初中數(shù)學(xué)思維 一題多變、一題多問、一題多解

一圖多變、一題多問、一題多解、一一聚多目錄1一圖多變2一題多問3一題多解4一一聚多1一圖多變?nèi)鐖D1,a、b、c是△ABC的三邊,∠C=90°，下面我們對(duì)直角三角形進(jìn)行一題多問與一圖多變,欣賞直角三角形的迷人風(fēng)采,享受直角三角形的變化給我們帶來的無限樂趣.一圖多變圖1A.開發(fā)原題探索結(jié)論請(qǐng)大家結(jié)合圖形和提示的要求,探索說出圖中的一些重要的結(jié)論:1.考查三角形的內(nèi)角和定理得________________2.考查直角三角形的兩個(gè)銳角之間的關(guān)系得_____________3.考查三角形的三邊之間的關(guān)系得(不包括勾股定理)__________________________4.考查垂線段最短得___________5.考查銳角A的三角形函數(shù)得___________________________..

A.開發(fā)原題探索結(jié)論6.考查銳角B的三角形函數(shù)得______________________.7.考查互為余角之間的三角函數(shù)關(guān)系得___________________________________.8.考查銳角A的正弦與余弦的取值范圍得__________________.9.①考查同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系得___________________;②考查同角三角函數(shù)之間的倒數(shù)關(guān)系得____________________;③考查同角三角函數(shù)之間的商的關(guān)系得____________________.10.考查勾股定理得___________;11.考查三角形的面積公式得_________________.

B.變化原題探索結(jié)論

B.變化原題探索結(jié)論

B.變化原題探索結(jié)論19.若△ABC的三邊是連續(xù)整數(shù),求三邊的長.

20.若△ABC的三邊是連續(xù)偶數(shù),求三邊的長.

B.變化原題探索結(jié)論

B.變化原題探索結(jié)論

B.變化原題探索結(jié)論

(2)若∠CBA=45°求tan22.5°的值.

B.變化原題探索結(jié)論

(1)求△ABC的面積;

(2)求以a為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的表面積;

(3)求以b為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的表面積;

(4)求以c為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的表面積.C.原題不變添圖變化上面原題條件不變,添加一些條件得到19個(gè)新題!下面我們探索原題條件不變,添加一些圖形得到許多新題!請(qǐng)大家欣賞下面一圖多變.27.如圖2,原題增添斜邊AB上的高CD,則有(1)(2)△ABC∽△ACD∽△CBD;(簡稱母子相似定理)(3)(簡稱射影定理)(4)(5)(6)圖2C.原題不變添圖變化28.如圖3,原題增添斜邊AB上的中線CM,則有(1)MA=MB=MC;(2)(3)(4)(5)圖3C.原題不變添圖變化29.如圖4,原題增添中位線DE,則有(1)DE∥AB,;(2)△CDE∽△CBA;(3)(4)圖4C.原題不變添圖變化圖530.如圖5,原題增添中位線EF、FD、DE,則有(1)四邊形CDFE是矩形;(2)四邊形EFBD、DFAE都是平行四邊形;(3)B.變化原題探索結(jié)論31.如圖6,原題條件不變,添加中位線DE,中線CF,則有DE=CF.32.如圖7,原題條件不變,添加△ABC的外接圓⊙D,若⊙D的半徑為,則有．圖6圖7C.原題不變添圖變化33.如圖8,原題條件不變,添加△ABC的內(nèi)切圓⊙D,若⊙D的半徑為,則有圖818%12%51%30%GRAPHICCHART以上我們通過對(duì)直角三角形這個(gè)基本圖形的建模,進(jìn)行挖掘或添加條件,一題多問、一圖多變,得到了80個(gè)結(jié)論,形成了巨大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),巧妙地復(fù)習(xí)了初中數(shù)學(xué)的許多定理、性質(zhì)及其解法,收到了舉一反三,觸類旁通的效果,極大地提高了復(fù)習(xí)效率.可謂登峰造極,巧奪天工.2一題多問橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同.在思維過程中,我們要善于改變看問題的角度,要善于變換思考方式,盡可能地選擇新視角解決問題.解決問題時(shí),若能進(jìn)行一圖多用,一題多問,不斷變換方位,多方位思考,則往往會(huì)收到意想不到的效果.可謂無心插柳柳成蔭.現(xiàn)在僅舉如下例子,以起拋磚引玉,畫龍點(diǎn)睛.一題多問.

【妙變迭出】這個(gè)題目十分簡單,列方程即可輕松搞定.但深挖本題,豐富多彩,令人欣喜若狂.若本題條件不變,改變結(jié)論,一圖多用,一題多問,則可以生成如下別有洞天的新題.變化1.幾秒后Q、P兩點(diǎn)間的距離最小?最小距離是多少?

變化3.幾秒后四邊形APQC的面積最小?最小面積是多少?

變化7.幾秒鐘后PQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)B?

變化8.幾秒后以Q、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

【解后反思】以上變化結(jié)論,一圖多用,一題多問得到了15個(gè)新題,形成了巨大的知識(shí)串,巧妙地復(fù)習(xí)了初中數(shù)學(xué)的許多定理、性質(zhì)及其解法,收到了曲徑通幽之妙,攻城略地之效.這種一圖多用,一題多問的方法,既激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣,又提高了復(fù)習(xí)效率,可謂一箭雙雕,一石雙鳥.3一題多解思路分析:本題若想直接證明,則山窮水盡疑無路.若考慮結(jié)論360°是兩個(gè)平角的和、三角形內(nèi)角和的兩倍、四邊形的內(nèi)角和、五邊形內(nèi)角和與平角的差、周角,則考慮添加平行線、構(gòu)造三角形、構(gòu)造四邊形、五邊形等即可柳暗花明又一村.已知:如圖1,AB∥CD,BE與DE相交于點(diǎn)E求證:∠B+∠BED+∠D=360°.一.添加平行線證法1:如圖2,過E點(diǎn)作EF∥AB,則∠B+∠BEF=180°.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠FED+∠D=180°.∴∠B+∠BED+∠D=∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°.∴∠B+∠BED+∠D=360°.證法2:如圖3,過E點(diǎn)作EF∥AB,則∠B=∠BEF.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠DEF=∠D.∴∠B+∠BED+∠D=∠BEF+∠BDE+∠DEF.∵∠BEF+∠BDE+∠DEF=360°,∴∠B+∠BED+∠D=360°..

二.構(gòu)造三角形證法3:如圖4,連接BD,則∠DBE+∠BED+∠BDE=180°.∵AB∥CD,∴∠ABD+∠BDC=180°.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=∠ABD+∠DBE+∠BED+∠DBE+∠BDC=360°.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°.證法4:如圖5,延長AB和DE相交于點(diǎn)F,則∠EBF+∠BEF+∠F=180°.∵AB∥CD,∴∠F+∠D=180°．∵∠ABE+∠EBF=180°,∠BEF+∠BED=180°,∴∠ABE+∠BED+∠CDE=180°﹣∠EBF+180°﹣∠BEF+∠D=360°﹣(180°﹣∠F)+∠D=180°+∠F+∠D=360°.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°.二.構(gòu)造三角形證法5:如圖6,過點(diǎn)E作直線FG,交AB和CD的延長線于點(diǎn)F和點(diǎn)G,則∠ABE=∠BEF+∠F,∠CDE=∠DEG+∠G.∵AB∥CD,∴∠F+∠G=180°.∵∠BEF+∠BED+∠DEG=180°,∴∠BED=180°﹣∠BEF﹣∠DEG.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=∠BEF+∠F+180°﹣∠BEF﹣∠DEG+∠DEG+∠G=180°+∠F+∠G=360°.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°.三.構(gòu)造四邊形證法6:如圖7,作直線BF,交CD于點(diǎn)F,則∠EBF+∠E+∠D+∠BFD=360°.∵AB∥CD,∴∠ABF=∠BFD.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=∠ABF+∠EBF+∠BED+∠CDE=∠EBF+∠E+∠D+∠BFD=360°.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°.四.構(gòu)造五邊形證法7:如圖8,作直線FG,分別交AB、CD于點(diǎn)F、G,則∠ABE+∠BED+∠CDE+∠BFG+∠DGF=(5-2)×180°=540°.∵AB∥CD,∴∠BFG+∠DGF=180°.∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°.解后反思:本題首先添加平行線(如證法1、2)或構(gòu)造三角形(如證法3、4、5)或構(gòu)造四邊形(如證法6)或構(gòu)造五邊形(如證法7)四種輔助線,再利用平行線的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和、三角形的外角、平角、周角等知識(shí)使問題迎刃而解,可謂以巧取勝,四兩撥千斤.這種一題多解的復(fù)習(xí)方法既復(fù)習(xí)了知識(shí),又開闊了眼界;既復(fù)習(xí)了輔助線的添加,又培養(yǎng)了發(fā)散思維的能力.令人感到數(shù)學(xué)是思維的體操優(yōu)美無比,為數(shù)學(xué)精妙絕倫的解法激動(dòng)地拍案叫絕,為數(shù)學(xué)巧奪天工的證法佩服的五體投地.4一一聚多自變量的取值范圍是初中數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí),備受中考命題人員的青睞,經(jīng)常在中考試卷中出現(xiàn),是中考試卷的一道亮麗的風(fēng)景線,令人秀色可餐.現(xiàn)在歸納求自變量取值范圍的各種類型,供大家學(xué)習(xí)時(shí)予以參考.一一聚多

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18%12%51%30%GRAPHICCHART以上同一類型的題目聚集在一起,綜合復(fù)習(xí)了函數(shù)中求自變量的取值范圍的各種類型,這種一一聚多的方法,既復(fù)習(xí)鞏固了知識(shí),又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,更提高了復(fù)習(xí)的效率,可謂包羅萬象,一舉多得.二輪是專題復(fù)習(xí),不是知識(shí)越難越好,而是知識(shí)越綜合越好.通過一圖多變、一題多變、一題多問、一題多解、一一聚多形成知識(shí)串,一線串多珠,珠珠相連.通過一圖多變、一題多變、一題多問、一題多解、一一聚多形成知識(shí)鏈,一鏈巧貫通,環(huán)環(huán)相連.只有知識(shí)的珠聯(lián)璧合,才能運(yùn)用的得心應(yīng)手,左