lei方向?qū)?shù)與梯度課件

一、方向?qū)?shù)則稱為函數(shù)在點(diǎn)P處沿方向l

的方向?qū)?shù).定義

若函數(shù)沿方向l(方向角為在點(diǎn)

處)存在下列極限:01十月20231目錄上頁(yè)下頁(yè)返回記作證明:由函數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)存在,且有01十月20232目錄上頁(yè)下頁(yè)返回在點(diǎn)

P可微

,

得故定理對(duì)于二元函數(shù)為α,β

)的方向?qū)?shù)為特別:當(dāng)l與x軸同向當(dāng)l與x軸反向向角01十月20233目錄上頁(yè)下頁(yè)返回解:01十月20234目錄上頁(yè)下頁(yè)返回解:01十月20235目錄上頁(yè)下頁(yè)返回二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f

變化率最大的方向模:

f

的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：01十月20236目錄上頁(yè)下頁(yè)返回即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P處的梯度(gradient),在點(diǎn)處的梯度說明:

函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.01十月20237目錄上頁(yè)下頁(yè)返回向量定義記作解:解:01十月20238目錄上頁(yè)下頁(yè)返回01十月20239目錄上頁(yè)下頁(yè)返回內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為01十月202310目錄上頁(yè)下頁(yè)返回2.梯度三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?3.關(guān)系可微方向?qū)?shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)存在梯度在方向l上的投影.01十月202311目錄上頁(yè)下頁(yè)返回作業(yè)01十月202312目錄上頁(yè)下頁(yè)返回習(xí)

題

7-7P1084;

7;思考練習(xí)設(shè)函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)M

(1,

1,

1)處沿曲線在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);求函數(shù)在M(1,

1,

1)處的梯度與(1)中切線方向的夾角θ

.01十月202313目錄上頁(yè)下頁(yè)返回曲線1.(1)在點(diǎn)函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量01十月202314目錄上頁(yè)下頁(yè)返回解答提示:01十月202315目錄上頁(yè)下頁(yè)返回提示:

則2.函數(shù)

在點(diǎn)A(

1

,

0

,

1)

處沿點(diǎn)A指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.

(96考研)01十月202316目錄上頁(yè)下頁(yè)返回在點(diǎn)處的梯度解:則注意