高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第13講 拓展一 一元二次（分式）不等式解法（教師版）

第06講拓展一一元二次（分式）不等式解法（含參數(shù)討論問題）一、知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)01：一元二次不等式的有關(guān)概念1、一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①（其中均為常數(shù)）②（其中均為常數(shù)）③（其中均為常數(shù)）④（其中均為常數(shù)）2、一元二次不等式的解與解集使某一個(gè)一元二次不等式成立的的值，叫作這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集.將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.知識(shí)點(diǎn)02：四個(gè)二次的關(guān)系1一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根()的解集()的解集知識(shí)點(diǎn)03：一元二次不等式的解法1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；2：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無解3：根據(jù)不等式，寫出解集.知識(shí)點(diǎn)04：解分式不等式1、分式不等式定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。2、分式不等式的解法①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤二、題型精講題型01一元二次不等式（不含參）的求解（首項(xiàng)系數(shù)為正）【典例1】（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是__________.【答案】【詳解】不等式，即，解得，則的取值范圍是.故答案為：.【典例2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）的解集是_______.【答案】【詳解】由，解得：.所以的解集是：故答案為：【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為______．【答案】【詳解】解：因?yàn)椴坏仁娇苫癁?，解得或，所以原不等式的解集為故答案為：【變?】（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）不等式的解集為___________【答案】【詳解】因?yàn)?，所以不等式的解集為：，故答案為?【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為______.【答案】【詳解】由得：

即不等式的解集為故答案為：題型02一元二次不等式（不含參）的求解（首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)）【典例1】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習(xí)）不等式的解集為___________【答案】【詳解】，即，解得：所以不等式的解集為.故答案為：【典例2】（2023秋·北京順義·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集是__________.【答案】或【詳解】解：不等式，即，即，解得或，所以不等式的解集為或.故答案為：或【典例3】（2023秋·黑龍江七臺(tái)河·高三校考期中）不等式的解集為___________.【答案】【詳解】由等價(jià)于，可得.故答案為：【變式1】（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一元二次不等式的解集為______________【答案】或【詳解】由，得，解得或，所以不等式的解集為或；故答案為：或【變式2】（2023·江西九江·校考模擬預(yù)測）不等式的解集為______．【答案】【詳解】，因?yàn)橐辉畏匠痰呐袆e式，二次函數(shù)的開口向上，所以不等式的解集為空集，故答案為：【變式3】（2023秋·天津南開·高一天津大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）不等式的解為___________.【答案】【詳解】由題意，，即求解不等式，解得，所以不等式的解集為.故答案為：題型03分式不等式【典例1】（2023·上海寶山·上海交大附中校考三模）不等式的解集為__________.【答案】【詳解】原不等式等價(jià)于，解得或,故答案為：.【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為________．【答案】【詳解】由于，所以不等式即不等式，即，解得或，故不等式的解集為，故答案為：【典例3】（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）不等式的解集是________．【答案】或}【詳解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.故答案為：或}【典例4】（2023春·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是__________.【答案】或【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足條件的不存在，所以不等式的解集是或，故答案為：或.【變式1】（2023春·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）不等式的解集是___________.【答案】【詳解】不等式即，故不等式的解集是，故答案為：【變式2】（2023春·上海嘉定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）不等式的解集為______.【答案】【詳解】因?yàn)?，即，解得，所以不等式的解集為故答案?【變式3】（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）（1）解不等式；【答案】（1）或；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，所以，解得或，所以原不等式的解集為?題型04一元二次不等式（含參）的求解（兩根大小不確定從兩根相等開始討論）【典例1】（2023秋·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】答案見解析【詳解】原不等式可化為，令，解得或，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析.【詳解】由得或.當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為．綜上：時(shí)，不等式解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為．【典例3】（2023秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式．(1)若不等式的解集為，求a，b的值：(2)若，解不等式．【答案】(1)(2)答案見解析．【詳解】（1）原不等式可化為，由題知，，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得．（2）原不等式可化為，因?yàn)?，所以原不等式化為，?dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．【典例4】（2023秋·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）已知一元二次函數(shù)，．(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由已知得，解得或.實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2），令，得，當(dāng)，即時(shí)，的解集為，當(dāng)，即時(shí)，的解集為，當(dāng)，即時(shí)，的解集為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；【變式1】（2023·高一單元測試）已知關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以與是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．由根與系數(shù)的關(guān)系，得,解得，所以實(shí)數(shù).（2）由（1）知，不等式可化為，即．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．【變式2】（2023春·遼寧沈陽·高二新民市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)解不等式．【答案】(1);(2)答案見解析【詳解】（1）的解集為，和是的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：，；（2）由（1）可知，即,,①當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)解集為且；②當(dāng)即時(shí)，此時(shí)解集為或；③當(dāng)即時(shí)，此時(shí)解集為或；綜上：當(dāng)時(shí)，解集為且；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為或題型05一元二次不等式（含參）的求解（首項(xiàng)系數(shù)含參從0開始討論）【典例1】（2023春·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，解不等式.【答案】答案見解析【詳解】①當(dāng)時(shí)，；∴.②當(dāng)時(shí)，由得或，（i）當(dāng)即時(shí)，，（ⅱ）當(dāng)即時(shí)，，（ⅲ）當(dāng)即時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，所求不等式的解集為.【典例2】（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)?？计谀?）若不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）；（2）答案見解析.【詳解】（1）由題意，恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，滿足，即，解得；故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）不等式等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，此時(shí)，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或.綜上：時(shí)，等式的解集為或時(shí)，不等式的解集為時(shí)，不等式的解集為或時(shí)，不等式的解集為時(shí)，不等式的解集為【典例3】（2023春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知，解關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，當(dāng)時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式為，若，不等式為，解得；若，解得或；，解得或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是或．【典例4】（2023秋·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，解不等式；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)或(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以由得，解得或，故的解集為或.（2）由得，當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，故不等式的解集為；令，解得或，當(dāng)，即時(shí)，不等式解得或，故不等式的解集為或；當(dāng)，即時(shí)，不等式化為，解得，故不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式解得或，故不等式的解集為或；當(dāng)，即時(shí)，不等式解得，故不等式的解集為；綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)解關(guān)于的不等式（其中）．【答案】(1)；(2)答案見解析.【詳解】（1）不等式即為：，當(dāng)時(shí)，不等式可變形為：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）不等式，等價(jià)于，即，①當(dāng)時(shí)，不等式整理為，解得；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，②當(dāng)時(shí)，可得，解不等式得或；③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋獠坏仁降?；④?dāng)時(shí)，因?yàn)?，不等式的解集為；⑤?dāng)時(shí)，因?yàn)?，解不等式得；綜上所述，不等式的解集為：①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式解集為；④當(dāng)時(shí)，不等式解集為；⑤當(dāng)時(shí)，不等式解集為．【變式2】（2023秋·山東濟(jì)寧·高一濟(jì)寧一中?？计谀┮阎坏仁降慕饧癁榛颍?1)求a，b的值；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由題意知一元二次方程的解為，且，，由韋達(dá)定理有：.（2）由（1）知，則原不等式等價(jià)于，因式分解得：，當(dāng)時(shí)：不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)：不等式的解集為：或；當(dāng)時(shí)：不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)：不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)：不等式的解集為：；【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式．【答案】詳見解析.【詳解】原不等式變形為．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，不等式即為，當(dāng)時(shí)，x或；由于，于是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．題型06一元二次不等式（含參）的求解（不可因式分解型）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式．【答案】答案見解析.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式，解得，不等式解集為；（2）當(dāng)時(shí)，，開口向上，由圖象得：若時(shí)，，的兩個(gè)零點(diǎn)為，，不等式的解集為；若時(shí)，，不等式解集為；（3）當(dāng)時(shí)，，的兩個(gè)零點(diǎn)為，開口向下，由圖象得不等式解集為；綜上可知，當(dāng)時(shí)不等