第46講 數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題（微專題）（ 含答案解析 ） 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)學(xué)案 精講專研（新高考）

第46講數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題（微專題）題型選講題型一、分段函數(shù)的奇偶項(xiàng)求和例1、（深圳市羅湖區(qū)期末試題）已知數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【解析】【小問1詳解】，所以是常數(shù)列，即；【小問2詳解】由（1）知，是首項(xiàng)為2，公差為3等差數(shù)列，由題意得，，設(shè)數(shù)列，的前50項(xiàng)和分別為，，所以，，所以的前100項(xiàng)和為；綜上，，的前100項(xiàng)和為.變式1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是一個(gè)等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，由，則，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為，所以，因?yàn)椋ǔ?shù)），所以是一個(gè)等差數(shù)列．（2），所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和．變式2、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足的前n項(xiàng)和為．(1)求，，并判斷1024是數(shù)列中的第幾項(xiàng)；(2)求．【答案】(1)，；1024是數(shù)列的第342項(xiàng)(2)【詳解】（1）由可得，．令，解得：為偶數(shù)，不符合題意，舍去；令，解得：，符合題意．因此，1024是數(shù)列的第342項(xiàng)．（2）．另解：由題意得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．，又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．為數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列的前項(xiàng)和的總和．故.變式3、（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意,所以,因?yàn)?所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即,而,所以（2）方法一：由得方法二：因?yàn)樗宰兪?、（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知，數(shù)列{}滿足.(1)求數(shù)列{}與數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿足，n為偶數(shù)，求{}前2n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，即，，.，①，②所以①-②得，，.當(dāng)時(shí)，，符合..（2），依題有：.記，則.記，則.所以變式5、（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；綜上所述：.題型二、含有（?1）n例2、【2020年新課標(biāo)1卷文科】數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則_____________【答案】【解析】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案為：.變式1、（2021·山東濟(jì)寧市·高三二模）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足是、的等差中項(xiàng)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槭?、的等差中?xiàng)，所以，即，因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以．因?yàn)?，即，解得，所以；?）解法一：（分奇偶、并項(xiàng)求和）由（1）可知，，所以，，①若為偶數(shù)，；②若為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，綜上得（或，）；解法二：（錯(cuò)位相減法）由（1）可知，，所以，，，所以所以，所以，變式2、【2022·廣東省深圳市福田中學(xué)10月月考】已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）設(shè)，求{bn}前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，列方程即可求得首項(xiàng)和公差，再利用公式求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和即可；（2）根據(jù)（1）中所求即可求得，對(duì)分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】（1）由得.又因?yàn)?，所以，則，解得；故，.（2）.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：.綜上得題型三、an+例3、（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求，并證明是等差數(shù)列；(2)求．【解析】（1）已知，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以．因?yàn)棰?，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常?shù)），，所以是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，，．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，變式1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.(1)，，∴，又，，（為正整數(shù)）時(shí)，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列,∴，，（為正整數(shù)）時(shí)，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.∴，∴，∴，∵，∴時(shí)，，∴，又，∴時(shí)，，，∴；(2)由（1）得，設(shè)①則②①②得，，∴變式2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.(1)