天津市部分區(qū)2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

天津市部分區(qū)2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.2．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面3．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離4．將一枚均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)兩次點數(shù)為3的概率為（）A. B.C. D.5．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.6．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.7．對任意實數(shù)k，直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關(guān)8．已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.9．拋物線C：的焦點為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點，若存在點Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.10．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則以的最小值為（）A B.C. D.11．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.12．若直線l的傾斜角是鈍角，則l的方程可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，定點，若直線與拋物線相交于、兩點（點在、中間），且與拋物線的準線交于點，若，則的長為______.14．圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面中心，為的中點，動點在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若，則點形成的軌跡的長度為______15．設(shè)a為實數(shù)，若直線與直線平行，則a值為______.16．若函數(shù)在處取得極小值，則a=__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的最大值及相應(yīng)的的值.18．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.19．（12分）已知，2，4，6中的三個數(shù)為等差數(shù)列的前三項，且100不在數(shù)列中，102在數(shù)列中.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合（1）求橢圓的離心率；（2）求拋物線的方程；（3）設(shè)是拋物線上一點，且，求點的坐標22．（10分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)的前項和，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A2、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D3、C【解析】將圓的一般方程化為標準方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標準方程為，圓的標準方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.4、D【解析】利用次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率計算公式直接求解.【詳解】解：將一枚均勻的篩子先后拋擲3次，每次出現(xiàn)點數(shù)為3的概率都是至少出現(xiàn)兩次點數(shù)為3的概率為：故選：D5、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）6、C【解析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.7、A【解析】判斷直線恒過定點，可知定點在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由可知，即該圓的圓心坐標為，半徑為,由可知，則該直線恒過定點，將點代入圓的方程可得，則點在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：.8、D【解析】由題意動圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動點M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點M的軌跡是以C（0，-3）為焦點，直線y=3為準線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點：軌跡方程9、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A10、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為3，易知，當三點共線時，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題11、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D12、A【解析】根據(jù)直線方程，求得直線斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】若直線的傾斜角為，則，當時，為鈍角，當，，當，為銳角；當不存在時，傾斜角為，對A：，顯然傾斜角為鈍角；對B：，傾斜角為銳角；對C：，傾斜角為銳角；對D：不存在，此時傾斜角為直角.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別過點、作、垂直于拋物線的準線于、，則，求出直線的方程，可求得拋物線的焦點的坐標，可得出拋物線的標準方程，再將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點的縱坐標，利用拋物線的定義可求得線段的長.【詳解】如圖，分別過點、作、垂直于拋物線的準線于、，則，由得，所以，，又，所以，直線的方程為，所以，，則，則拋物線的方程為，設(shè)點的縱坐標為，由，得或，因為點在、之間，則，所以，.故答案為：.14、【解析】建立空間直角坐標系設(shè)，，，，于是，，因為，所以，從而，，此為點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為15、【解析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.16、2【解析】對函數(shù)求導，根據(jù)極值點得到或，討論的不同取值，利用導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，驗證極值點，即可得解.【詳解】由可得，因為函數(shù)在處取得極小值，所以，解得或，若，則，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意；當時，，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；綜上：.故答案為：2.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)極值點求參數(shù)時，一般需要先對函數(shù)求導，根據(jù)極值點求出參數(shù)，再驗證所求參數(shù)是否符合題意即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當或時，有最大值是20【解析】（1）用等差數(shù)列的通項公式即可.（2）用等差數(shù)列的求和公式即可.【小問1詳解】在等差數(shù)列中，∵,∴，解得，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴當或時，有最大值是2018、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設(shè)點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設(shè)點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點和圓的位置關(guān)系19、（1）（2）【解析】（1）確定數(shù)列為遞增數(shù)列，然后由4個數(shù)確定等差數(shù)列，得通項公式，驗證100和102是否為數(shù)列中的項得結(jié)論；（2）由裂項相消法求和【小問1詳解】首先數(shù)列是遞增數(shù)列，當2，4，6為的前三項時，易知此時，100，102都是該數(shù)列中的項，不滿足題意當，2，6為的前三項時，易知此時，100不是該數(shù)列中的項，102是該數(shù)列中的項，滿足題意所以【小問2詳解】因為所以所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）將條件化為基本量并解出，進而求得答案；（2）通過裂項法即可求出答案.【小問1詳解】由，.得：解得：故.【小問2詳解】當時，.所以時，.21、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由橢圓方程即可求出離心率.（2）求出橢圓的焦點即為拋物線的焦點，即可求出答案.（3）由拋物線定義可求出點的坐標【小問1詳解】由題意可知，.【小問2詳解】橢圓的右焦點為，故拋物線的焦點為.拋物線的方程為.【小問3詳解】設(shè)的坐標為，，解得，.