第8講-二面角和面面垂直專題練習(xí)

第8講二面角和面面垂直專題練習(xí)（教師版）例1.如圖，在立體圖形中，若是的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）.（A）平面⊥平面（B）平面⊥平面（C）平面⊥平面，且平面⊥平面（D）平面⊥平面，且平面⊥平面分析：要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，就需固定其中一個(gè)平面，找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與第一個(gè)平面垂直.解：因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn)，所以同理有，于是平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?又由于平面,所以平面平面.所以選C.說(shuō)明：本題意圖是訓(xùn)練學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)低級(jí)位置關(guān)系以便得到高級(jí)位置關(guān)系.在某一個(gè)平面內(nèi),得到線線垂直的重要途徑是出現(xiàn)等腰三角形底邊的中線,由線線垂直得到線面垂直,由線面垂直可得到面面垂直.例2．如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面．求證．分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．．證明：在平面內(nèi)作，交于．因?yàn)槠矫嫫矫嬗冢矫?，且，所以．又因?yàn)槠矫?，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因?yàn)槠矫?，所以．說(shuō)明：在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過(guò)本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直．例3．如圖，是⊙的直徑，垂直于⊙所在的平面，是圓周上異于、的任意一點(diǎn)，求證：平面平面．分析：證明面面垂直的有兩個(gè)依據(jù)，一是證明二面角的平面角為直角，二是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理．由于點(diǎn)的任意性，用方法一的可能性不大，所以要尋求線面垂直．證明：因?yàn)槭恰训闹睆?，是圓周上的點(diǎn)，所以有①．因?yàn)槠矫?，平面，則②．由①②及，得平面．因?yàn)槠矫?，有平面平面．說(shuō)明：低一級(jí)的垂直關(guān)系是判定高一級(jí)垂直關(guān)系的依據(jù)，根據(jù)條件，由線線垂直線面垂直面面垂直．通過(guò)這個(gè)例題展示了空間直線與平面的位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)共同構(gòu)成了一個(gè)完整的知識(shí)體系．例4．如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大?。治觯菏紫雀鶕?jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過(guò)解三角形使問(wèn)題得解．解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線與平面所成的角，．再作，交于，連結(jié)，則為在平面內(nèi)的射影．由三垂線定理的逆定理，，為二面角的平面角．設(shè)，在中，,在△中，,是銳角，,即二面角等于．說(shuō)明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線．例5．如圖，將邊長(zhǎng)為的正三角形以它的高為折痕折成一個(gè)二面角．（１）指出這個(gè)二面角的面、棱、平面角；（２）若二面角是直二面角，求的長(zhǎng)；（３）求與平面所成的角；（４）若二面角的平面角為，求二面角的平面角的正切值．分析：根據(jù)問(wèn)題及圖形依次解決．解：（１）二面角的面為和面，棱為，二面角的平面角為．（２）若，．（３）平面，為與平面所成的角．在直角三角形中，，于是．（４）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，，為二面角的平面角．在直角三角形中，．說(shuō)明：這是一個(gè)折疊問(wèn)題，要不斷地將折疊前后的圖形加以比較，抓住折疊前后的變與不變量．例6正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)．求二面角的大?。治觯呵蠖娼顷P(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡(jiǎn)便，但因與其他條件沒(méi)有聯(lián)系，要求這個(gè)平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用．在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到垂直于平面，在平面上的射影就是．再過(guò)作的垂線，則面，過(guò)作的垂線，即為所求二面角的平面角了．解：過(guò)作及的垂線，垂足分別是、，連結(jié)．∵面，面，∴，又，∴面．又∵，∴，∴為所求二面角的平面角．∵∽，∴．而，，，∴．在中，．∵，∴．在中，，在中，，∴．例7在所在平面外有一點(diǎn)，已知，與底面所成角為，二面角的大小為，且．求二面角的大?。治觯河深}設(shè)易證，由已知得平面，顯然所求的二面角是直二面角，此時(shí)只需證明二面有的兩個(gè)面垂直即可．在解這種類型題時(shí)，如果去作二面角的平面角，那么可能會(huì)走彎路．解：如圖所示，作平面于，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)．∵平面，∴是與平面所成角，．∵平面，，∴，．∴是二面角的平面角，．∵，∴．又∵，∴平面，∴平面平面，∴二面角的大小為．說(shuō)明：二面角的平面角滿足三個(gè)條件：(1)頂點(diǎn)在棱上，(2)兩邊在面內(nèi)，(3)兩邊與棱垂直．應(yīng)注意不滿足第(3)條，不是二面角的平面角．在求二面角大小時(shí)，若其平面角不易作出時(shí)，則可考慮判定兩平面是否垂直，如果兩平面垂直，則其二面角為，反之亦然．例8為的二面角內(nèi)一點(diǎn)，到和的距離均為10，求點(diǎn)到棱的距離．分析：本題已知二面角的大小而求點(diǎn)到直線的距離，須做出二面角的平面角，然后將條件揉和在一起，便可解決問(wèn)題．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，設(shè)相交直線、確定的平面為，，則，連結(jié)，則∵，，∴，而平面，∴，∴的長(zhǎng)即為點(diǎn)到直線的距離．又∵，，∴是二面角的平面角，即．而四邊形為一圓內(nèi)接四邊形，且為該四邊形的外接圓直徑．∵四邊形的外接圓半徑等于由、、、中任意三點(diǎn)確定的三角形的外接圓半徑，因此求的長(zhǎng)可利用．在中，，，∴．由正弦定理：．說(shuō)明：(1)該題尋找的二面角的平面角，所采取的方法即為垂面法，由此可見(jiàn)，若題目可