2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)全稱命題的否定理解判斷.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】解對數(shù)不等式求出集合A，再求出指數(shù)函數(shù)的值域即可求出集合B，進而根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因為，即，所以，而由于，則，即所以.故選：B.3．下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若則C．若，，則 D．若，則【正確答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合特例法逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時，顯然不成立，因此本選項說法不正確；B：，而，所以有，因此本選項說法不正確；C：當(dāng)時，顯然滿足，，但是不成立，因此本選項說法不正確；D：由，而，所以，即，因此本選項說法正確，故選：D4．已知角終邊上一點，則（

）A．2 B．-2 C．0 D．【正確答案】B【分析】通過坐標(biāo)點得出角的正切值，化簡式子，即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意，角終邊上一點，∴∴，故選：B.5．函數(shù)的圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)為偶函數(shù)，可排除CD，然后根據(jù)時的函數(shù)值可排除B.【詳解】因為，定義域為R，又，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故排除CD，又當(dāng)時，，，故排除B.故選：A.6．若正數(shù)、滿足，若不等式的恒成立，則的最大值等于（

）A．4 B． C． D．8【正確答案】A【分析】由已知得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出實數(shù)的最大值.【詳解】已知正數(shù)、滿足，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為，.因此，實數(shù)的最大值為.故選：A.7．已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個最值點和4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，由第4個正零點小于等于1，第4個正最值點大于1可解.【詳解】，因為，所以，又因為函數(shù)在內(nèi)恰有個最值點和4個零點，由圖像得：，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B8．已知定義在R上的函數(shù)對于任意的x都滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)至少有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】函數(shù)的根轉(zhuǎn)化為兩個新函數(shù)圖像的焦點問題，再對對數(shù)函數(shù)的進行分類討論即可.【詳解】由知是周期為2的周期函數(shù)，函數(shù)至少有6個零點等價于函數(shù)與的圖象至少有6個交點，①當(dāng)時,畫出函數(shù)與的圖象如下圖所示,根據(jù)圖象可得,即.②當(dāng)時,畫出函數(shù)與的圖象如下圖所示,根據(jù)圖象可得,即.綜上所述,的取值范圍是.故選：A二、多選題9．下列說法中，正確的是（

）A．集合和表示同一個集合B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．若，，則用，表示D．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，【正確答案】BC【分析】對于A，根據(jù)集合的定義即可判斷；對于B，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于C，利用對數(shù)的換底公式及運算性質(zhì)即可判斷；對于D，利用函數(shù)的奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式即可判斷.【詳解】對于A，集合中元素為數(shù)，集合為點，可知表示的不是同一個集合，所以A選項錯誤；對于B，根據(jù)解得函數(shù)的定義域為，令則，為二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，所以B選項正確；對于C，因為，，根據(jù)對數(shù)的換底公式可得，所以C選項正確；對于D，因為當(dāng)時，，可令，則，所以，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，與題干結(jié)果不符，所以D選項錯誤.故選：BC.10．下列說法不正確的是(

)A．函數(shù)的零點是和B．正實數(shù)a，b滿足，則不等式的最小值為C．函數(shù)的最小值為2D．的一個必要不充分條件是【正確答案】ACD【分析】A：求出函數(shù)的零點即可判斷；B：利用和基本不等式即可判斷求解；C：令，利用換元法和基本不等式即可判斷；D：判斷從是否可得，結(jié)合充分條件和必要條件的概念即可判斷．【詳解】對于選項A：或，則函數(shù)的零點是或，故A錯誤；對于選項B：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為，故B正確；對于選項C：令，則，則函數(shù)化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∵t≥2，故等號不成立，即，故C錯誤；對于選項D：若，則，即是的充分條件，故D錯誤．故選：ACD．11．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．要想得到的圖象，只需將的圖象向左平移個單位C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是【正確答案】AC【分析】由圖得、，點在圖象上求得及的解析式可判斷A；根據(jù)圖象平移規(guī)律可判斷B；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)的范圍求得可判斷D.【詳解】由圖得，所以，，所以，因為點在圖象上，所以，，因為，所以，可得，故A正確；對于B，將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，故B錯誤；對于C，由得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，故D錯誤.故選：AC.12．已知函數(shù)若方程有三個不同的解，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【正確答案】BC【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象以及對數(shù)運算確定正確答案.【詳解】由題意可知，，作出的圖象，如圖所示：因為方程有三個不同的解，由圖可知，故D錯誤；且，，所以，故A錯誤，B正確；所以，故C正確；故選：BC關(guān)于形如、等函數(shù)圖象的畫法，可結(jié)合絕對值的意義、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性進行作圖，作圖過程中要注意曲線“彎曲”的方向，也要注意函數(shù)定義域的影響.三、填空題13．函數(shù)的最小正周期，則__________.【正確答案】±2【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式求解.【詳解】因為，所以，解得，故答案為.14．函數(shù)的值域為______.【正確答案】【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】令，則，可得：，∵函數(shù)的對稱軸為，∴當(dāng)時，函數(shù)取到最大值，即函數(shù)的最大值為，故函數(shù)的值域為.故答案為.15．已知，，且，，則的值是___________.【正確答案】【分析】由平方關(guān)系求得，，再求出即可得解.【詳解】解：因為，，且，，所以，，且，則，所以.故答案為.16．若函數(shù)與對于任意，都有，則稱函數(shù)與是區(qū)間上的“階依附函數(shù)”．已知函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由題意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，設(shè)，研究的最小值即可．【詳解】因為函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，所以在上恒成立，又在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，即在上恒成立，，令，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以．故．四、解答題17．已知函數(shù)的定義域為A，的值域為B.(1)求A和B；(2)若，求的最大值.【正確答案】(1)A為，B為(2)3【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得到滿足，即可求解函數(shù)的定義域A；根據(jù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，即可求出值域B.（2）由（1）可知，根據(jù)集合間的包含關(guān)系可求出參數(shù)a的范圍，則可得出的最大值.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為，而函數(shù)在R上是增函數(shù)，，，所以函數(shù)的值域為，故定義域A為，值域B為.（2）解：由（1）可知，若，則，解得，所以的最大值為3，此時滿足，故最大值為3.18．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱．(1)求，m的值；(2)將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）由二倍角公式降冪后，由余弦函數(shù)的對稱性可求得值；（2）由圖象變換得出的表達式，再由余弦函數(shù)值域得結(jié)論．【詳解】（1），依題意可得，，，則，．（2）由（1）知，則．當(dāng)時，，則，故在上的值域為．19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義加以證明；(2)求使成立的實數(shù)的取值范圍．【正確答案】(1)在上是增函數(shù)，證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)利用求出，再驗證即可，由函數(shù)單調(diào)性定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組求解即可.【詳解】（1）定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，當(dāng)時，，滿足，故滿足題意.在上是增函數(shù),證明如下：設(shè)且，則；因為且，所以，所以，所以，所以在上是增函數(shù)；（2）由，得由（1）知在上是增函數(shù)，所以，即，解得．所以實數(shù)的取值范圍是．20．如圖，風(fēng)景區(qū)的形狀是如圖所示的扇形OAB區(qū)域，其半徑為4千米，圓心角為60°，點C在弧AB上．現(xiàn)在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道DE、CD、CE，要求街道DC與OA平行，交OB于點D，街道DE與OA垂直（垂足E在OA上）．(1)如果弧BC的長為弧CA長的三分之一，求三條商業(yè)街道圍成的△CDE的面積；(2)試求街道CE長度的最小值．【正確答案】(1)平方千米(2)千米【分析】（1）結(jié)合已知角及線段長，利用三角形的面積公式可求；（2）由已知結(jié)合解三角形的知識，利用三角函數(shù)恒等變換可表示，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求．【詳解】（1）如下圖，連接，過作，垂足為．當(dāng)弧的長為弧長的三分之一時，，在中，，，故，．在中，，，所以，則，所以，可得的面積（平方千米）；（2）設(shè)，則，，，又，則，所以．在直角三角形中，，其中．因為，所以，又，所以當(dāng)時，有最小值為，即．綜上，街道長度的最小值為千米．21．用打點滴的方式治療“新冠”病患時，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度，單位：）隨時間（單位：小時）變化的函數(shù)符合，其函數(shù)圖象如圖所示，其中為藥物進入人體時的速率，k是藥物的分解或排泄速率與當(dāng)前濃度的比值.此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在到之間，當(dāng)達到上限濃度時（即濃度達到時），必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數(shù)符合，其中c為停藥時的人體血藥濃度.(1)求出函數(shù)的解析式；(2)一病患開始注射后，最多隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時間開始進行第二次注射？（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】(1)(2)從開始注射后，最多隔16小時停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時后開始進行第二次注射【分析】（1）根據(jù)圖象可知，兩個點，在函數(shù)圖象上，代入后求解參數(shù)，求；（2）由（1）求中的范圍；求得后，再求中的范圍．【詳解】（1）解：由圖象可知點在函數(shù)圖象上，則兩式相除得，解得：，∴函數(shù).（2）解：由，得，解得，，∴從開始注射后，最多隔16小時停止注射；由題意可知，又，∴，由，得，即，所以解得：，∴為保證治療效果，最多再隔7.7小時后開始進行第二次注射.22．設(shè)函數(shù)的定義域為D，若存在，使得成立，則稱為的一個“不動點”，也稱在定義域D上存在不動點.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若，都有成立，求實數(shù)a的取值范圍.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分離參數(shù)即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求出的最值，令，，可得恒成立，分離參數(shù)求解即可.【詳解】（1）由題意知，即在[0，1]上有解，令，，則，則在[1,2]上有解，則，當(dāng)時，在遞減，在遞增，則則，即，故實數(shù)a的取值范圍為.（2），即，則又在[－1,0]上是減函數(shù)，則，∴，令，，則，，則又在上遞增，則，又∴，∴，∴實數(shù)a的取值范圍為.方法點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則的子集的個數(shù)是（）A.15 B.8 C.7 D.162.已知，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.給出定義：能夠?qū)⒁宰鴺?biāo)原點為圓心的圓的周長和面積同時平分的函數(shù)，稱為此圓的“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)中一定是“優(yōu)美函數(shù)的為（）A. B. C. D.4.己知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.5.下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.7.若，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.8.函數(shù)，若、、互不相等，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：（本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10.下列各式中，值為的是（）A. B.C. D.11.設(shè)函數(shù)，則下列敘述正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上的最小值為 D.的圖象關(guān)于點對稱12.已知函數(shù)對都有，且函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.是上的奇函數(shù) D.函數(shù)有6個零點三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）13.函數(shù)的圖像恒過定點，且點在冪函數(shù)的圖像上，則______.14.若正實數(shù)、，滿足，則的最小值為______.15.已知，則______.16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足.（1）若，則函數(shù)的最小正周期為______.（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為______.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)）17.（本小題滿分10分）計算：（1）；（2）18.（本小題滿分12分）已知全集，集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求的取值范圍.19.（本小題滿分12分）已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)增區(qū)間及對稱中心；（2）求函數(shù)在上的值域.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）若存在，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.22.（本小題滿分12分）函數(shù)，，記，且為偶函數(shù).（1）求常數(shù)的值；（2）若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)與的圖象看只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.答案解析123456789101112DDBCCADDCDABCABDACD8.【正確答案】D【詳解】函數(shù)的圖像如圖所示：設(shè)，由函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合可知：，，∴，∴.9.【正確答案】CD10.【正確答案】ABC【詳解】對于A，，故A正確對于B，，故B正確：對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；11.【正確答案】ABD【詳解】∵，∴，又，∴，∴；對于A，的最小正周期，A正確；對于B，B代入可知正確；對于C，當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，此時，∴的圖象關(guān)于點對稱，D正確.12.【正確答案】ACD【詳解】對都有，則，即函數(shù)是周期函數(shù).周期為4.當(dāng)時，，即函數(shù)在上遞增，在上單調(diào)遞增，而，因此在上遞增，由得：，則的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上遞減，對于A，，A正確；對于B，因函數(shù)在上遞增，函數(shù)的周期為4，則在上遞增，B錯誤；對于C，函數(shù)的圖像向左平移1個單位得函數(shù)的圖象，又函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即函數(shù)是上的奇函數(shù)，C正確：對于D，函數(shù)的零點，即函數(shù)與圖象交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，如圖，因函數(shù)的最大值為1，而當(dāng)時，，因此函數(shù)與圖象的交點在內(nèi)，觀察圖象知，函數(shù)與圖象在內(nèi)只有6個交點，所以函數(shù)有6個零點，D正確.13.【正確答案】64 14.【正確答案】2 15.【正確答案】016.【正確答案】（本小題第一空2分，第二空3分）【詳解】解：由題知∵，∴對稱中心為，代入可得，，①∵在區(qū)間上單調(diào)，且對稱中心為，又∵，∴在區(qū)間上單調(diào).∴即，即，∴.（1）∵，∴關(guān)于對稱，代入可得，，②①－②可得，，即，，∵，∴.∴；（2）∵對稱中心為，∴，∵在區(qū)