第13章軸對稱第02講線段垂直平分線的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)任務(wù)單人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

第02講線段垂直平分線的性質(zhì)和判定知識點(diǎn)梳理知識點(diǎn)1：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線知識點(diǎn)2：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.知識點(diǎn)3：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上典例：一、單選題1．在聯(lián)歡晚會上，有、、三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點(diǎn)位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，準(zhǔn)先搶到凳子準(zhǔn)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷诘模?/p>

）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊中垂線的交點(diǎn)2．三角形中，到三個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)3．如圖所示的圖形中，，，那么（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．平分 D．4．如圖，有三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

）A．三條中線的交點(diǎn)處 B．三條角平分線的交點(diǎn)處C．三條高線的交點(diǎn)處 D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處5．如圖，在中，是的垂直平分線．若，的周長為，則的周長為（

）A． B． C． D．6．三角形紙片上有一點(diǎn)，量得，，則點(diǎn)P一定（

）A．是邊的中點(diǎn) B．在邊的中線上C．在邊的高上 D．在邊的垂直平分線上7．如圖，垂直平分線段，若，，則四邊形的周長是（

）A．11 B．13 C．16 D．188．如圖，為了達(dá)到就近檢測的目的，某地決定設(shè)立一個核酸檢測點(diǎn)，要求其到兩村莊A，B的距離相等，且到兩公路m，n的距離相等，則該監(jiān)測點(diǎn)應(yīng)設(shè)（）A．線段AB的垂線上 B．兩公路m，n夾角的角平分線上C．線段AB的垂直平分線上 D．線段AB的垂直平分線和兩公路m，n夾角平分線的交點(diǎn)9．如圖，為邊的垂直平分線，若的周長為，若的周長為，則長為（

）A． B． C． D．10．如圖，中邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，，的周長為，則的周長是（

）A． B． C． D．11．如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以相同的長大于為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接已知的面積比的面積小，則的面積為（）A．4 B． C．3 D．212．如圖，在中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M．N作直線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．若，則的周長為（

）A．25 B．22 C．20 D．1413．在中，，兩個完全一樣的三角尺按如圖所示擺放，他們一組較短的直角邊分別在上，另一組較長的對應(yīng)邊的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．平分 B． C．垂直平分 D．14．如圖，在中，平分，平分，點(diǎn)是、的垂直平分線的交點(diǎn)，連接、，若，則的大小為（

）A． B． C． D．15．如圖，直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)．若，，，則周長的最小值是（

）A．9 B．10 C． D．11二、填空題16．如圖，在中，D為中點(diǎn)，，，于點(diǎn)F，，，則的長為．17．如圖，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上從C向A運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q在BC上從B向C運(yùn)動，當(dāng)∠PDQ＝時，△PDQ的周長最?。?8．如圖所示，，，直線a垂直平分，若與直線a相交于點(diǎn)D，則的周長為cm．19．如圖，中，，，邊上的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的周長是．20．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，若，，則的周長為．21．如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E．的周長為，則的長為．三、解答題22．如圖，在中，連接AC，請用尺規(guī)作圖法在線段AC上找一點(diǎn)F，連接BF，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）23．已知：如圖，，，點(diǎn)在上．求證：．24．如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）25．如圖所示，國道和國道在某巿相交于點(diǎn)，在的內(nèi)部有工廠和，現(xiàn)要建一個貨站，使到和的距離相等，且使，用尺規(guī)作出點(diǎn)的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）26．如圖，在中，，請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）27．如圖，，平分交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，且．試說明：(1)；(2)．參考答案：1．D【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．【詳解】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，能夠想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等，到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可判斷．【詳解】解：∵，，∴垂直平分，選項B正確，不能判斷選項A、C、D是否正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的判定，掌握“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)選擇即可．【詳解】解：∵線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，∴超市應(yīng)建在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的實際應(yīng)用．掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得，；根據(jù)的周長為，則，的周長為：，，即可．【詳解】∵是的垂直平分線，∴，，∵的周長為，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長公式．6．D【分析】已知條件知道線段相等，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等的逆定理可知點(diǎn)P一定在邊的垂直平分線上．【詳解】解：∵，∴，∴點(diǎn)P一定在邊的垂直平分線上．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的逆用，熟練掌握該知識是解答本題的關(guān)鍵．7．C【分析】由垂直平分線性質(zhì)得線段相等，根據(jù)周長公式求解．【詳解】解：∵垂直平分線段，∴．∴四邊形的周長為．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，由性質(zhì)定理得到線段相等是解題的關(guān)鍵．8．D【詳解】根據(jù)垂直平分線的判定定理，角平分線的判定定理處理；【解答】解：∵核酸檢測點(diǎn)到兩村莊A，B的距離相等，∴核酸檢測點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∵核酸檢測點(diǎn)到兩公路m，n的距離相等，∴核酸檢測點(diǎn)在兩公路m，n夾角平分線上，∴核酸檢測點(diǎn)為線段AB的垂直平分線和兩公路m，n夾角平分線的交點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的判定定理、角平分線的判定定理；掌握判定定理，根據(jù)線段相等判定點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到，再由的周長為，即可求解．【詳解】解：∵為邊的垂直平分線，∴，∴，∵的周長為，∴，∵的周長為，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長公式即可得．【詳解】解：垂直平分，且，，的周長為，，，即，則的周長是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．A【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，是線段的垂直平分線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，即的面積為4，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積計算，掌握線段垂直平分線的概念、三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．12．B【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得，由的周長得到答案．【詳解】解：由作圖的過程可知，是的垂直平分線，∴，∵，∴的周長，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了尺規(guī)作圖一線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．D【分析】先根據(jù)角平分線的判定定理得到平分，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到垂直平分，進(jìn)而即可求解．【詳解】由題意得，，∴平分，∵，∴垂直平分，故選項A、B、C正確，不符合題意；只有當(dāng)是等邊三角形時，才能得出，故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．14．B【分析】連接并延長，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求出．【詳解】解：連接并延長，點(diǎn)是、的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，是的一個外角，，同理，，，，，平分，平分，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．A【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，所以周長.【詳解】∵直線m是中邊的垂直平分線,∴∴周長∵兩點(diǎn)之間線段最短∴∴的周長∵，∴周長最小為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短.做本題的關(guān)鍵是能得出，做此類題的關(guān)鍵在于能根據(jù)題設(shè)中的已知條件，聯(lián)系相關(guān)定理得出結(jié)論，再根據(jù)結(jié)論進(jìn)行推論．16．【分析】連接，過點(diǎn)E作，交的延長線于N，由，可得；由D為中點(diǎn)，，則可得；證明，再證明即可求得結(jié)果．【詳解】解：連接，過點(diǎn)E作，交的延長線于N，如圖，∵，，∴；∵D為中點(diǎn)，，∴；∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴，即，∴．∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握這兩個性質(zhì)是關(guān)鍵．17．28°/28度【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，把三角形的周長轉(zhuǎn)化為一條線段的長，利用三角形的內(nèi)角和及平角的定義求解．【詳解】過點(diǎn)D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，過點(diǎn)D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，連接EF，則EF的長為△PDQ的最小值，根據(jù)作圖知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，∴DQ＝FQ，PD＝PE，∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，所以EF的長是△PDQ的最小值，此時有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ，在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°，∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°（∠DQP+∠DPQ）＝104°（180°﹣∠PDQ）＝104°﹣90°∠PDQ，解得：∠PDQ＝28°．故當(dāng)∠PDQ＝28°時，△PDQ的周長最?。蚀鸢笧椋?8°【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，通過軸對稱把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．18．8【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到的周長等于，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵直線a垂直平分，若與直線a相交于點(diǎn)D，∴，∴的周長為；故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，熟練掌握中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．19．12【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形的周長即可求解．【詳解】解：∵邊上的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∵的周長為，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．14【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等量代換和三角形周長公式計算即可．【詳解】解：是的垂直平分線，∴，∴的周長為，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．21．【分析】利用中垂線的性質(zhì)，得到的周長，即可得解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，∴的周長∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的性質(zhì)．熟練掌握中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．22．見解析【分析】作的垂直平分線交于點(diǎn)F即可【詳解】解：要使，則F為垂直平分線上一點(diǎn)，即作的垂直平分線與的交點(diǎn)即為所求，分別以為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線，與的交點(diǎn)F，則點(diǎn)F為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線；解題的關(guān)鍵是熟練掌握作圖方法．23．見解析【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理說明是線段的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理得出答案．【詳解】證明：如圖，連接，∵，∴點(diǎn)A是線段垂直平分線上的