一元一次方程模型

4.1一元一次方程模型

上圖中，如果足球有12個(gè)黒塊，你能求出有幾個(gè)白塊嗎？學(xué)了第4章

一元一次方程這個(gè)問(wèn)題就能迎刃而解了。在這一章中，我們主要學(xué)習(xí)一元一次方程的概念、算法、應(yīng)用。二主題講解

主題一、方程的有關(guān)概念

想一想：

（1）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的電視機(jī)包裝盒，它的底面寬為1米，長(zhǎng)為1.2米，且包裝盒的表面積為6.8平方米，你能求出這個(gè)電視機(jī)包裝盒的高嗎？

【分析】從圖中可以看出，這個(gè)電視機(jī)包裝盒的表面是由6個(gè)長(zhǎng)方形紙板圍成的，所以它的表面積是這6個(gè)長(zhǎng)方形面積的和?！舅伎肌?、如果設(shè)包裝盒的高為ｘm，你能用一個(gè)代數(shù)式表示這6個(gè)長(zhǎng)方形

面積的和嗎？

【答】這6個(gè)長(zhǎng)方形面積的和為：（2x+2.4x+2.4）m2．2、已知這個(gè)包裝盒的表面積為６．８m2，因此，根據(jù)題意，可以得出什么結(jié)論？【答】2x+2.4x+2.4=6.8x歸納：

1、已知數(shù)與未知數(shù)：

等式2x+2.4x+2.4=6.8中，2,2.4,6.8叫已知數(shù)．

．

2、方程：

等式2x+2.4x+2.4=6.8中,字母x表示的數(shù)，在解決這個(gè)問(wèn)題之前還不知道，把它叫作未知數(shù)．

我們把含有未知數(shù)的等式叫作方程（ｅｑｕａｔｉｏｎ）．如:4x+(x+4)=8,x+5=8,，x-2y=6，32x-y2=120中，ｘ，ｙ都是未知數(shù)，這些等式都是方程.3、建立方程：

先把所要求的量用字母ｘ（或ｙ等）表示，然后根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出含有所要求的量的等式，這叫作建立方程．

【觀察】方程：2x+2.4x+2.4=6.8，4x+(x+4)=8,x+5=8,共同的特點(diǎn)是什么？【答】這些方程都只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1.4、像方程2x+2.4x+2.4=6.8，4x+(x+4)=8,x+5=8，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)（即指數(shù)）是１，我們把這樣的方程叫作一元一次方程（linearequationwithoneunknown）．【思考】

x=3,x=5時(shí)，方程x+5=8的左邊和右邊相等嗎？

【答】當(dāng)x=3時(shí)，方程的左邊x+5=3+5=8,右邊=8，左邊=右邊。當(dāng)x=5時(shí)，方程的左邊x+5=5+5=10,右邊=10,左邊≠右邊。5、能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作方程的解(solutionofequation)求方程的解的過(guò)程叫作解方程（tosolveequation）【例1】下面作法是否正確？如果不正確指出錯(cuò)誤原因。

已知

是一元一次方程，則m=_____【解】由一元一次方程的定義，得：

，所以，m=1或-1.【答】不正確，【錯(cuò)因分析】因?yàn)楫?dāng)m=1時(shí)，方程就是：

，這不是方程，是錯(cuò)誤的式子?！军c(diǎn)評(píng)】axm+b=0是一元一次方程的條件是a≠0,m=1【變式練習(xí)】

（2011重慶江津）已知3是關(guān)于x的方程2x－a=1的解,則a的值是()

A.－5B.5C.7D.2

【分析】把方程中的未知數(shù)用方程的解代替，方程的左右兩邊相等?！窘狻恳?yàn)?是方程2x－a=1的解，所以，2×3-a=1,6-a=1.a=5.選B·【點(diǎn)評(píng)】把方程中未知數(shù)用方程的解代替，方程左右兩邊的值相等。B主題二、怎樣檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是方程的解？

【例1】檢驗(yàn)下列各數(shù)是不是方程x-3=2x-8的解：

（１）x=5；（２）x=-2.

【解】（１）把ｘ＝５代入方程左右兩邊，左邊＝5-3=2，右邊＝2×5-8=2，左邊＝右邊所以x=5是方程x-3=2x-8的解．（２）把x=-2代入方程左右兩邊，左邊＝-2-3=-5,右邊＝2×(-2)-8=-12,左邊≠右邊所以,x=-2不是方程x-3=2x-8的解．【點(diǎn)評(píng)】把一個(gè)數(shù)代入方程的左邊和右邊，如果左邊=右邊，那么這個(gè)數(shù)就是方程的解，否則不是方程的解。【變式練習(xí)】

1、下面作法是否正確？如果不正確指出錯(cuò)誤原因

檢驗(yàn)-2是不是方程2x-2=3(x-1)的解

【解】把x=-2代入方程的左邊和右邊，2×-2-2=3（-2-1）

-6≠-9，所以x=-2不是方程2x-2=3(x-1)的解

【答】上面做法不正確?！惧e(cuò)因分析】有兩個(gè)錯(cuò)誤，一是把x換成-2,2與-2相乘要把-2加括號(hào)；二是在檢驗(yàn)方程之前，還不知道-2能否使方程的左邊等于右邊，所以不能用等號(hào)連接左右兩邊。2、檢驗(yàn)下列各數(shù)是不是方程2x-1=5的解．

（１）x=3；（２）x=-4.

【解】（1）把x=3代入方程的左右兩邊，左邊=2×3-1=5，右邊=5，左邊=右邊所以，x=3是方程2x-1=5的解。（2）把x=-4代入方程的左邊和右邊左邊=2×（-4）-1=-9，右邊=5，左邊≠右邊所以x=-4不是方程2x-1=5的解主題三、建立方程

【例2】（2011安徽）江南生態(tài)食品加工廠收購(gòu)了一批質(zhì)量為10000千克的某種山貨，根據(jù)市場(chǎng)需求對(duì)其進(jìn)行粗加工和精加工處理，已知精加工的該種山貨質(zhì)量比粗加工的質(zhì)量3倍還多2000千克，求粗加工的該種山貨質(zhì)量．設(shè)粗加工的該種山貨質(zhì)量為xkg，根據(jù)題意，得：_________________【分析】因?yàn)榫庸さ脑摲N山貨質(zhì)量比粗加工的質(zhì)量3倍還多2000千克,所以設(shè)粗加工該種山貨的質(zhì)量為xkg時(shí)，精加工該種山貨的質(zhì)量為(3x+2000)kg,根據(jù)精加工的質(zhì)量與粗加工的質(zhì)量之和等于總質(zhì)量10000.可以建立方程【解】：x+（3x+2000）=10000.x+（3x+2000）=10000.

【點(diǎn)評(píng)】

建立方程時(shí)，一定要讀懂題意，找到等量關(guān)系，然后把等量關(guān)系中的各個(gè)量用未知數(shù)表示出來(lái)。

【變式練習(xí)】

(2011浙江臺(tái)州）畢業(yè)在即，九年級(jí)某班為紀(jì)念師生情誼，班委決定花800元班會(huì)費(fèi)買兩種不同單價(jià)的留念冊(cè)，分別給50位同學(xué)和10位任課老師每人一本留做紀(jì)念。其中送給任課老師的留念冊(cè)的單價(jià)比給同學(xué)的單價(jià)多8元。請(qǐng)問(wèn)這兩種不同留念冊(cè)的單價(jià)分別為多少元？設(shè)送給老師的紀(jì)念冊(cè)單價(jià)為x元，依題意，得方程___________

【解】：設(shè)送給任課老師的留念冊(cè)的單價(jià)為x元，根據(jù)題意，得：10x+50(x-8)=800【分析】設(shè)送給任課老師的留念冊(cè)的單價(jià)為x元，則送給同學(xué)的的留念冊(cè)的單價(jià)為（x-8）元，送給10位老師的留念冊(cè)的錢+送給50位同學(xué)的留念冊(cè)的錢=800

三、課堂練習(xí)

1、下列各式中是一元一次方程的是（

）

A2x-y=7,B6x-2=10,

C3x-5Dx2+1=5

【解】選B，A中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，C中，不是等式，不是方程。D中x的指數(shù)不是1.不是一元一次方程。B2、（2010懷化）已知關(guān)于x的方程3x-2m=4的解是x=m,則m=_____.【解】把方程中的x換成m,則:3m-2m=4,m=4.43、x=是下列哪個(gè)方程的解：

①3x+6=7,②6x-1=3,③2x-1=-4x

【解】當(dāng)x=時(shí)，方程①左邊=3×+6=8,右邊=7，左邊≠右邊，所以x=不是方程①的解。方程②中左邊=6×-1=3，右邊=3，左邊=右邊，所以x=是方程②的解。方程③中左邊=2×-1=，右邊=-4×=，左邊≠右邊，所以x=不是方程③的解。4、建立下列各問(wèn)題中的方程：

(1)（2011湖南湘潭市）湘潭歷史悠久，因盛產(chǎn)湘蓮，被譽(yù)為“蓮城”.李紅買了8個(gè)蓮蓬，付50元，找回38元，設(shè)每個(gè)蓮蓬的價(jià)格為x元，根據(jù)題意，列出方程為_(kāi)_____________.

【分析】利用蓮蓬的總價(jià)為50-38=12元建立方程。【解】50-8x=38（2）設(shè)某種籃球單價(jià)為x元，打八折后每個(gè)籃球售價(jià)為29.9元，可以列出方程為_(kāi)__________________.

（3）排球場(chǎng)的長(zhǎng)比寬多9m，其周長(zhǎng)為54m，設(shè)寬為xm,可以列出方程為_(kāi)______________.0.8x=29.92(x+x+9)=54小結(jié)這一節(jié)課你有什么收獲？1、方程的有關(guān)的幾個(gè)概念（1）含有未知數(shù)的等式叫作方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)（即指數(shù)）是１，我們把這樣的方程叫作一元一次方程（3