n-banach空間中強(qiáng)收斂與弱收斂的推廣

n-banach空間中強(qiáng)收斂與弱收斂的推廣

1xe3.1首先，文本中使用的符號(hào)如下所示。(1)下面的討論中,都設(shè)dimX≥n.(2)出現(xiàn)c=(c1,c2,…,cn-1)的地方,都表示c1,c2,…,cn-1∈X為線性無(wú)關(guān)的.(3)對(duì)任意c=(c1,c2,…,cn-1),Sc={x∈X:‖x,c1,…,cn-1‖=1}表示X關(guān)于c之單位球面.(4)用[x]表示Span{x}.對(duì)于n-Banach空間理論問(wèn)題的研究已經(jīng)日趨完善,部分學(xué)者將研究目光轉(zhuǎn)移到了的n-Banach空間中.有關(guān)n-Banach空間中的相關(guān)知識(shí)可參考文獻(xiàn)(,,,).本文中關(guān)于強(qiáng)收斂與弱收斂的相關(guān)結(jié)果對(duì)于進(jìn)一步研究n-Banach空間理論有一定的鋪墊作用.定義1設(shè)X為線性空間,若對(duì)X中的每一個(gè)n元組x1,x2,…,xn都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)‖x1,x2,…,xn‖且滿足:(1)‖x1,x2,…,xn‖=0?x1,x2,…,xn是線性相關(guān)的.(2)‖x1,x2,…,xn‖=‖x2,x1,…,xn‖=…(可交換).(3)‖x1,x2,…,α·xn‖=|α|·‖x2,x1,…,xn‖,α∈R1.(4)‖x1,x2,…,xn+x‖≤‖x1,x2,…,xn‖+‖x1,x2,…,x‖.稱X為n-賦范空間,其中‖·,…,·‖稱為n-范數(shù).定義2設(shè){xm}是n-賦范空間X中的點(diǎn)列,若X中存在線性無(wú)關(guān)組c1,c2,…,cn∈X,使得limi,k∥xi-xk,ck1,ck2,?,ckn-1∥=0?其中ck1,ck2,…,ckn-1為c1,c2,…,cn中任意n-1個(gè)元素組,稱點(diǎn)列{xm}為X中的Cauchy列.定義3設(shè){xm}是n-賦范空間X中的點(diǎn)列,若存在x∈X,使對(duì)任意c1,c2,…,cn-1∈X有∥xm-x,c1,c2,?,cn-1∥→0,m→∞,稱{xm}收斂于x,記為xm→x,且x叫做{xm}的極限.此時(shí)也稱{xm}強(qiáng)收斂于x,記為xms→x.定義4若n-賦范空間X中的每個(gè)Cauchy列都是收斂的,稱X為n-Banach空間.定義5設(shè){xm}是n-賦范空間X中的點(diǎn)列,若存在x∈X,以及X中線性無(wú)關(guān)的n元組c1,c2,…,cn,使對(duì)c1,c2,…,cn中任意n-1個(gè)元ck1,ck2,…,ckn-1,有∥xm-x,ck1,?,ckn-1∥→0,m→∞,稱點(diǎn)列{xm}關(guān)于c1,c2,…,cn收斂于x,且x叫做{xm}關(guān)于c1,c2,…,cn的極限.定義6設(shè)X為n-賦范空間,A1,…,An?X為n個(gè)子空間,定義在A1×A2×…×An上的n元實(shí)函數(shù)F,如果滿足:(1)F(x(1)1+x(2)1,…,x(1)n+x(2)n)=2∑i1=1?2∑in=1F(xi11,…,xinn);(2)F(α1x1,…,αnxn)=α1α2…αnF(x1,…,xn),α1,α2,…,αn∈R1.則稱F為A1×A2×…×An上的線性n-泛函.若存在K>0,使得F(x1,x2,…,xn)≤K·‖x1,x2,…,xn‖,對(duì)?(x1,x2,…,xn)∈A1×A2×…×An成立,則稱F為A1×A2×…×An上的有界線性n-泛函.定義7設(shè)X為n-賦范空間,c=(c1,c2,…,cn-1),以B(X,c)表示X×[c1]…×[cn-1]上的有界線性n-泛函全體.對(duì)X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1),BX=∪B(X,c)稱為n-賦范空間X的共軛空間.定義8設(shè){xm}是n-賦范空間X中的點(diǎn)列,若存在x∈X,使對(duì)任意c=(c1,c2,…,cn-1),及?F∈B(X,c),有F(xm,c1,…,cn-1)→F(x,c1,…,cn-1),m→∞,稱{xm}弱收斂于x,記為xmw→x.定義9n-Banach空間X稱為關(guān)于c=(c1,c2,…,cn-1)之一致凸的,如果對(duì)?ε>0,存在δ=δ(c,ε)>0,使得當(dāng)x,y∈Sc,|x+y2,c1,c2,?,cn-1|＞1-δ時(shí)有‖x-y,c1,c2,…,cn-1‖<ε.如果對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1),X關(guān)于c都是一致凸的,則稱X為一致凸.定義10設(shè)X為n-Banach空間,定義X關(guān)于c=(c1,c2,…,cn-1)之凸性模為:δcX(ε)=inf{1-∥x+y2,c1,c2,?,cn-1∥:x,y∈Sc,∥x-y,c1,c2,?,cn-1∥≥ε}.2定義2、dimxn引理1設(shè)X為n-Banach空間,則X中點(diǎn)列xm→x當(dāng)且僅當(dāng)X中存在線性無(wú)關(guān)的n元組c1,c2,…,cn,使得{xm}關(guān)于c1,c2,…,cn收斂于x.引理2設(shè)X為n-Banach空間,x1,x2,…,xn∈X為線性無(wú)關(guān)組,則在X×[x2]…×[xn]上存在有界線性n-泛函F,使得F(x1,…,xn)=‖x1,…,xn‖且‖F(xiàn)‖=1.引理3設(shè)F為定義域D(F)上的有界線性n-泛函,則∥F∥=sup{|F(x1,?,xn)|:∥x1,?,xn∥=1,(x1,?,xn)∈D(F)}=sup{|F(x1,?,xn)|∥x1,?,xn∥:∥x1,?,xn∥≠0,(x1,?,xn)∈D(F)}.引理4設(shè)X是n-賦范空間,則X中點(diǎn)列xms→x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有‖xm-x,c1,…,cn-1‖→0,m→∞.證明結(jié)合定義3,5及引理1,dimX≥n,易證.引理5設(shè)X是n-賦范空間,{xm}是X中的點(diǎn)列,若對(duì)X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1),有∥xi-xk,c1,c2,?,cn-1∥→0,i,k→∞,則{xm}是X中的Cauchy列.證明利用定義2及dimX≥n,易證.3xmcn-15.定理1在n-Banach空間X中.(1)若xms→x,則對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1),{‖xm,c1,c2,…,cn-1‖}為有界列.(2)若xms→x,則對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有∥xm,c1,c2,?,cn-1∥→∥x,c1,c2,?,cn-1∥,m→∞.(3)若{xm}是X中的Cauchy列,則xms→x∈X.證明(1)因?yàn)閤ms→x,所以由引理4,對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有∥xm-x,c1,?,cn-1∥→0,m→∞.于是對(duì)?ε>0,?M>0,當(dāng)m>M時(shí)有‖xm-x,c1,…,cn-1‖<ε.特別取ε=1,必?M1>0,當(dāng)m>M1時(shí)有‖xm-x,c1,…,cn-1‖<1.此時(shí)有∥xm,c1,?,cn-1∥≤∥xm-x,c1,?,cn-1∥+∥x,c1,?,cn-1∥≤1+∥x,c1,?,cn-1∥,m＞Μ1.再令r=max{‖x1,c1,…,cn-1‖,…,‖xM1,c1,…,cn-1‖,1+‖x,c1,…,cn-1‖},則有‖xm,c1,…,cn-1‖<r,m=1,2,….故{‖xm,c1,c2,…,cn-1‖}為有界列.(2)因?yàn)椤蝬m,c1,?,cn-1∥=∥xm+x-x,c1,?,cn-1∥≥∥xm+x,c1,?,cn-1∥-∥x,c1,?,cn-1∥,于是用xm-x代替xm得∥xm-x,c1,?,cn-1∥≥∥xm-x+x,c1,?,cn-1∥-∥x,c1,?,cn-1∥=∥xm,c1,?,cn-1∥-∥x,c1,?,cn-1∥.又因?yàn)椤蝬-xm,c1,?,cn-1∥≥∥x,c1,?,cn-1∥-∥xm,c1,?,cn-1∥,故有-∥xm-x,c1,?,cn-1∥≤∥x,c1,?,cn-1∥-∥xm,c1,?,cn-1∥≤∥xm-x,c1,?,cn-1∥.即|∥xm,c1,?,cn-1∥-∥x,c1,?,cn-1∥|≤∥xm-x,c1,?,cn-1∥.由xm→sx知,0≤limm→∞|∥xm,c1,?,cn-1∥-∥x,c1,?,cn-1∥|≤limm→∞∥xm-x,c1,?,cn-1∥=0.于是對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有∥xm,c1,c2,?,cn-1∥→∥x,c1,c2,?,cn-1∥,m→∞成立.(3)由n-Banach空間的定義知,xm→sx∈X成立.4定理解析定理2在n-Banach空間X中.(1)若xm→wx,則極限唯一.(2)若xm→wx,則{xm}的任一子序列{xmi}也弱收斂于x,即xmi→wx.證明(1)若xm→wx,xm→wx′,則由弱收斂的定義,對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1),及?F∈B(X,c)有F(xm,c1,?,cn-1)→F(x,c1,?,cn-1),m→∞,F(xm,c1,?,cn-1)→F(x′,c1,?,cn-1),m→∞,于是F(x,c1,…,cn-1)=F(x′,c1,…,cn-1).由于F為線性泛函,所以F(x-x′,c1,…,cn-1)=0.若x-x′,c1,c2,…,cn-1線性無(wú)關(guān),則‖x-x′,c1,c2,…,cn-1‖≠0.由引理2,在X×[c1]…×[cn-1]上存在有界線性n-泛函F0,使得F0(x-x′,c1,c2,…,cn-1)=‖x-x′,c1,c2,…,cn-1‖≠0,這與對(duì)?F∈B(X,c)有F(x-x′,c1,…,cn-1)=0,產(chǎn)生矛盾.于是x-x′,c1,c2,…,cn-1線性相關(guān),再由c=(c1,c2,…,cn-1)的任意性得x-x′=0,即x=x′.(2)若xm→wx,則由弱收斂的定義,對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1),及?F∈B(X,c)有F(xm,c1,?,cn-1)→F(x,c1,?,cn-1),m→∞.再由極限的性質(zhì)得F(xmi,c1,?,cn-1)→F(x,c1,?,cn-1),i→∞.故xmi→wx.定理3設(shè)X是n-Banach空間,{xm}是X中的點(diǎn)列,若xm→wx,且對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有l(wèi)imm→∞ˉ∥xm,c1,c2,?,cn-1∥＜∞,則∥x,c1,c2,?,cn-1∥≤limm→∞ˉ∥xm,c1,c2,?,cn-1∥.證明(i)若x,c1,c2,…,cn-1線性相關(guān),則‖x,c1,c2,…,cn-1‖=0.于是有0=∥x,c1,c2,?,cn-1∥≤limm→∞ˉ∥xm,c1,c2,?,cn-1∥,故結(jié)論成立.(ii)若x,c1,c2,…,cn-1線性無(wú)關(guān),則‖x,c1,c2,…,cn-1‖≠0.由假設(shè)條件可設(shè)limm→∞ˉ∥xm,c1,c2,?,cn-1∥=d,其中d為有限數(shù).若定理結(jié)論不成立,則∥x,c1,c2,?,cn-1∥＞limm→∞ˉ∥xm,c1,c2,?,cn-1∥.取實(shí)數(shù)r滿足:‖x,c1,c2,…,cn-1‖>r>d.于是?M>0,當(dāng)m>M時(shí)有‖xm,c1,c2,…,cn-1‖<r.由引理2,在X×[c1]×…×[cn-1]上存在有界線性n-泛函F,使得F(x,c1,c2,…,cn-1)=‖x,c1,c2,…,cn-1‖且‖F(xiàn)‖=1.再由引理3知|F(xm,c1,c2,?,cn-1)|≤∥F∥?∥xm,c1,c2,?,cn-1∥=∥xm,c1,c2,?,cn-1∥＜r,而|F(x,c1,c2,?,cn-1)|=∥x,c1,c2,?,cn-1∥＞r.故limm→∞F(xm,c1,c2,?,cn-1)≠F(x,c1,c2,?,cn-1),這與xm→wx相矛盾,因此定理成立.5．2.2cn-1xm,c2,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,定理4設(shè)X是n-Banach空間,{xm}是X中的點(diǎn)列,若xm→sx,則xm→wx.證明利用定義3,8易證.定理5設(shè)X是一致凸的n-Banach空間,若(1){xm}?X,且xm→wx.(2)對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有l(wèi)imm→∞∥xm,c1,c2,?,cn-1∥=∥x,c1,c2,?,cn-1∥,則{xm}強(qiáng)收斂于x,即xm→sx.證明對(duì)X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1).當(dāng)x=0時(shí),limm→∞∥xm,c1,c2,?,cn-1∥=∥0,c1,c2,?,cn-1∥=0,即limm→∞∥xm-0,c1,c2,?,cn-1∥=0,于是由引理4知xm→sx.當(dāng)x≠0時(shí),分兩種情況討論如下:(i)若x,c1,c2,…,cn-1線性相關(guān),則‖x,c1,c2,…,cn-1‖=0.由于‖xm-x,c1,c2,…,cn-1‖≤‖xm,c1,c2,…,cn-1‖+‖x,c1,c2,…,cn-1‖,所以limm→∞∥xm-x,c1,c2,?,cn-1∥≤limm→∞∥xm,c1,c2,?,cn-1∥+∥x,c1,c2,?,cn-1∥,于是limm→∞∥xm-x,c1,c2,?,cn-1∥≤∥x,c1,c2,?,cn-1∥+∥x,c1,c2,?,cn-1∥=0,故有l(wèi)imm→∞∥xm-x,c1,c2,?,cn-1∥=0.由引理4知,{xm}強(qiáng)收斂于x,即xm→sx.(ii)若x,c1,c2,…,cn-1線性無(wú)關(guān),則‖x,c1,c2,…,cn-1‖≠0.于是limm→∞∥xm,c1,c2,?,cn-1∥=∥x,c1,c2,?,cn-1∥＞0.故?M>0,當(dāng)m>M時(shí)有‖xm,c1,c2,…,cn-1‖>0.從而當(dāng)m>M時(shí),若‖xm,c1,c2,…,cn-1‖≠1,則由{xm}的弱收斂性知,F(xm,c1,c2,?,cn-1)∥xm,c1,c2,?,cn-1∥→F(x,c1,c2,?,cn-1)∥x,c1,c2,?,cn-1∥,m→∞,即有F(xm∥xm,c1,c2,?,cn-1∥,c1,?,cn-1)→F(x∥x,c1,c2,?,cn-1∥,c1,?,cn-1),m→∞.令zm=xm∥xm,c1,c2,?,cn-1∥,z=xm∥x,c1,c2,?,cn-1∥.則F(zm,c1,…,cn-1)→F(z,c1,…,cn-1),m→∞.并且‖zm,c1,c2,…,cn-1‖=1(m>M),‖z,c1,c2,…,cn-1‖=1.因此總可以假定‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=1(m>M),‖x,c1,c2,…,cn-1‖=1.若limm→∞∥xm-x,c1,c2,?,cn-1∥=0不成立,則?ε0>0,和自然數(shù)列m1<m2<…<mk<…,使得∥xmk-x,c1,c2,?,cn-1∥≥ε0(k=1,2,?),又因?yàn)楫?dāng)m>M時(shí)有‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=1.所以?K0>0,當(dāng)k>K0時(shí),‖xmk,c1,c2,…,cn-1‖=1與‖xmk-x,c1,c2,…,cn-1‖≥ε0同時(shí)成立,并且有‖x,c1,c2,…,cn-1‖=1.由X是一致凸的n-Banach空間可知,對(duì)c=(c1,c2,…,cn-1),?δ=δ(c,ε)>0,使得|xmk+x2,c1,c2,?,cn-1|＜1-δ,k＞Κ0.利用引理2,在X×[c1]…×[cn-1]上存在有界線性n-泛函F,使得F(x,c1,…,cn-1)=‖x,c1,c2,…,cn-1‖且‖F(xiàn)‖=1.再根據(jù)假設(shè)條件知F(xm,c1,c2,?,cn-1)→F(x,c1,c2,?,cn-1),m→∞,從而有F(xmk,c1,c2,?,cn-1)→F(x,c1,c2,?,cn-1),k→∞.因此F(xmk+x2,c1,?,cn-1)=12F(xmk2,c1,?,cn-1)+12F(x2,c1,?,cn-1)→F(x,c1,c2,?,cn-1)=1,k→∞.所以?K1>0,當(dāng)k>K1時(shí)有F(xmk+x2,c1,?,cn-1)＞1-δ,另一方面F(xmk+x2,c1,c2,?,cn-1)≤∥F∥?|xmk+x2,c1,c2,?,cn-1|=|xmk+x2,c1,c2,?,cn-1|≤1-δ,k＞Κ1.令K′=max{K0,K1},則當(dāng)k>K′時(shí)有F(xmk+x2,c1,c2,?,cn-1)＞1-δ,F(xmk+x2,c1,c2,?,cn-1)≤1-δ同時(shí)成立,這是不可能的.綜上可知,對(duì)X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1),都有l(wèi)imm→∞∥xm-x,c1,c2,?,cn-1∥=0.由引理4知,{xm}強(qiáng)收斂于x,即xm→sx.6出xmxm,c2,c,c2,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c定理6n-Banach空間X是一致凸的充要條件為對(duì)?c=(c1,…,cn-1),{xm}∈Sc,{ym}∈Sc,從‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=‖ym,c1,c2,…,cn-1‖=1(m=1,2,…)和limm→∞∥xm+ym,c1,c2,?,cn-1∥=2,必能推出limm→∞∥xm-ym,c1,c2,?,cn-1∥=0.證明必要性.假設(shè)對(duì)任意的c=(c1,c2,…,cn-1),{xm}∈Sc,{ym}∈Sc,且滿足條件‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=‖ym,c1,c2,…,cn-1‖=1(m=1,2,…)和limm→∞∥xm+ym,c1,c2,?,cn-1∥=2,但推不出limm→∞∥xm-ym,c1,c2,?,cn-1∥=0.則必?ε0>0,及子序列{xmk}?{xm},{ymk}?{ym}(k=1,2,…),使得∥xmk-ymk,c1,c2,?,cn-1∥≥ε0成立.再由X是一致凸的知,存在δ=δ(c,ε0)>0,使得|xmk+ymk2,c1,c2,?,cn-1|≤1-δ,于是∥xmk+ymk,c1,c2,?,cn-1∥≤2(1-δ),故limk→∞∥xmk+ymk,c