2023學(xué)年完整公開(kāi)課版實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.3

下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？說(shuō)一說(shuō)

，0，1.414，，，，.

是有理數(shù).

是無(wú)理數(shù).，，，，0，1.414

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).結(jié)論

所有實(shí)數(shù)組成的集合叫作實(shí)數(shù)集.結(jié)論

實(shí)數(shù)

有理數(shù)

無(wú)理數(shù)

整數(shù)

分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）探究

你能在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)嗎？

如果能畫(huà)出長(zhǎng)為的線段，就能在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn).

想一想圖1-6中的正方形的邊長(zhǎng)EC是多少？

利用圖1-5中的剪下來(lái)的△EBC就可作出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).

由上我們可以發(fā)現(xiàn)：每一個(gè)無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，而且我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)已經(jīng)學(xué)過(guò)：每一個(gè)有理數(shù)也可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示.

每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示.結(jié)論

數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示唯一的一個(gè)實(shí)數(shù).

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).結(jié)論小提示

實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù).數(shù)軸上表示正實(shí)數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)右邊，表示負(fù)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)左邊.正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0.原點(diǎn)0正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)

與有理數(shù)的情形類(lèi)似，如果兩個(gè)實(shí)數(shù)只有符號(hào)不同，那么其中一個(gè)數(shù)叫作另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也說(shuō)它們互為相反數(shù).

例如，和-互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.我們把實(shí)數(shù)a的相反數(shù)記作-a.小提示

例如，

在數(shù)軸上，表示一個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫作這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值.小提示做一做

下列空格上填空：

（1）一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于

；

（2）一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等于

；

（3）0的絕對(duì)值等于

；

（4）互為相反數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值

.

它本身

它的相反數(shù)

0相等實(shí)數(shù)可以做加法、減法、乘法、除法運(yùn)算嗎？

可以說(shuō)明：實(shí)數(shù)也有加法、減法、乘法、除法（除數(shù)不為0）運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)于實(shí)數(shù)仍然適用.做一做

在下列空格上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)氖阶樱涸O(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)，則

（1）a+b=

（加法交換律）；

（2）(a+b)+c

（加法結(jié)合律）；

（3）a+0=0+a=

；

（4）a+(-a)=(-a)+a=

；b+a

（5）ab=

（乘法交換律）；

（6）(ab)c=

（乘法結(jié)合律）；a+(b+c)a0baa(bc)

（7）1·a=a·1=

；

（8）a(b+c)=

（乘法對(duì)于加法的分配律）

，(b+c)a=

（乘法對(duì)于加法的分配律）

；

（9）實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算規(guī)定為a-b=a+

；

（11）實(shí)數(shù)的除法運(yùn)算（除數(shù)b≠

0)，規(guī)定為

a÷b=a·

；

（12）實(shí)數(shù)有一條重要性質(zhì)：如果a≠0，b≠0，那么

ab

0.

（10）對(duì)于每一個(gè)非零實(shí)數(shù)a，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，我們把叫作a的

；aab+acba+ca(-b)倒數(shù)≠

實(shí)數(shù)也可以比較大?。簩?duì)于實(shí)數(shù)a，b，如果a-b>0，則a大于b（或者b小于a），記作a>b（或b<a）；小提示

同樣地，如果a-b<0，則a<b.還可以得出：正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)；兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小.

從而數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.原點(diǎn)0正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)<

每個(gè)正實(shí)數(shù)有且只有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).結(jié)論

0的平方根是0.

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)沒(méi)有平方根.

每個(gè)實(shí)數(shù)a有且只有一個(gè)立方根.

七年級(jí)上，下冊(cè)至本冊(cè)上一節(jié)所講的有關(guān)數(shù)、式、方程（組）、不等式（組）的性質(zhì)、法則或解法，對(duì)于實(shí)數(shù)仍然成立.小提示舉例

例1

不用計(jì)算器，估計(jì)與2哪個(gè)大.

解：

，2分別是5，4的正方形的邊長(zhǎng).容易說(shuō)明，面積大的正方形，它的邊長(zhǎng)也大.因此，>2.用正方形比較2舉例

例2

不用計(jì)算器，估計(jì)與哪個(gè)大.

解：

由例1知道，>2，從而，從例1中得出因此.2

，2分別是5，4的正方形的邊長(zhǎng).容易說(shuō)明，面積大的正方形，它的邊長(zhǎng)也大.因此，>2.練習(xí)1.

設(shè)a是實(shí)數(shù)，n是正實(shí)數(shù)，規(guī)定：an=a·a·a…·an個(gè)

設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，n，m是正實(shí)數(shù)，則

an·am=

；(an)m=

；(ab)n=

.

an+m

anm

anbn2.

不用計(jì)算器，估計(jì)與0.4的大小.

解：

因?yàn)椋?.4+1=1.4，又因?yàn)榈某朔綖?，1.4的乘方為1.96，所以2>1.96，即：做一做

一個(gè)正方形的面積為3cm2，它的邊長(zhǎng)是多少？

它的邊長(zhǎng)是

cm.3cm2？

我們知道，是無(wú)理數(shù)，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù).用計(jì)算器可以求出的挖近似值.相繼按鍵，屏幕顯示

用四舍五入法，取到小數(shù)點(diǎn)后面第二位，得

我們稱(chēng)1.73是的精確到小數(shù)點(diǎn)后面第二位的近似值.

用四舍五入法，取到小數(shù)點(diǎn)后面第四位，得

我們稱(chēng)1.7321是的精確到小數(shù)點(diǎn)后面第四位的近似值.

1.73，1.732，1.7321，…都是的近似值，稱(chēng)它們?yōu)榻茢?shù).

一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.結(jié)論

一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止共有多少個(gè)數(shù)字，就說(shuō)這個(gè)近似值有多少位有效數(shù)字.

的近似值1.73稱(chēng)為有三位有效數(shù)字；的近似值1.7321稱(chēng)為有五位有效數(shù)字.舉例

例3

分別求下列各數(shù)的近似值（精確到小數(shù)點(diǎn)后面第三位）.

（1），（2），（3），（4）.解（1）（2）解（3）解（4）解按按3.1415926…按舉例

例4

分別求下列各數(shù)的近似值（保留六位有效數(shù)字）.

（1），（2）.（1）解（2）解3.1415926…按

在例4的第(2)小題中，用計(jì)算器相繼按鍵，屏幕顯示的數(shù)為

.要求保留六位有效數(shù)字，則應(yīng)精確到小數(shù)點(diǎn)后面第五位，得到

，這里的最后一個(gè)0不能去掉.小提示3.4641016153.46410（2）解按舉例

例5

計(jì)算（精確到小數(shù)點(diǎn)后面第一位），并且指出它有幾位有效數(shù)字.

（1），（2）.（1）解用計(jì)算器計(jì)算.按鍵：所以，它有兩位有效數(shù)字.（2）解用計(jì)算器計(jì)算.所以，它有三位有效數(shù)字.按鍵：舉例

例6

計(jì)算（保留四位有效數(shù)字）：

（1）.解用計(jì)算器計(jì)算.從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字“7”起，保留四個(gè)數(shù)字，（1）按鍵：所以，

除了在求無(wú)理數(shù)的近似值時(shí)會(huì)遇到近似數(shù)外，在實(shí)際問(wèn)題中，通過(guò)測(cè)量得到的數(shù)也往往是近似數(shù).小提示

例如，我們用尺子量我們這本課本的寬度時(shí)，量得的數(shù)值為18.5cm.

由于測(cè)量可能會(huì)有誤差，同時(shí)，課本在印刷裝訂裁剪時(shí)也可能有誤差，因此18.5cm是個(gè)近似數(shù).

我們測(cè)量得到的18.5cm，誤差不超過(guò)0.05cm，即精確到小數(shù)點(diǎn)后面第一位，因此18.5有三位有效數(shù)字.舉例

例7

測(cè)量課本封面的長(zhǎng)為26.0cm，寬為18.5cm，課本封面的面積大約是多少（保留兩位有效數(shù)字）？解26.0×

18.5=481≈4.8×102.答：課本封面的面積大約是4.8×

102cm2.面積=長(zhǎng)×寬

在例7中，如果把運(yùn)算的結(jié)果寫(xiě)成481，那么這意味著有三位有效數(shù)字，由于要求結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，因此我們用科學(xué)記數(shù)法把結(jié)果寫(xiě)成4.8×102.小提示

例7

測(cè)量課本封面的長(zhǎng)為26.0cm，寬為18.5cm，課本封面的面積大約是多少（保留兩位有效數(shù)字）？解26.0×18.5=481≈4.8×102.答：課本封面的面積大約是4.8×

102cm2.練習(xí)1.

分別求下列各數(shù)的近似值（精確到小數(shù)點(diǎn)后面第二位）：（1）；（2）；（3）.（1）解用計(jì)算器計(jì)算，顯示為1.41421356.所以，.（2）解用計(jì)算器計(jì)算，顯示為3.16227766.所以，.（3）解用計(jì)算器計(jì)算，顯示為12.2474487139.所以，.2.

分別求下各數(shù)的近似值（保留三位有效數(shù)字）：（1）；（2）；（3）.（1）解用計(jì)算器計(jì)算，顯示為2.6457513.所以，.（2）解用計(jì)算器計(jì)算，顯示為4.7958315.所以，.（3）解用計(jì)算器計(jì)算，顯示為6.40312423.所以，.3.

計(jì)算（精確到小數(shù)點(diǎn)后面第二位），并且指出它有幾位有效數(shù)字：（1）；（2）；（3）.（1）解用計(jì)算器計(jì)算，所以，，它有3位有效數(shù)字.（2）解用計(jì)算器計(jì)算，所以，，它有3位有效數(shù)字.（3）解用計(jì)算器計(jì)算，所以，，它有3位有效數(shù)字.4.

測(cè)量一個(gè)圓形鏡子的直徑為12.61cm，它的面積大約是多少（保留三位有效數(shù)字）？解因?yàn)殓R子的直徑是12.61cm，所以半徑為12.61÷2=6.305cm，所以面積為6.3