歷史相似性及其教學(xué)啟示

華東師大數(shù)學(xué)系汪曉勤歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史發(fā)生原理?？藸枴睧.Haeckel,1843-1919〕生物發(fā)生學(xué)定律——“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族開(kāi)展史〞在教育中的應(yīng)用：“個(gè)體認(rèn)知的發(fā)生遵循人類認(rèn)知開(kāi)展的過(guò)程。〞就數(shù)學(xué)教育而言，個(gè)體數(shù)學(xué)理解的開(kāi)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史開(kāi)展順序。歷史相似性及其教學(xué)啟示…thishistoryoftheembryo(ontogeny)mustbecompletedbyasecond,equallyvaluable,andcloselyconnectedbranchofthought----thehistoryofrace(phylogeny).Bothofthesebranchesofevolutionaryscienceare,inmyopinion,intheclosestcausalconnection;thisarisesfromthereciprocalactionofthelawsofheredityandadaptation…歷史相似性及其教學(xué)啟示HerbertSpenser(1894)

對(duì)孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類的教育，換言之，個(gè)體知識(shí)的發(fā)生必須遵循人類知識(shí)的發(fā)生過(guò)程。

歷史相似性及其教學(xué)啟示BencharaBranford(1908)我的目的是展示人類幾何知識(shí)演進(jìn)的實(shí)際方式與學(xué)生最樂(lè)意與最有效吸收該經(jīng)驗(yàn)的方式之間的相似性。需要特別指出的是，我并非在試圖證明人類與個(gè)體幾何知識(shí)開(kāi)展的必然相似性……我所希望做的是要說(shuō)明，為教育之目的，幾何學(xué)的最有效的講授方式乃是遵循科學(xué)歷史演進(jìn)的順序。歷史相似性及其教學(xué)啟示人類與個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的開(kāi)展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學(xué)啟示人類與個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的開(kāi)展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學(xué)啟示人類與個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的開(kāi)展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學(xué)啟示人類與個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的開(kāi)展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學(xué)啟示人類與個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的開(kāi)展〔BencharaBranford,1908〕歷史相似性及其教學(xué)啟示F·克萊因〔F.Klein,1849-1925〕：生物發(fā)生學(xué)的一項(xiàng)根本定律指出，個(gè)體的成長(zhǎng)要經(jīng)歷種族成長(zhǎng)的所有階段，順序相同，只是所經(jīng)歷的時(shí)間縮短。……我想教授數(shù)學(xué)和其他任何事情一樣，至少在原那么上要遵照這項(xiàng)定律?！茖W(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)去作科學(xué)的思考，並不是一開(kāi)頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過(guò)科學(xué)洗練的系統(tǒng)。推廣這種自然的真正科學(xué)的教學(xué)的主要障礙是缺乏歷史知識(shí)。歷史相似性及其教學(xué)啟示F·克萊因〔F.Klein,1849-1925〕歷史相似性及其教學(xué)啟示龐加萊〔H.Poincaré,1854-1912〕：動(dòng)物學(xué)家堅(jiān)持認(rèn)為，在一個(gè)短時(shí)期內(nèi)，動(dòng)物胚胎的發(fā)育重蹈所有地地質(zhì)年代其祖先們的開(kāi)展歷史。人的思維開(kāi)展似乎也是如此。教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過(guò)某些階段而不跳過(guò)任何階段。鑒于此，科學(xué)史應(yīng)該是我們的指南。歷史相似性及其教學(xué)啟示龐加萊〔H.Poincaré,1854-1912〕歷史相似性及其教學(xué)啟示波利亞

只有理解人類如何獲得某些事

實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)

人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣

的知識(shí)作出更好的判斷。G.Pólya〔1887-1985〕歷史相似性及其教學(xué)啟示弗賴登塔爾

年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的

學(xué)習(xí)過(guò)程，盡管方式改變

了。H.Freudenthal〔1905-1990〕歷史相似性及其教學(xué)啟示弗賴登塔爾〔ICME-4,1980〕：數(shù)學(xué)史乃是一個(gè)不斷進(jìn)步的系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過(guò)程。兒童無(wú)需重蹈人類的歷史，但他們也不可能從前人止步的地方開(kāi)始。從某種意義上說(shuō)，兒童應(yīng)該重蹈歷史，盡管不是實(shí)際發(fā)生的歷史，而是倘假設(shè)我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會(huì)發(fā)生的歷史。H.Freudenthal(1905-1990)歷史相似性及其教學(xué)啟示弗賴登塔爾關(guān)于“歷史發(fā)生原理〞觀點(diǎn)歷史相似性及其教學(xué)啟示M·克萊因：

我堅(jiān)信歷史順序是教學(xué)的指

南。我們無(wú)需完完全全追隨

歷史，但如果大數(shù)學(xué)家在作

出某些創(chuàng)造時(shí)遇到困難，我

們的學(xué)生也必會(huì)遇到。M.Kline(1908-1992)歷史相似性及其教學(xué)啟示M·克萊因：

數(shù)學(xué)家花了幾千年時(shí)間才理解無(wú)理數(shù)，而我們竟貿(mào)然給中學(xué)生講戴德金分割。數(shù)學(xué)家花了三百年才理解復(fù)數(shù)，而我們竟馬上就教給學(xué)生復(fù)數(shù)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)。數(shù)學(xué)家花了約一千年才理解負(fù)數(shù)，但現(xiàn)在我們卻只能說(shuō)負(fù)數(shù)是一個(gè)有序自然數(shù)對(duì)。從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁歷史相似性及其教學(xué)啟示去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和有序?qū)Α驳谝粋€(gè)數(shù)相同時(shí)第二個(gè)數(shù)也必須相同〕來(lái)玩弄把戲。從古代埃及人和巴比倫人開(kāi)始直到韋達(dá)和笛卡兒，沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家意識(shí)到字母可用來(lái)代表一類數(shù)，但現(xiàn)在卻通過(guò)簡(jiǎn)單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個(gè)概念。歷史相似性及其教學(xué)啟示皮亞杰、加西亞科學(xué)在歷史跨越過(guò)程中所做出的各種進(jìn)步，不是以隨意的形式呈現(xiàn)的，而是按一定順序排列的。與心理發(fā)生一樣，是以一系列連續(xù)的“階段〞呈現(xiàn)。促成歷史時(shí)期跨越的轉(zhuǎn)化機(jī)制與那些促成心理階段跨越的轉(zhuǎn)化機(jī)制是相似的。研究之一：符號(hào)代數(shù)E.Harper(1987)研究問(wèn)題：學(xué)生對(duì)符號(hào)代數(shù)的認(rèn)知過(guò)程是否與符號(hào)代數(shù)的歷史開(kāi)展過(guò)程相似？研究方法：測(cè)試。丟番圖?算術(shù)?：“兩數(shù)的和與差，證明這兩個(gè)數(shù)總能求出。〞被試：英國(guó)兩所文法學(xué)校1-6年級(jí)各12名學(xué)生，共144人。研究之一：符號(hào)代數(shù)G.H.Nezzelmann?希臘代數(shù)?(1842)：代數(shù)學(xué)的開(kāi)展經(jīng)歷三個(gè)階段：研究之一：符號(hào)代數(shù)修辭代數(shù)解法：文字表達(dá)丟番圖的解法：設(shè)和為100，差為40，較小數(shù)為x，那么較大數(shù)為x+40。這樣就有2x+40=100，從而得x=30。因此兩數(shù)分別為30、70。韋達(dá)的解法：設(shè)和為a，差為b。又設(shè)較小數(shù)為x，那么較大數(shù)為x+b，于是2x+b=a，故得x=(a-b)/2。因此兩數(shù)分別為(a-b)/2、(a+b)/2。研究之一：符號(hào)代數(shù)1修辭的解法Jane〔二年級(jí)，12歲零8月〕：“和除以2，差除以2。和除以2的商與差除以2的商相加，得到第一個(gè)數(shù)；從和除以2的商中減去差除以2的商，得到第二個(gè)數(shù)。例如：和＝8，差＝2，8/2＝4，2/2=1，第一個(gè)數(shù)＝4+1=5；第二個(gè)數(shù)＝4-1=3。〞研究之一：符號(hào)代數(shù)2丟番圖的解法Barry〔三年級(jí)，13歲零10個(gè)月〕：x–y=2〔1〕x+y=8〔2〕〔1〕+〔2〕得2x=10，x=5。代入〔2〕得：5+y=8，y=8-5，y=3。對(duì)于任何數(shù)，你都可以這樣做。〞研究之一：符號(hào)代數(shù)

3

韋達(dá)的解法設(shè)兩數(shù)為x和y，n=x和y的和，m=x和y的差，一般的方程為n=x+y，m=x-y。兩式相加，m+n=2x。求得x，回代，求出y。研究之一：符號(hào)代數(shù)類型學(xué)生數(shù)一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)四年級(jí)五年級(jí)六年級(jí)修辭法444130丟番圖法013554韋達(dá)法0101620合

計(jì)46771424研究之一：符號(hào)代數(shù)研究結(jié)論：學(xué)生對(duì)符號(hào)代數(shù)的認(rèn)知開(kāi)展過(guò)程與符號(hào)代數(shù)的歷史開(kāi)展過(guò)程具有相似性。

研究之二：角的概念Keiser(2004)

研究對(duì)象：6年級(jí)學(xué)生

研究問(wèn)題：6年級(jí)學(xué)生是如何理解角概念的？他們?cè)诶斫?

、180

和360

時(shí)有困難嗎？

研究方法：課堂觀察和訪談。研究之二：角的概念歷史回溯：古希臘人從關(guān)系、質(zhì)和量三方面之一來(lái)定義角，歐幾里得在?幾何原本?中將角定義為“平面上兩條不在同一直在線的直線彼此之間的傾斜度〞〔關(guān)系〕。卡普斯〔Carpus〕將角定義為“包含它的兩線或兩面之間的距離〞〔量〕。而普羅克拉斯〔Proclus〕那么認(rèn)為必須同時(shí)從大小〔量〕、存在研究之二：角的概念的形狀和特征〔質(zhì)〕、兩條直線之間的關(guān)系三方面來(lái)定義角。但在古希臘時(shí)代，無(wú)論從哪一種定義，都未能很完善地刻劃這個(gè)概念。另外，歷史上數(shù)學(xué)家在理解0、180和360三種特殊角時(shí)遇到了困難，許多數(shù)學(xué)家給出的“角〞的定義〔其中包括希爾伯特?幾何根底?中的定義〕都不含這三種角。研究之二：角的概念研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)角的理解也分成三種情形：(1)強(qiáng)調(diào)“質(zhì)〞的方面：一些學(xué)生認(rèn)為，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，“角〞越來(lái)越??；即形狀越“尖〞的“角〞越大。(2)強(qiáng)調(diào)“量〞的方面：一些學(xué)生認(rèn)為，邊越長(zhǎng)或者邊所界區(qū)域越大，角越大；研究之二：角的概念(3)強(qiáng)調(diào)“關(guān)系〞方面：一個(gè)學(xué)生不同意把角看作“兩條射線之間的‘寬度’，他認(rèn)為角是將一條邊〔終邊〕旋轉(zhuǎn)后與始邊之間的一種“關(guān)系〞。課堂上學(xué)生同樣很難理解0、180和360這三種特殊角，因?yàn)樵谒麄兊母拍畋硐裰胁⒉淮嬖谶@些角。研究之二：角的概念如Claire在研究者對(duì)她進(jìn)行的訪談中對(duì)這些角提出質(zhì)疑：“如果它〔180〕是一個(gè)角的話，那么它就需要有兩條邊，我看不出哪兒有兩條邊相交。〞“角有頂點(diǎn)以及兩條不同的線。我知道〔在180中〕有兩條直線，但你說(shuō)不出頂點(diǎn)在哪兒。〞“〔對(duì)于360的角〕圓是沒(méi)有任何角的，所以我不研究之二：角的概念明白。〞……研究結(jié)論學(xué)生對(duì)角概念的理解具有歷史相似性。教材和學(xué)生都可以從前人理解角概念的困難中獲得諸多啟示。研究之三：平面概念K.Zormbala,C.Tzanakis研究對(duì)象：51位大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)、從事各種職業(yè)的對(duì)象〔社會(huì)學(xué)家、小學(xué)教師、德文和英文教師、心理學(xué)家、律師、醫(yī)生〕研究問(wèn)題：非數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生是如何理解平面概念的？研究之三：平面概念研究方法：?jiǎn)柧碚{(diào)查。調(diào)查問(wèn)題：(1)請(qǐng)描述什么是平面；(2)在你看來(lái)，“平面〞和“外表〞有何不同？(3)作出一個(gè)平面。研究之三：平面概念類別對(duì)平面的描述百分比歷史上數(shù)學(xué)家的定義1平面是直線恰好與其相合的表面15.9%海倫（Heron,1世紀(jì)）2平面是包含經(jīng)過(guò)其上任意兩點(diǎn)的直線的表面4.8%辛松（R.Simson,1687-1768）3平面是由三點(diǎn)及經(jīng)過(guò)它們的直線所確定的表面12.7%皮埃里（M.Pieri,1860-1930）4平面是與兩個(gè)已知點(diǎn)等距的點(diǎn)的集合1.6%萊布尼茨（G.W.Leibniz,1646-1716）5平面是一個(gè)光滑的直的表面。12.7%巴門(mén)尼德（Parmenides,前5世紀(jì)）、歐幾里得（前3世紀(jì)）研究之三：平面概念類別對(duì)平面的描述百分比歷史上數(shù)學(xué)家的定義6其他回答（如“平面由其上一點(diǎn)及與其垂直的一條直線完全確定”）7.9%高斯(C.F.Gauss,1777-1855)、波爾約（W.Bolyai,1775-1856）7不清楚的、邏輯循環(huán)或前后不一致的回答11.5%

8不正確的回答15.9%9不完全的回答6.3%

10具體的現(xiàn)實(shí)情境（如平靜的水面、桌面、球在其上任一點(diǎn)處都能保持平衡的表面）6.3%

11沒(méi)有回答4.8%研究之三：平面概念萊布尼茨辛松高斯研究之三：平面概念研究結(jié)論

被試對(duì)平面概念的理解與歷史上巴門(mén)尼德(Parme-nides,前5世紀(jì))、海倫(Heron,1世紀(jì))、萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646～1716)、辛松(R.Simson,1687-1768)、高斯(C.F.Gauss,1777-1855)、皮埃里(M.Pieri,1860-1930)等數(shù)學(xué)家的理解具有相似性。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念研究問(wèn)題：高中生比較無(wú)窮集合時(shí)采用何種策略？是否具有歷史相似性？研究方法：測(cè)試與訪談被試：江蘇省某中學(xué)高二、高三兩個(gè)年級(jí)各一個(gè)班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識(shí)，尚未接觸過(guò)無(wú)窮集合的知識(shí)，也不曾閱讀過(guò)有關(guān)康托爾集合論方面的書(shū)籍。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念實(shí)無(wú)窮測(cè)試題1、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方數(shù)集

{1，4，9，16，25，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解釋你的答案。2、正整數(shù)集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶數(shù)集{2，4，6，8，10，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解釋你的答案。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念3、觀察長(zhǎng)度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，假設(shè)比較AB和CD上的點(diǎn)，CD上的點(diǎn)是否比AB上的點(diǎn)更多？A、是B、否C、不知道解釋你的答案。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念

4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)O，設(shè)P是CD上任意一點(diǎn)，連接PO，交AB于P

。CD上的點(diǎn)是否比AB上的點(diǎn)更多？

A、是；B、否；C、不知道解釋你的答案。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念5、設(shè)，，那么集合A和B是否具有同樣多的元素？A、是;B、否;C、不知道解釋你的答案。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念

兩個(gè)集合A和B都滿足：

(1)A和B都是無(wú)窮集合；

(2)B是A的真子集；

(3)A和B的元素之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念情

境題次集合A集合B算

術(shù)1正整數(shù)集平方數(shù)集2正整數(shù)集偶數(shù)集幾何3線段CD線段AB4線段CD線段AB算術(shù)＋幾何5區(qū)間

[0,2]區(qū)間[0,1]研究之四：實(shí)無(wú)窮概念研究發(fā)現(xiàn)：學(xué)生比較無(wú)窮集合所用的策略類型1集合A與集合B中的元素個(gè)數(shù)均為無(wú)窮，所以元素一樣多。類型2集合A與集合B的元素都是無(wú)窮多，無(wú)法比較。類型3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。類型4集合A與B之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，兩個(gè)集合中的元素一樣多。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念歷史相似性古希臘G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點(diǎn)可以構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)；正整數(shù)集和正整數(shù)平方所構(gòu)成的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。伽利略沒(méi)能解決局部與整體“相等〞的矛盾。他認(rèn)為無(wú)窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于〞、“小于〞和“等于〞這樣的詞用于無(wú)窮大量。研究之四：實(shí)無(wú)窮概念19世紀(jì)，高斯〔C.F.Gauss,1777-1855〕、柯西〔A.L.Cauchy,1789-1857〕、魏爾斯特拉斯〔K.Wierestrass,1815-1897〕等都無(wú)法接受無(wú)窮集合，因?yàn)樗鼈兒唾だ砸粯?，無(wú)法解決“局部等于整體〞這個(gè)矛盾。波爾察諾〔B.Bolzano,1781-1848〕ParadoxesoftheInfinite：包含關(guān)系準(zhǔn)那么－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。〞研究之四：實(shí)無(wú)窮概念康托爾〔G.Cantor,1845-1918〕創(chuàng)立集合論，將實(shí)無(wú)窮作為一個(gè)概念引入數(shù)學(xué)。他定義了“勢(shì)〞這個(gè)概念〔或稱“基數(shù)〞〕，并提出比較兩個(gè)無(wú)窮集合的一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)那么：“兩個(gè)集合A和B具有相同的勢(shì)〔基數(shù)〕，當(dāng)且僅當(dāng)在A和B之間存在一一對(duì)應(yīng)。〞研究之四：實(shí)無(wú)窮概念研究結(jié)論

高中生對(duì)實(shí)無(wú)窮的理解、困惑以及所用的策略與歷史上的數(shù)學(xué)家，如亞里士多德、伽利略、波爾察諾等的理解、困惑以及所用策略是相似的，因而對(duì)實(shí)無(wú)窮概念而言，歷史發(fā)生原理是成立的。研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)研究問(wèn)題：中學(xué)生對(duì)虛數(shù)和發(fā)散級(jí)數(shù)的理解是否具有歷史相似性？研究方法：測(cè)試被試：江蘇揚(yáng)州某中學(xué)高一3個(gè)班級(jí)共155名學(xué)生，他們?cè)趯W(xué)校里都沒(méi)有學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)概念。研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)(1)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉〔L.Euler,1707～1783〕曾經(jīng)遇到這樣的題目：求。歐拉的結(jié)果是：。丹麥著名數(shù)學(xué)家鄒騰〔H.G.Zeuthen,1839～1920〕在大學(xué)考試中也遇到類似題目：求。鄒騰的答案是。你認(rèn)為歐拉和鄒騰的答案對(duì)嗎？請(qǐng)發(fā)表任何評(píng)論。研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)(2)1703年，意大利數(shù)學(xué)家格蘭第〔G.Grandi,1671～1742〕研究了的和〔有無(wú)窮多個(gè)加數(shù)，1和-1交替出現(xiàn)〕。你能求出這個(gè)和嗎？研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)第1題結(jié)果答

案歐拉和鄒騰都不對(duì)歐拉和鄒騰都對(duì)歐拉錯(cuò)，鄒騰對(duì)歐拉對(duì)，鄒騰錯(cuò)對(duì)錯(cuò)不明確人數(shù)7461956百分比47.7%39.4%5.8%3.2%3.9%研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)第2題結(jié)果答案0或101/2-1或0

n,n-1,2n不能求解未給答案人數(shù)901510763195百分比58.1%9.7%6.5%4.5%3.8%1.9%12.3%3.2%研究之五：虛數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)研究結(jié)論就虛數(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)概念而言，學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程重蹈歷史開(kāi)展過(guò)程。本研究支持了F·克萊因、龐加萊、波利亞、弗賴登塔爾、M·克萊因這些論斷。研究之六：函數(shù)概念研究問(wèn)題：高中生是如何理解函數(shù)概念的？是否具有歷史相似性？研究方法：測(cè)試與訪談。用自己的語(yǔ)言描述什么是函數(shù)。被試：洛陽(yáng)某中學(xué)高一和高三兩個(gè)年級(jí)的局部學(xué)生，其中高一122人，高三116人。研究之六：函數(shù)概念類別定

義高一高三總計(jì)A變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系59（48.4%）19（16.4%）78（32.8%）B集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系6（4.9%）20（17.2%）26（10.9%）C映

射0（0）20（17.2%）20（8.4%）D解析式11（9.0%）7（6.0%）18（7.6%）E運(yùn)算9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）F變量的依賴關(guān)系3（2.5%）10（8.6%）13（5.5%）G圖像5（4.1%）7（6.0%）12（5.0%）H模糊或錯(cuò)誤的定義14（11.4%）9（7.9%）23（9.7%）I其它6（4.9%）8（6.9%）14（5.9%）J未回答9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）研究之六：函數(shù)概念類別對(duì)函數(shù)的理解歷史上的代表數(shù)學(xué)家1運(yùn)算格雷戈里（1667）2解析式伯努利（1696、1718）；歐拉（1748）；拉格朗日（1797）；布爾（1854）3曲線（圖像）歐拉（1748）4變量的依賴關(guān)系萊布尼茨（1714）；歐拉（1755）；拉克洛瓦（1797）；柯西（1821、1823）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；斯托克斯（1847）5變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系孔多塞（1778）；傅立葉（1822）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；黎曼（1851）；漢克爾（1870）；哈代（1908）；古爾薩（1923）6映

射戴德金（1887）7集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系坦納里（1904）；卡拉泰奧多里（1917）；維布倫（20世紀(jì)）；布爾巴基（1939）8序偶集皮亞諾（1911）；豪斯多夫（1914）；布爾巴基（1939）研究之六：函數(shù)概念研究結(jié)論

盡管中學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)概念，但他們對(duì)函數(shù)的理解卻是多種多樣的，與17世紀(jì)以后到20世紀(jì)上葉不同時(shí)空數(shù)學(xué)家的理解有著高度的相似性。研究之七：數(shù)的大小關(guān)系Thomaidis,Y.Tzanakis,C.研究問(wèn)題：中學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的大小關(guān)系的理解是否具有歷史相似性？研究方法：測(cè)試。被試：16歲初中生〔第一組30人，測(cè)試安排在即將開(kāi)始學(xué)不等式解法之時(shí)；第二組28人，測(cè)試安排在剛學(xué)完同一內(nèi)容之時(shí)，兩組被試均已學(xué)過(guò)實(shí)數(shù)大小關(guān)系、不等式根本性質(zhì)、絕對(duì)值和平方根〕。研究之七：數(shù)的大小關(guān)系測(cè)試題：(1)不等式x2>9〔或x2<9〕的解是什么？(2)假設(shè)x2<y2〔或x2>y2〕，那么x和y的關(guān)系如何？(3)設(shè)a、b和c為三個(gè)負(fù)整數(shù)，那么要使三者變成正數(shù)，所需加上的最小整數(shù)是多少？研究之七：數(shù)的大小關(guān)系x2>9x2<y2最小整數(shù)正確8(27%)2(7%)7(23%)不完整--6(20%)6(20%)錯(cuò)誤22(73%)19(63%)9(30%)空白--3(10%)8(27%)第1組測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)(N=30)研究之七：數(shù)的大小關(guān)系x2<9x2>y2最小整數(shù)正確9(32%)3(11%)3(11%)不完整--2(7%)6(21%)錯(cuò)誤19(68%)20(71%)9(32%)空白--3(11%)10(36%)第2組測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)(N=28)研究之七：數(shù)的大小關(guān)系類別解法人數(shù)正誤A平方根與絕對(duì)值511112

不等式x2>9的解法〔第1組〕研究之七：數(shù)的大小關(guān)系類別解法人數(shù)正誤B因式分解4F直接給出答案33111不等式x2>9的解法〔第1組〕研究之七：數(shù)的大小關(guān)系類別解法人數(shù)正誤G文字表達(dá)1.小于-3且大于3的數(shù)12.不能取-3和3之間的數(shù)，故11

4.除去-3,-2,-1,0,1,2,3,15.大于3的數(shù)及其相反數(shù)1

1

不等式x2>9的解法〔第1組〕研究之七：數(shù)的大小關(guān)系類別解法人數(shù)正誤A平方根1111B因式分解5不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關(guān)系類別解法人數(shù)正誤C因式分解與符號(hào)表2

D解相應(yīng)方程511

1不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關(guān)系類別解法人數(shù)正誤E利用三項(xiàng)式符號(hào)法則3

F直接回答211

1

不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關(guān)系類別解法人數(shù)正誤F直接回答11不等式x2<9的解法〔第2組〕研究之七：數(shù)的大小關(guān)系研究結(jié)論學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)大小關(guān)系的理解、存在的困難和所犯的錯(cuò)誤與歷史上數(shù)學(xué)家的理解、錯(cuò)誤與困難是相似的。但這種相似性受到今天教學(xué)因素的影響，故不能說(shuō)是“嚴(yán)格的相似〞。歷史相似性及其教學(xué)啟示Furinghetti:將數(shù)學(xué)史用于數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程案例1三角形內(nèi)角和定理案例2相似三角形的應(yīng)用時(shí)間作者或著作工作相似三角形性質(zhì)前2000年？巴比倫祭司分割直角三角形面積之比等于對(duì)于邊平方比前6世紀(jì)泰勒斯測(cè)量金字高度及輪船與海岸距離對(duì)應(yīng)邊成比例前6世紀(jì)歐帕里諾斯開(kāi)掘直線穿山隧道對(duì)應(yīng)角相等前2世紀(jì)周髀算經(jīng)測(cè)量太陽(yáng)直徑對(duì)應(yīng)邊成比例1世紀(jì)九章算術(shù)遠(yuǎn)距離測(cè)量對(duì)應(yīng)邊成比例案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用案例2相似三角形的應(yīng)用隧道全長(zhǎng)1036米，寬1.8米，高1.8米案例2相似三角形的應(yīng)用薩莫斯島上的穿山隧道(前530年)案例2相似三角形的應(yīng)用泰勒斯是如何測(cè)量金字塔高度的？Thales(about624BC-about547BC)案例2相似三角形的應(yīng)用泰勒斯是如何測(cè)量輪船離海岸距離的？案例3一元二次方程的概念案例3一元二次方程的概念例1矩形面積為12，寬為長(zhǎng)的3/4。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)、寬各為多少？〔埃及紙草書(shū)〕例2矩形面積為60，長(zhǎng)比寬多7。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)為多少？列出矩形的長(zhǎng)所滿足的方程。例3矩形面積為60，長(zhǎng)比寬多7。長(zhǎng)寬之和為17，問(wèn)該矩形的長(zhǎng)為多少？列出矩形的長(zhǎng)所滿足的方程。〔巴比倫泥版〕案例3一元二次方程的概念例4長(zhǎng)為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當(dāng)梯子的頂端沿墻向下滑動(dòng)6英尺時(shí)，底端離墻滑動(dòng)多遠(yuǎn)？例5在例3中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動(dòng)6英尺，那么底端將再一次滑動(dòng)多遠(yuǎn)？試列出底端再一次滑動(dòng)的距離所滿足的方程。案例3一元二次方程的概念例6如圖，有一所正方形的學(xué)校，南門(mén)和北門(mén)各開(kāi)在南、北面圍墻的正中間。在北門(mén)的正北方20米處有一顆大榕樹(shù)。一個(gè)學(xué)生從南門(mén)出來(lái)，朝正南方走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見(jiàn)到學(xué)校北面的大榕樹(shù)。問(wèn)這所學(xué)校每一面圍墻的長(zhǎng)度是多少？試列出方程。案例3一元二次方程的概念案例4解一元二次方程的因式分解法哈里奧特〔T.Harriot,1560-1621〕：案例4解一元二次方程的因式分解法笛卡兒〔R.Descartes,1596-1690〕?幾何學(xué)?〔1637〕：將一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘，得一元二次方程，它的兩個(gè)根為2和3。借鑒歷史，教師可以先給出下面的例子。例1解以下方程：〔1〕(x-4)(x+4)=0；〔2〕(x-3)(x-4)=0；〔3〕(2x+3)(x-1)=0。案例4解一元二次方程的因式分解法在得到諸方程的根之后，教師進(jìn)一步問(wèn)：上面三個(gè)方程是否一元二次方程？讓學(xué)生將方程左邊展開(kāi)，得到一般形式的一元二次方程之后，讓學(xué)生思考：對(duì)于一般的一元二次方程，我們能否反過(guò)來(lái)把左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，從而得出兩個(gè)根呢？例2解以下方程：〔1〕；〔2〕。案例5二元一次方程組的概念例1、列一元一次方程，解以下各文字題：〔1〕長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的1/4倍之和等于7，長(zhǎng)、寬之和等于10。求長(zhǎng)和寬。〔古巴比倫泥版〕〔2〕兩塊地共1畝，第一塊地畝產(chǎn)4擔(dān)糧食，第二塊地畝產(chǎn)3擔(dān)糧食。第一塊地的產(chǎn)量比第二塊的產(chǎn)量多擔(dān)。問(wèn)：兩塊地的面積各為多少？〔古巴比倫泥版〕案例5二元一次方程組的概念〔3〕每立方寸玉重7兩；每立方寸石重6兩?，F(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為3寸的立方石塊，其中含有玉，總重11斤。問(wèn)：這塊立方石塊所含玉、石的重量各為多少？〔中國(guó)?九章算術(shù)?〕〔4〕兩數(shù)之和為100，差為40，求這兩個(gè)數(shù)?！瞾G番圖?算術(shù)?〕案例5二元一次方程組的概念〔5〕某人工作1月〔30天〕，得7比贊〔古羅馬貨幣〕；怠工一月，付給工頭4比贊。月末，他從工頭處得到1比贊。問(wèn)：此人工作幾天？怠工幾天？〔斐波納契?計(jì)算之書(shū)?〕〔6〕為了鼓勵(lì)兒子學(xué)好算術(shù)，兒子每做對(duì)一道題，父親給他8分錢(qián)；做錯(cuò)一道題，罰5分錢(qián)。做完26道題后，誰(shuí)也不用給誰(shuí)錢(qián)。問(wèn)：兒子做對(duì)了幾道題？〔克拉維斯?代數(shù)?〕案例5二元一次方程組的概念教師先讓學(xué)生解上述諸題，然后讓學(xué)生答復(fù)：所選擇的未知量是什么？另一個(gè)量是什么？如何表示？根據(jù)題意得到怎樣的一元一次方程？最后，教師作出總結(jié)，如下表所示。案例5二元一次方程組的概念題次未知量另一個(gè)量一元一次方程（1）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（x）（2）第一塊地的面積（x）（3）玉的體積（x）（4）較小的數(shù)（x）（5）工作天數(shù)（x）（6）做對(duì)題數(shù)（x）案例5二元一次方程組的概念接著，教師讓學(xué)生思考：上面六個(gè)問(wèn)題各涉及兩個(gè)量，我們?cè)谇蠼獾臅r(shí)候，只設(shè)其中一個(gè)為x，而另一個(gè)量那么根據(jù)題設(shè)的其中一個(gè)數(shù)量關(guān)系，用x來(lái)表示，最后利用另一個(gè)數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)于x的一元一次方程。如果我們把另一個(gè)量也看作未知量，并設(shè)為y，情形又如何呢？在學(xué)生討論之后，讓他們答復(fù)：兩個(gè)未知量分別是什么？根據(jù)題意可得怎樣的等式？有幾個(gè)等式？案例5二元一次方程組的概念題次未知量之一未知量之二方程一方程二（1）長(zhǎng)方形長(zhǎng)（x）長(zhǎng)方形的寬（y）（2）第一塊地面積（x）第二塊地面積（y）（3）玉的體積（x）石的體積（y）（4）較小的數(shù)（x）較大的數(shù)（y）（5）工作天數(shù)（x）怠工天數(shù)（y）（6）做對(duì)題數(shù)（x）做錯(cuò)題數(shù)（y）案例5二元一次方程組的概念例2、閱讀以下問(wèn)題，設(shè)未知數(shù)，分別列出一元一次方程和二元一次方程組：〔1〕有一位行人黃昏經(jīng)過(guò)一個(gè)樹(shù)林，忽聽(tīng)得林間有人在說(shuō)話，細(xì)聽(tīng)方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽(tīng)得竊賊說(shuō)：“每人6匹，那么多出5匹；每人7匹，那么又少了8匹。〞問(wèn)：共有幾個(gè)竊賊，幾匹贓物？〔高彥休?唐闕史?〕〔2〕假設(shè)干人共同出錢(qián)購(gòu)物，假設(shè)每人出8元，那么多了3元；假設(shè)每人出7元，那么又少了4元。問(wèn)：共有幾個(gè)人？物價(jià)是多少？〔?九章算術(shù)?〕案例6三角公式眾所周知，今天的數(shù)學(xué)課本是用比來(lái)定義三角函數(shù)的。但在漫長(zhǎng)的歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家所用的三角函數(shù)都不過(guò)是于一條線段而已。六種三函數(shù)的起源如下表所示。案例6三角公式三角函數(shù)起源符號(hào)或譯名數(shù)學(xué)/天文學(xué)家地區(qū)時(shí)代正弦半弦jyāAryabhata印度6世紀(jì)余弦余角半弦kotijyāAryabhata印度6世紀(jì)正切轉(zhuǎn)影umbra

versaHabashal-Hasib阿拉伯9世紀(jì)余切直影umbra

rectaHabashal-Hasib阿拉伯9世紀(jì)正割直角三角形斜邊hypotenusaAbu’l-Wefa阿拉伯10世紀(jì)余割直角三角形斜邊hypotenusaAbu’l-Wefa阿拉伯10世紀(jì)案例6三角公式阿布·韋發(fā)〔Abu’l-Wefa,940～998〕：案例6三角公式雷提庫(kù)斯〔G.J.Rheticus,1514-1576〕拋棄了傳統(tǒng)的把三角函數(shù)定義，轉(zhuǎn)而將三角函數(shù)看作是角的函數(shù)，并利用直角三角形中三邊來(lái)定義六種函數(shù)。他將正弦、余弦、余割分別稱為perpendiculum、basis和hypotenusa。他知道下面的關(guān)系：案例6三角公式韋達(dá)〔F.Viète,1540～1603〕他給出了同角三角函數(shù)更多的關(guān)系式：案例6三角公式案例6三角公式帕普斯〔Pappus,3世紀(jì)末〕?數(shù)學(xué)匯編?案例6三角公式案例7

等比數(shù)列求和萊因得紙草書(shū)〔約公元前1650年〕案例7

等比數(shù)列求和萊因得紙草上的等比數(shù)列問(wèn)題

案例7

等比數(shù)列求和

案例7

等比數(shù)列求和歐幾里得?幾何原本?〔公元前3世紀(jì)〕第9卷命題35

案例7

等比數(shù)列求和

案例7

等比數(shù)列求和等比數(shù)列求和公式的幾何探求

案例8

二次冪和阿爾·海賽姆〔Al-Haitham,965～1039〕：10-11世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家案例8

二次冪和

案例8

二次冪和吉爾森〔R.LeviBenGershon,1288-1344〕?計(jì)算者之書(shū)?(MaasehHoshev)案例8

二次冪和邊長(zhǎng)分別為1、2、3、…n的n個(gè)正方形面積之和即為二次冪和案例8

二次冪和吉爾森公式的幾何圖示：擴(kuò)縮法案例8

二次冪和案例8

二次冪和三角形法案例8

二次冪和案例8

二次冪和案例8

二次冪和案例8

二次冪和體積法案例8

二次冪和案例9三次冪和阿爾·卡克西〔Al-Karkhi,953～1029〕案例9三次冪和階梯法案例10復(fù)數(shù)之引入課本的引入x2+1=0〔〕(在初中，老師告訴我們，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；現(xiàn)在，老師又說(shuō)了，到底怎么回事？難道方程非要有根不可嗎？郁悶??！)案例10復(fù)數(shù)之引入x3＋px＝q邦貝利〔4，〕

、案例10復(fù)數(shù)之引入萊布尼茨：x2+y2=2,xy=2萊布尼茨驚嘆：“在一切分析中，我從來(lái)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)比這更奇異、更矛盾的事實(shí)了。我覺(jué)得自己是第一個(gè)不通過(guò)開(kāi)方而將虛數(shù)形式的根化為實(shí)數(shù)值的人。〞案例10復(fù)數(shù)之引入惠更斯〔C.Huygens,1629～1695〕的驚訝：“含有虛數(shù)的不可開(kāi)根相加結(jié)果竟就是一個(gè)實(shí)數(shù)，你的這一結(jié)果令人驚訝，前所未有。人們決不相信會(huì)等於，這里面隱藏著我們無(wú)法理解的東西。〞案例10復(fù)數(shù)之引入迄今為止，同學(xué)們一直都在實(shí)數(shù)的海洋里遨游。那么，有沒(méi)有實(shí)數(shù)之外的數(shù)呢？請(qǐng)大家探索以下問(wèn)題：，，(1)求x+y；(2)分別求x和y。案例11曲線的切線為什么需要求曲線的切線？講解17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類問(wèn)題光的反射；曲線運(yùn)動(dòng)；曲線交角笛卡兒：“切線問(wèn)題是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的問(wèn)題。〞案例11曲線的切線如何求曲線的切線？

讓學(xué)生回憶或思考：圓的切線是如何定義的？

案例11曲線的切線給出三次曲線和正弦曲線的切線；

案例11曲線的切線案例11曲線的切線引入17世紀(jì)數(shù)學(xué)家的作圖法：案例11曲線的切線案例11曲線的切線最后，給出現(xiàn)代求法。歷史相似性及其教學(xué)啟示結(jié)論

數(shù)學(xué)歷史為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了新視角。為了將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)有必要研究歷史專題、了解歷史脈絡(luò)、借鑒歷史順序、運(yùn)用歷史資料。歷史相似性及其教學(xué)啟示教師首先需要了解所教概念的歷史開(kāi)展過(guò)程，并確定歷史開(kāi)展過(guò)程中的假設(shè)干關(guān)鍵環(huán)節(jié)，一個(gè)環(huán)節(jié)開(kāi)展到下一個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)因是什么？數(shù)學(xué)家遇到何種困難和障礙？在此根底上，重構(gòu)這些環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)出一系列由易至難、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題情境〔可以是歷史上的問(wèn)題或改編的問(wèn)題〕，實(shí)施于課堂。歷史相似性及其教學(xué)啟示設(shè)想將師范課程?數(shù)學(xué)史?改為?數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育?，或?數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)?歷史相似性及其教學(xué)啟示值得研究的假設(shè)干案例〔高中局部〕1、對(duì)數(shù)概念的開(kāi)展與引入2、極限概念的開(kāi)展與引入3、函數(shù)概念的開(kāi)展與引入4、算法概念的開(kāi)展與引入5、數(shù)列單元的HPM教學(xué)設(shè)計(jì)〔以古代數(shù)學(xué)文本中的數(shù)列問(wèn)題為根本材料〕歷史相似性及其教學(xué)啟示6、數(shù)列單元的HPM教學(xué)設(shè)計(jì)7、等可能事件的概率HPM教學(xué)設(shè)計(jì)8、圓錐曲線單元的HPM教學(xué)設(shè)計(jì)9、數(shù)學(xué)期望的HPM教學(xué)設(shè)計(jì)10、和角公式單元的教學(xué)設(shè)計(jì)11、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算單元的教學(xué)設(shè)計(jì)12、歐拉定理的教學(xué)設(shè)計(jì)歷史相似性及其教學(xué)啟示References[1]Fauvel,J.1991.UsinghistoryinMathematicsEducation.FortheLearningofMathematics.11(2):3-6.[2]Harper,E.1987.GhostsofDiophantus.EducationalStudiesinMathematics,18:75-90歷史相似性及其教學(xué)啟示[3]Bagni,G.T.2000.Difficultieswithseriesinhistoryandintheclassroom.In:Fauvel,J.&vanMaanen,J.(eds.).Historyinmathematicseducation.Dordrecht:KluwerAcademicPublishers,82-85[4]Keiser,J.M.2004.Struggleswithdevelopingtheconceptofangle:comparingsixth-gradestudents’discoursetothehistoryofangleconcept.Mathema-ticalThinkingandLearning,6(3):285-306歷史相似性及其教學(xué)啟示[5]Zormbal