高中數學同步講義（人教A版必修一）：第16講 3.1.2函數的表示法（教師版）

第02講3.1.2函數的表示法課程標準學習目標①了解函數的三種表示方法及特點；②掌握求函數解析式的常用方法③了解與認識分段函數及其定義域④會用分析法與圖象法表示分段函數，并能掌握分段函數的相關性質.通過本節(jié)課的學習，熟練掌握函數的三種表示方法，會求函數的解析式，掌握分段函數的解析法與圖象法的表示方法與性質.知識點01：函數的表示法1、解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.2、列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.3、圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.優(yōu)點缺點聯(lián)系解析法①簡明、全面的概括了變量之間的關系；②可以通過解析式求出在定義域內任意自變量所對應的函數值；③便于利用解析式研究函數的性質；①并不是所有的函數都有解析式；②不能直觀地觀察到函數的變化規(guī)律；解析法、圖象法、列表法各有各的優(yōu)缺點，面對實際情境時，我們要根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．圖象法①能直觀、形象地表示自變量的變化情況及相適應的函數值的變化趨勢；②可以直接應用圖象來研究函數的性質；①并不是所有的函數都能畫出圖象；②不能精確地求出某一自變量相應的函數值；列表法①不需要計算就可以直接看出與自變量的值對應的函數值；①不夠全面，只能表示自變量取較少的有限值的對應關系；②不能明顯地展示出因變量隨自變量變化的規(guī)律；知識點02：求函數解析式1、待定系數法：若已知函數的類型（如一次函數、二次函數，反比例等），可用待定系數法．2、換元法：主要用于解決已知這類復合函數的解析式，求函數的解析式的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關于的表達式，4、方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數_______，=_______．【答案】11【詳解】令，則，所以，所以，所以.故答案為：；.知識點03：分段函數對于函數，若自變量在定義域內的在不同范圍取值時，函數的對應關系也不相同，則稱函數叫分段函數．注：(1)分段函數是一個函數，只是自變量在不同范圍取值時，函數的對應關系不相同；（2）在書寫時要指明各段函數自變量的取值范圍；（3）分段函數的定義域是所以自變量取值區(qū)間的并集．【即學即練2】（2023·四川內江·四川省內江市第六中學?？寄M預測）已知函數，則_________．【答案】【詳解】，所以故答案為：.知識點04：函數的圖象1、函數圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨一個加或者減，注意當前系數不為1,需將系數提取到外面.2、函數圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；3、函數圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側的圖象，保留軸右側的圖象；將軸右側圖象翻折到軸左側；本質是個偶函數）【即學即練3】（2023春·四川雅安·高一雅安中學?？奸_學考試）函數的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因為，且，，故符合題意的只有A.故選：A題型01函數的三種表示法的應用【典例1】（2023·安徽黃山·高一屯溪一中?？奸_學考試）已知邊長為1的正方形中，為的中點，動點在正方形邊上沿運動．設點經過的路程為．的面積為．則與的函數圖象大致為圖中的（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】當動點P在正方形ABCD邊上沿運動時，則的面積為；當動點P在正方形ABCD邊上沿運動時，則的面積為；當動點P在正方形ABCD邊上沿運動時，則的面積為；綜上所述：，可知B、C、D錯誤，A正確.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三對口高考）如圖中的圖象所表示的函數的解析式為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】當0≤x≤1時，設f（x）=kx，由圖象過點（1，），得k=，所以此時f（x）=x；當1≤x≤2時，設f（x）=mx+n，由圖象過點（1，），（2，0），得，解得所以此時f（x）=．函數表達式可轉化為：y＝|x－1|(0≤x≤2)故答案為B【典例3】（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知函數，分別由下表給出，012121012210則_____________；滿足的的值是_____________．【答案】21【詳解】依題意，；，，，，，，因此當且僅當時，成立，所以滿足的x的值是1.故答案為：2；1【變式1】（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點由點沿線段向點移動，過點作的垂線，設，記位于直線左側的圖形的面積為，那么與的函數關系的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當時，，顯然此時函數的圖象是拋物線的一部分；當時，，顯然此時函數的圖象是拋物線的一部分，綜上所述：與的函數關系的圖象大致是選項D，故選：D【變式2】（2023·全國·高三專題練習）某校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每人推選一名代表，當班人數除以的余數大于時，再增選一名代表，則各班推選代表人數與該班人數之間的函數關系用取整函數（表示不大于的最大整數，如，）可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設班級人數的個位數字為，令，（），當時，，當時，，綜上，函數關系式為.故選：B.題型02求函數的解析式（待定系數法）【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知函數是一次函數，滿足，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】設，由題意可知，所以，解得或，所以或.故選：AD.【典例2】（2023·全國·高三對口高考）若二次函數滿足，且，則的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設，，∵，則，又∵，令，則，∴，即，，令，則，，即，，∴，，.故選：D.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若，且，則（

）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】因為,,則設即則,即所以故選:.題型03求函數的解析式（換元法）【典例1】（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中校考期中）已知，則函數的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，，令，則，，所以，，故，，故選：C【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知，求.【答案】，【詳解】因為，令，當時，當且僅當，即時取等號，當時，當且僅當，即時取等號，所以，則，，，.題型04求函數的解析式（配湊法）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知，則_______．【答案】【詳解】因為，所以，故答案為：【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A．6 B．3 C．11 D．10【答案】C【詳解】，，.故選：C.題型05求函數的解析式（方程組（消去）法）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，對任意均滿足：則函數解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，可得①，又②，①＋②得：，解得，故選：A．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知，求的解析式【答案】【詳解】因為，用替換得，消去，解得，即.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數滿足．(1)求的解析式；(2)設函數，若對任意，恒成立，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，消去得，所以．（2）由，得，即對任意恒成立，令，，當時，取得最大值86，所以實數m的取值范圍為．題型06求函數的解析式（賦值法求抽象函數的解析式）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）定義在上的函數滿足，并且對任意實數，都有，求的解析式.【答案】【詳解】對任意實數，，，令，得，即，又，所以.【典例2】（2023·高一課時練習）已知函數滿足：對一切實數、，均有成立，且．(1)求函數的表達式；【答案】(1)【詳解】（1）由已知等式，令，，得．又，所以．再令，可得，即．因此，函數的表達式為．【變式1】（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）寫出一個滿足：的函數解析式為______.【答案】【詳解】中，令，解得，令得，故，不妨設，滿足要求.故答案為：【變式2】（2023·高一課時練習）已知函數對一切的實數，，都滿足，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求在上的值域.【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）令則（2）令則；（3）對稱軸為，，．題型07分段函數（求分段函數的值）【典例1】（2023春·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）已知函數，則______．【答案】63【詳解】因為，所以．故答案為：63．【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知函數，則的值為______.【答案】7【詳解】由題意，函數，則.故答案為：.題型08分段函數（已知分段函數的值求參數）【典例1】（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預測）已知函數，若的最小值為1，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，則，僅當時等號成立，所以，在上遞減，且最小值為，對于在上，當時；當時，無最小值；顯然，時的最小值不為1，不合題意；所以，此時必有，可得.故選：B【典例2】（2023春·北京海淀·高三首都師范大學附屬中學校考開學考試）已知函數無最大值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題可知，當時，，其對稱軸為，當時，函數有最大值為，當時，函數有最大值為，當時，，在單調遞減，故，因為函數無最大值，故當時，需滿足，解得，不符合題意，當時，需滿足，解得，（舍去）.綜上，實數a的取值范圍是.故選：D.【典例3】（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學校考開學考試）已知函數，當時，，則的最大值是________．【答案】/【詳解】令，解得：；令，解得：；圖象如下圖所示，由圖象可知：，，.故答案為：.題型09分段函數（分段函數的值域或最值）【典例1】（2023春·北京大興·高二?？茧A段練習）函數的最小值是__________.【答案】【詳解】當時，的單調遞減，，當，，，所以函數的最小值為.故答案為：【典例2】（2023秋·內蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）已知函數的最大值為的最小值為，則______．【答案】【詳解】當時，，所以此時，當時，，所以此時，綜上所述，，即，所以.故答案為：.【變式1】（多選）（2023秋·高一課時練習）設函數，存在最小值時，實數的值可能是（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【詳解】解：因為，若，當時在上單調遞增，當時，此時函數不存在最小值；若，則，此時，符合題意；若，當時在上單調遞減，當時，二次函數對稱軸為，開口向上，此時在上單調遞增，要使函數存在最小值，只需，解得，綜上可得.故選：ABC題型10分段函數（解分段不等式）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）設，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】當時，由得：，解得：或，；當時，由得：，解得：，；不等式的解集是.故選：A.【典例2】（2023·全國·高一專題練習）函數，若關于的不等式的解集___________.【答案】【詳解】由題意得原不等式等價于或，解得或，即關于的不等式的解集為：故答案為：【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知,則使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】（方法1）當時，不等式可化為，解得，又，所以；當時，，不等式可化為，解得，又，所以.綜上，使不等式成立的的取值范圍是.故選:A.（方法2）函數的圖象如圖所示，虛線表示，函數圖象在虛線及以上的部分中的取值范圍即不等式的解集.由圖可知，的取值范圍就是點的橫坐標與點的橫坐標之間的范圍.在中，令，得，所以點的橫坐標為.在中，令，得（舍去）或，所以點的橫坐標為，所以使不等式成立的的取值范圍是.故選：A.【變式2】（2023·全國·模擬預測）已知函數.(1)求的最小值；(2)若對任意恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)0(2)【詳解】（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數，，的圖象，如圖1所示，由，解得或；由，解得或.由圖象易得，結合圖象可知，當時，取得最小值，即.（2）設，則恒過點，因為，所以記，由（1）知，的圖象如圖2所示，當時，，即，所以，不等式恒成立.當時，易知直線AM的斜率，由圖象可知，根據恒成立，可得，解得，所以，綜上所述，k的取值范圍是.題型11函數圖象（函數圖象識別）【典例1】（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學校考階段練習）設均為非零實數，則直線和在同一坐標系下的圖形可能是（

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于A，若圖象正確，則，，開口方向向上，對稱軸為，與圖象符合，A正確；對于B，若圖象正確，則，，開口方向向下，與圖象不符，B錯誤；對于C，若圖象正確，則，，開口方向向上，與圖象不符，C錯誤；對于D，若圖象正確，則，，開口方向向上，與圖象不符，D錯誤.故選：A.【典例2】（2023秋·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）函數的圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數的定義域為，，排除BC選項，，排除D選項.故選：A【變式1】（2023春·四川綿陽·高一三臺中學?？茧A段練習）已知函數，則函數的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，所以圖像與的圖像關于軸對稱，由解析式，作出的圖像如圖.從而可得圖像為D選項.故選：D.題型12函數圖象（畫出具體函數圖象）【典例1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學?？紝W業(yè)考試）給定函數，，.(1)在所給坐標系（1）中畫出函數，的大致圖象；（不需列表，直接畫出.）(2)，用表示，中的較小者，記為，請分別用解析法和圖象法表示函數.（的圖象畫在坐標系（2）中）(3)直接寫出函數的值域.【答案】(1)圖象見解析.(2)，圖象見解析.(3).【詳解】（1）-2-1012-6020-6-6-3036∴函數，的大致圖象如下圖示：（2）由，可得或，結合（1）的圖象知：，則的圖象如下：（3）由（2）所得圖象知：的值域為.【典例2】（2023春·湖北咸寧·高一校考開學考試）已知函數.（1）若，求實數的值；（2）畫出函數的圖象并寫出函數在區(qū)間上的值域；（3）若函數，求函數在上最大值.【答案】（1）或；（2）圖象答案見解析，值域為；（3）.【詳解】（1）當時，得，當時，得，由上知或.（2）圖象如下圖：，由圖象知函數的值域為.（3）當時，，配方得,當，即時，，當，即時，，綜上，.【變式1】（2022秋·高一課時練習）已知函數，其中[x]表示不超過的最大整數，例如(1)將的解析式寫成分段函數的形式;(2)請在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數的圖象;(3)根據圖象寫出函數的值域.【答案】(1).(2)作圖見解析(3).【詳解】（1）當時，所以當時，，所以當時，，所以.綜上，（2）函數的圖象如圖所示.（3）由圖象，得函數的值域為.題型13函數圖象（根據實際問題做出函數圖象）【典例1】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學?？茧A段練習）如圖為某無人機飛行時，從某時刻開始15分鐘內的速度（單位：米/分鐘）與時間（單位：分鐘）的關系．若定義“速度差函數”為無人機在時間段內的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，當時，無人機做勻加速運動，，“速度差函數”；當時，無人機做勻速運動，，“速度差函數”；當時，無人機做勻加速運動，，“速度差函數”；當時，無人機做勻減速運動，“速度差函數”，結合選項C滿足“速度差函數”解析式，故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，點在邊長為1的正方形的邊上運動，是的中點，則當沿運動時，點經過的路程與的面積的函數的圖象大致是下圖中的A． B．C． D．【答案】A【詳解】當點在上時：當點在上時：當點在上時：由函數可知，有三段直線，又當點在上時是減函數故選：A【變式1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學從點出發(fā)，沿花壇外側的小路順時針方向勻速走了一圈(路線為)，則小明到點的直線距離與他從點出發(fā)后運動的時間之間的函數圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】小明沿走時，與點的直線距離保持不變，沿走時，隨時間增加與點的距離越來越小，沿走時，隨時間增加與點的距離越來越大.故選：D.題型14函數圖象（函數圖象的變換）【典例1】（多選）（2022秋·重慶萬州·高一?？计谥校┫铝泻瘮祱D像經過變換后，過原點的是（

）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向上平移個單位 D．向下平移個單位【答案】AC【詳解】向右平移個單位得到，當時，，函數圖像過原點，選項A正確；..向左平移個單位得到，當時，，函數圖像不過原點，選項B錯誤；向上平移個單位得到，當時，，函數圖像過原點，選項C正確；向下平移個單位得到，當時，，函數圖像不過原點，選項D錯誤.故選：AC【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知函數定義在上的圖象如圖所示，請分別畫出下列函數的圖象：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析(5)答案見解析(6)答案見解析【詳解】（1）將函數的圖象向左平移一個單位可得函數的圖象，函數的圖象如圖：

（2）將函數的圖象向上平移一個單位可得函數的圖象，函數圖象如圖：

（3）函數的圖象與函數的圖象關于軸對稱，函數圖象如圖：

（4）函數的圖象與函數的圖象關于軸對稱，函數的圖象如圖：

（5）將函數的圖象在軸上方圖象保留，下方的圖象沿軸翻折到軸上方可得函數的圖象，函數的圖象如圖：

（6）將函數的圖象在軸左邊的圖象去掉，在軸右邊的圖象保留，并將右邊圖象沿軸翻折到軸左邊得函數的圖象，其圖象如圖：

【變式1】（2022秋·重慶萬州·高一?？计谥校⒑瘮档膱D象向左平移1個單位，再向下平移3個單位長度，所得的函數圖象對應的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】函數的圖象向左平移1個單位得到，再向下平移3個單位長度得到.故選：C題型15函數圖象（根據圖象選擇解析式）【典例1】（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習）我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來研究函數圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由圖知的定義域為，排除選項A、D，又因為當時，，不符合圖象，所以排除選項C，故選：B.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若函數的大致圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：由圖可知，當時，，取，則對于B，，所以排除B，對于D，，所以排除D，當時，對于A，，此函數是由向右平移1個單位，再向上平移1個單位，所以時，恒成立，而圖中，當時，可以小于1，所以排除A,故選：C【變式1】（2022秋·四川樂山·高一?？茧A段練習）已知某函數的部分圖象如圖所示，則下列函數解析式符合該圖象特征的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于，故其圖象的漸近線為，，而，結合圖象可得，故A不符合；對于，故其圖象的漸近線為，，而，結合圖象可知D符合；對于，因為，故其圖象的漸近線為，，結合圖象可知B不符合；對于，因為，故其圖象的漸近線為，，結合圖象可知C不符合；故選：D.題型16新定義（新文化題）【典例1】（2023·全國·高一專題練習）十九世紀德國數學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數”它在現(xiàn)代數學的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數，則下列實數不屬于函數值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【詳解】由題意可知所以，，，而無解.故選：C.【典例2】（2023·黑龍江大慶·鐵人中學校考二模）黎曼函數是一個特殊的函數，由德國著名的數學家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數學中有著廣泛的應用.其定義黎曼函數為：當（為正整數，是既約真分數）時，當或或為上的無理數時.已知、、都是區(qū)間內的實數，則下列不等式一定正確的是A． B．C． D．【答案】B【詳解】設為正整數，是既約真分數，或或為上的無理數，則根據題意有：①當時，則，，②當時，，；③當時，，；④當時，，綜上所述，一定成立.故選：B.【變式1】（2022秋·全國·高一期中）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：對于實數，符號表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如，，定義函數，則下列命題中正確的序號是________．①函數的最大值為；

②函數的最小值為；③函數的圖象與直線有無數個交點

④【答案】②③④【詳解】由題意得：，由解析式可得函數圖形如下圖所示，對于①，函數，①錯誤；對于②：函數的最小值為，②正確；對于③，函數的圖象與直線有無數個交點，③正確；對于④，函數滿足，④正確；故答案為：②③④題型17重點方法（換元法）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若，則＝________.【答案】且【詳解】令，則，因為，所以，又且，所以且，所以且，故答案為：且【典例2】（2023秋·四川成都·高一校考期末）已知，則______．【答案】，【詳解】令，其中，則，即故答案為：，．【變式2】（2023·高一課時練習）已知，則___________.【答案】【詳解】由題意得，設，則，所以，所以函數的解析式為.故答案為：.題型18重點方法（消去法）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若函數滿足，則（

）A．0 B．2 C．3 D．【答案】D【詳解】由，可得，聯(lián)立兩式可得，代入可得.故選：D.【典例2】（2023·高一課時練習）已知函數滿足，則__________.【答案】【詳解】∵，∴，聯(lián)立方程組，可得.故答案為：【變式1】．（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數的解析式為___________.【答案】【詳解】∵，①∴，②①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=﹣10x﹣2，∴故答案為：題型19數學思想方法（數形結合法）【典例1】（多選）（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知函數，關于函數的結論正確的是（

）A．的定義域為 B．的值域為C． D．若，則的值是【答案】BC【詳解】由分段函數解析式可知其定義域為，故A錯誤；當時，此時，在上單調遞增，則此時；當時，此時，對稱軸為，則，且，故此時，故值域為，作出如圖所示圖象，故B正確；，故C正確，當時，，；當時，，（舍去另一個負值），故若,則的值是或，故D錯誤；故選：BC.【典例2】（2023春·湖南長沙·高二湖南師大附中校考階段練習）已知定義在上的函數，下列結論正確的為（

）A．函數的值域為B．存在，使得不等式成立C．當時，函數的圖象與軸圍成的面積為，則D．當時，【答案】ACD【詳解】解：作出函數的圖象，具體如下：先作在的圖象，先進行分段即，作出其圖象，然后向右每次將橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜耐瑫r，縱坐標變?yōu)樵瓉淼模鐖D所示；（A）從圖象可知；函數的值域為；（B）結合的圖象，即知對于任意的都有，即，（C）顯然當時，函數的最高點為，與軸圍成的面積為，故成立；（D），，由圖易知D為正確.故選：ACD【變式1】（2023·全國·高三專題練習）對于實數，符號表示不超過的最大整數，例如，，定義函數，則函數的值域為________.【答案】【詳解】由題可得其部分圖象如下圖所以的值域為，故答案為：題型20易錯題（換元必換范圍）【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）若函數，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】令，則，所以，則，故C錯誤；，故A正確；，故B錯誤；（且），故D正確．故選：AD．【典例2】（2023秋·四川眉山·高一仁壽一中?？计谀┮阎?，則函數的解析式是（

）A． B．（且）C． D．【答案】B【詳解】解：由題知且，令，則（且），∴（且），∴（且）．故選：B．3.1.2函數的表示法A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的部分x與y的對應關系如下表：x－3－2－101234y32100－1－2－3則（）A．－1 B．－2C．－3 D．3【答案】D【詳解】由圖表可知，，所以．故選：D.2．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）設，則的值為（

）A．9 B．11 C．28 D．14【答案】B【詳解】.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習）一次函數滿足，且，則的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，設.∵，即，可得：.又∵即∴，∴的解析式為．故選：A．4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.5．（2023·全國·高三對口高考）已知函數的值域是，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對于A：當時，結合圖像，得，故A錯誤；對于B：當時，結合圖像，得，故B錯誤；對于C：當時，結合圖像，得，故C錯誤；對于D：當時，結合圖像，得，故D正確；故選：D．6．（2023·全國·高三對口高考）已知，并且m、n是方程的兩根，則實數a、b、m、n的大小關系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設，又，分別畫出這兩個函數的圖象，其中的圖象可看成是由的圖象向上平移1個單位得到，如圖，

由圖可知：．故選：A．7．（2023·全國·高一專題練習）設函數，若，則實數（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【詳解】由題可知：①，則②所以故選：C8．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖所示，在直角梯形中，，，，，點E由B沿折線向點D移動，，垂足為M，，垂足為N，設，矩形的面積為y，那么y與x的函數關系圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解析：∵，，∴，.當點E在上運動時，即當時，；當點E在上運動時，矩形即為矩形，此時，.所以y與x的函數關系為，知函數在上單調遞增，上單調遞減.在時取最大值，且圖像在部分為二次函數圖像一部分.經比較選項，B，C，D錯誤.A正確.故選：A二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）下列函數中，滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】解：對于A選項，，，，所以A正確；對于B選項，，滿足，所以B正確；對于C選項，，，，不滿足，所以C不正確；對于D選項，，，，所以D正確；故選：ABD.10．（2023·全國·高三專題練習）已知滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】，化簡得兩式相加得，解得故，A正確，B錯誤；又，則，C正確，D錯誤；故選：AC三、填空題11．（2023春·寧夏固原·高一?？茧A段練習）已知函數若，則實數的值為______.【答案】或【詳解】當時，，顯然滿足；當時，，或，而，所以，故答案為：或12．（2023秋·江蘇淮安·高一江蘇省淮安中學校考期末）已知函數，令，則不等式的解集是__________【答案】或【詳解】由題知，當時，即，解得：，此時，；當，即，解得：或，此時，；.由，得：或或，解得：或.故答案為：或.四、解答題13．（2023·全國·高三對口高考）已知函數（a，b為常數）且方程有兩個實根為．(1)求函數的解析式；(2)設，解關于x的不等式：．【答案】(1)(2)【詳解】（1）將代入，可得：，解得，則，因為，則，即符合題意，所以.（2）由（1）可得：，整理得，則，令，解得或或，且，可得或，所以不等式的解集為.14．（2023秋·河南周口·高一統(tǒng)考期末）隨著我國經濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢．某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場力，計劃改進技術生產某產品．已知生產該產品的年固定成本為300萬元，最大產能為100臺，每生產臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）；(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)年產量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元.【詳解】（1）當時，；當時，，.（2）若，，當時，萬元；若，，當且僅當時，即時，萬元．則該產品的年產量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元.B能力提升1．（2023·全國·高三對口高考）已知二次函數滿足，且的最大值是8，則此二次函數的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據題意,由得:的對稱軸為，設二次函數為，因的最大值是8,所以,當時,，即二次函數，由得:,解得：，則二次函數，故選：A.2．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考開學考試）設函數的定義域為，滿足，且當時，.則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當，，解得無實數解；當，，則由可得，令，整理得，解得解得，當，，則由可得，因為，所以，所以恒成立，綜上所述，不等式的解集是故選：A3．（2023·全國·高三專題練習）某校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每人推選一名代表，當班人數除以的余數大于時，再增選一名代表，則各班推選代表人數與該班人數之間的函數關系用取整函數（表示不大于的最大整數，如，）可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設班級人數的個位數字為，令，（），當時，，當時，，綜上，函數關系式為.故選：B.4．（2023秋·高一單元測試）水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液，已知每投放且個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度克/升隨著時間天變化的函數關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中營養(yǎng)液的濃度不低于克/升時，它才能有效．(1)若只投放一次4個單位的營養(yǎng)液，則有效時間最多可能持續(xù)幾天？(2)若先投放2個單位的營養(yǎng)液，6天后再投放個單位的營養(yǎng)液，要使接下來的4天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值．【答案】(1)6天(2)2【詳解】（1）因為一次投放4個單位的營養(yǎng)液，所以水中釋放的營養(yǎng)液濃度為，

．當時，，解得