高二數(shù)學(xué)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(共25張)

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用人教A版選修2-2國(guó)光中學(xué)侯墩煌1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f/（x）>0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f/（x）<0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).知識(shí)回顧:如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).2.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟①求函數(shù)的定義域;②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

f/（x）

;③解不等式

f/（x）>0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解不等式f/（x）<0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問(wèn)題

3.思考：

觀察下圖，當(dāng)t=t0時(shí)距水面的高度最大,那么函數(shù)h（t）在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？觀察圖象中，點(diǎn)a和點(diǎn)b處的函數(shù)值與

它們附近點(diǎn)的函數(shù)值有什么的大小關(guān)系？(圖一)極大值f(b)點(diǎn)a為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.點(diǎn)b為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.極小值f(a)思考1：極大值一定大于極小值嗎？探究極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)有何規(guī)律?f

(x)<0yxOx1aby=f(x)極大值點(diǎn)兩側(cè)極小值點(diǎn)兩側(cè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x2觀察函數(shù)y=f(x)的圖像探究

1、圖中有哪些極值點(diǎn)？極值點(diǎn)唯一嗎？

2、極大值一定比極小值大么？C

函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。結(jié)論:極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0C探究函數(shù)y=f(x)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為多少?思考2：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？探索:x=0是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點(diǎn)?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

當(dāng)f

(x)=0時(shí)，x

=0，而x

=0不是該函數(shù)的極值點(diǎn).f

(x0)

=0x0

是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)

x0

是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件思考2：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？結(jié)論若x0滿足f/(x)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則x0是f(x)的極值點(diǎn),f(x0)是極值,如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則x0是f(x)的極大值點(diǎn),f(x0)是極大值;如果f/(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

從曲線的切線角度看,曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正.圖表判別：①極大值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)＋0－y＝f(x)增加減少②極小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)－0＋y＝f(x)減少增加極大值極小值oaX00bxyoaX0bxy

如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點(diǎn),則x0兩側(cè)附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于f(x0).因此,x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù),即;x0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即

同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點(diǎn),則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即;在x0的右側(cè)附近只能是增函數(shù),即.圖像判別：練習(xí)：

下圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)

的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn).abxyx1Ox2x3x4x5x6例1、求函數(shù)的極值.解:令,解得x1=-2,x2=2.當(dāng)x變化時(shí),,y的變化情況如下表:因此,當(dāng)x=-2時(shí)有極大值,并且,y極大值=28/3;而,當(dāng)x=2時(shí)有極小值,并且,y極小值=-4/3.

求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值角度1不含參數(shù)的函數(shù)求極值練習(xí):求函數(shù)的極值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x變化時(shí),,y的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y’-0+0-y

↘極小值-3↗極大值3↘因此,當(dāng)x=-1時(shí)有極小值,并且,y極小值=-3;而,當(dāng)x=1時(shí)有極大值,并且,y極大值=3.x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)

↗極大值-2a↘↘極小值2a↗故當(dāng)x=-a時(shí),f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時(shí),f(x)有極小值f(a)=2a.例2、求函數(shù)的極值.解:函數(shù)的定義域?yàn)榱?/p>

,解得x1=-a,x2=a(a>0).當(dāng)x變化時(shí),,f(x)的變化情況如下表:角度2含參數(shù)的函數(shù)求極值當(dāng)a=4,b=-11時(shí),-3/11<x<1時(shí),;x>1時(shí),,此時(shí)x=1是極值點(diǎn).從而所求的解為a=4,b=-11.練習(xí):已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1處有極值,且極大值為4,極小值為0.試確定a,b,c的值.解:由題意,應(yīng)有根,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a>0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗極大值↘極小值↗由表可得,即.又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)a<0,列表如下:x-1(-1,1)1-0

≥00-f(x)↘極小值↗