾角為（）

A.B.C.D.

3.已知為奇函數(shù)，則（）

A.B.1C.0D.

4.等式成立的充要條件是（）

A.B.C.D.

5.在四面體中，，，，，為的中點(diǎn)，若，則（）

A.B.3C.D.2

6.如圖，三棱錐的棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，則等于（）

A.B.

C.D.

7.如圖，，分別是圓臺(tái)上下底面圓的直徑，，是圓上一點(diǎn)，且，則在上的投影向量是（）

A.B.C.D.

8.由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體稱(chēng)為“半正多面體”，由于古希臘著名學(xué)者阿基米德首先列舉了所有的半正多面體，故又稱(chēng)為“阿基米德多面體”.現(xiàn)將棱長(zhǎng)為的正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，則這個(gè)半正多面體的外接球的表面積為（）

A.B.C.D.

二選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知全集，集合，，則（）

A.B.C.D.

10.已知點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線(xiàn)的方向向量為，則

B.若直線(xiàn)的斜率為，則

C.若，則為直角三角形

D.若，，則四邊形是平行四邊形

11.已知平面，，，與平面成30°角，，則與之間的距離可能是（）

A.B.C.4D.

12.清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的正四面體組合而成，如圖1，也可由正方體切割而成，如圖2，在圖2所示的“蒺藜形多面體”中，若，則給出的說(shuō)法中正確的是（）

A.該幾何體的表面積為

B.該幾何體的體積為4

C.二面角的余弦值為

D.若點(diǎn)，在線(xiàn)段，上移動(dòng)，則的最小值為

三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上.

13.已知點(diǎn)和，則直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)_______.

14.已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_______.

15.在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則________，的取值范圍為_(kāi)_______.

16.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線(xiàn)，上，則線(xiàn)段的最小值為_(kāi)_______.

四解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

已知點(diǎn)，.

（1）若點(diǎn)在軸上，且為直角，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)，且點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，求的值.

18.（12分）

已知函數(shù)（，，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.

（1）求的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，求使成立的的取值集合.

19.（12分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，，為棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求的面積.

20.（12分）

甲乙兩人各拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子做游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則由原投擲人繼續(xù)投擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則由對(duì)方接著投擲.規(guī)定第1次由甲投擲.

（1）求第2次由甲投擲的概率；

（2）求前4次投擲中，乙恰好投擲2次的概率.

21.（12分）

在三棱臺(tái)中，平面，，，分別為，的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若，在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（12分）

如圖，在四面體中，，，，，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上.

（1）若平面，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；

（2）求平面與平面的夾角的取值范圍.

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案

1.A因?yàn)?，所?

2.C設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所?

3.B因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以是奇函數(shù)，由，可得.

4.D因?yàn)椋?，展開(kāi)得，化簡(jiǎn)得，所以.

5.B如圖，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，由，解得.

6.D由題意知三棱錐為正四面體，易知，且.

因?yàn)椋?/p>

，故選D.

7.A如圖，取在下底面的投影，作，垂足為.

連接，則在上的投影向量是.

設(shè)上底面圓的半徑為，則.

故在上的投影向量是.

8.B如圖，半正多面體的外接球的球心與正四面體的外接球的球心相同，

設(shè)為為正的外心，為的一個(gè)三等分點(diǎn)，

因?yàn)?，易求?

設(shè)正四面體的外接球的半徑為，在Rt中，，

解得.在中，可得，所以，這個(gè)半正多面體的外接球的表面積為.

9.BCD因?yàn)?，所以，正確，A錯(cuò)誤.

10.BC對(duì)于錯(cuò)誤.對(duì)于，因?yàn)椋?，B正確.

對(duì)于，因?yàn)?，所以，C正確.

對(duì)于，因?yàn)?，所以四邊形不是平行四邊形，錯(cuò)誤.

11.AC如圖，因?yàn)椋?

作，垂足為，連接，

則或.

易知

，

若，則，若，則，A，C正確.

12.BCD因?yàn)椋?該幾何體的表面積為，錯(cuò)誤.

該幾何體的體積為，B正確.

設(shè)的中點(diǎn)為，連接（圖略），則

即二面角的平面角.

，C正確.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為，正確.

13.設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則.又，所以.

14.18因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

15.；因?yàn)?，所以，解?又因?yàn)?/p>

，所以.又，所以，從而

16.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則.

設(shè)，則.

.

當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.

17.解：（1）設(shè)，則.

因?yàn)闉橹苯?，所?

由，解得或，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

（2）因?yàn)椋?/p>

，

因?yàn)辄c(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，所以，

解得.

18.解：（1）由函數(shù)圖象可知，

又因?yàn)椋傻茫?/p>

所以.

將點(diǎn)代入，化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?，所以?/p>

所以.

（2）當(dāng)時(shí)，要使成立，只需，

所以，

解得，

所以當(dāng)時(shí)，使成立的的取值集合是.

19.（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得，

則

設(shè)是平面的法向量，可得

則令，得.

因?yàn)槠矫?，所以平?

（2）解：由（1）知，，則，所以.

設(shè)到直線(xiàn)的距離為，則，

所以.

20.解：（1）擲出的骰子的點(diǎn)數(shù)的樣本點(diǎn)總數(shù)為36.

記事件“擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)”，

則，

有12個(gè)樣本點(diǎn).

.

故第2次由甲投擲的概率為.

（2）前4次投擲中，乙恰好投擲2次的情況分以下三種：

第一種情況，第1，2次由甲投擲，第3，4次由乙投擲，其概率為

第二種情況，第1，3次由甲投擲，第2，4次由乙投擲，其概率為

第三種情況，第1，4次由甲投擲，第2，3次由乙投擲，其概率為

故前4次投擲中，乙恰好投擲2次的概率為.

21.（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，.

因?yàn)闉榈闹形痪€(xiàn)，所以.

又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：連接，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面平?

又平面平面，易知，所以平面，所以.

又，所以平面，從而，故四邊形為正方形，.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，不妨設(shè)，則

設(shè)平面的法向量為，則

得令，可得

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則

，

由，得，則，所以線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為.

22.解：（1）若平面，則為的中點(diǎn).

理由如下：

因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫?，所以平?

若平面，只需即可.

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).

（2）過(guò)點(diǎn)作平