函數(shù)的最值與導數(shù)

1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)高二數(shù)學選修2-2

第一章導數(shù)及其應用1．函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值設函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]上一定能取得

，函數(shù)的

必在

或

取得．但在開區(qū)間(a，b)內可導的函數(shù)f(x)

有最大值與最小值．2．求可導函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟：(1)求f(x)在開區(qū)間(a，b)內的

；(2)計算函數(shù)f(x)在各

和

處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中

的一個為最大值，

的一個為最小值．最值極值點不一定極值極值點端點最大最小最大值與最小值區(qū)間端點復習回顧：

例1已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①函數(shù)f(x)＝x2(x－a)中含有參數(shù)a；②在a確定的情況下，求切線方程；③在a不確定的情況下求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值．解答本題可先對函數(shù)求導，然后根據(jù)a的不同取值范圍，討論確定f(x)在[0,2]上的最大值．例題分析[解析]

(1)f′(x)＝3x2－2ax.因為f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又當a＝0時，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為3x－y－2＝0.例題分析例題分析已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間．(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．[解析]

(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x－3)(x＋1)，令f′(x)<0，則－3(x－3)(x＋1)<0，解得x<－1或x>3.∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．變式1(2)令f′(x)＝0，∵x∈[－2,2]，∴x＝－1.當－2＜x＜－1時，f′(x)＜0；當－1＜x＜2時，f′(x)＞0.∴x＝－1是函數(shù)f(x)的極小值點，該極小值也就是函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最小值，即f(x)min＝f(－1)＝a－5.又函數(shù)f(x)的區(qū)間端點值為f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.變式1∵a＋22＞a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.此時f(x)min＝a－5＝－7.變式1例2已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，問是否存在實數(shù)a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值為3，最小值為－29；②根據(jù)最大值、最小值確定a，b的值．解答本題可先對f(x)求導，確定f(x)在[－1,2]上的單調性及最值，再建立方程從而求得a，b的值．例題分析[解析]

存在．顯然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．(1)當a>0時，x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)

b

例題分析所以當x＝0時，f(x)取最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)>f(2)，所以當x＝2時，f(x)取最小值，即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.例題分析(2)當a<0時，x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：所以當x＝0時，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，f(2)>f(－1)，所以當x＝2時，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，所以a＝－2.綜上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)

b

例題分析[點評]已知函數(shù)的最值求解待定系數(shù)的取值或參數(shù)的取值范圍是函數(shù)最值應用的常見題型之一，由于參數(shù)會對函數(shù)的最值的取到點有影響，所以解決這類問題常需要分類討論，并結合不等式的知識進行求解．設函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)為奇函數(shù)，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導函數(shù)f′(x)的最小值為－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．變式2[解析]

(1)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值為－12，又∵a>0，∴b＝－12.因此f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2，故a＝2，b＝－12，c＝0.(2)f(x)＝2x3－12x，變式2變式2變式2練．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為 (

)A．－37

B．－29C．－5 D．－11[答案]

A[解析]

f′(x)＝6x2－12x＝6(x2－2x)＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m.∴f(0)>f(2)>f(－2)∴m＝3，最小值為f(－2)＝－37，故應選A.課堂練習已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函數(shù)f(x)的極值，并畫出其圖象(草圖)；(2)當a為何值時，方程f(x)＝0恰好有兩個實數(shù)根？解：(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.當x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0；當x∈(－1,1)時，f′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0.變式3所以函數(shù)f(x)的極小值為f(－1)＝a－2；極大值為f(1)＝a＋2.由單調性、極值可畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示．變式3(2)結合圖象，當極大值a＋2＝0時，有極小值小于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點，即方程f(x)＝0恰有兩個實數(shù)根，所以a＝－2滿足條件；當極小值a－2＝0時，有極大值大于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點，即方程f(x)＝0恰好有兩個實數(shù)根，所以a＝2滿足條件．綜上，當a＝±2時，方程恰有兩個實數(shù)根．變式3導函數(shù)的應用1。證明不等式2。求最值.求函數(shù)的最大值。3．已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1處有極大值4，極小值0，試確定a、b、c的值。4、已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值。(1)討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(2)過點A(0,16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。1.已知x<2，證明不等式(x3)-6x2+12x-1<7;2.P108，13.求函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x2，在[0,2]上的最大值和最小值。1.求在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導的函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(