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【文庫獨(dú)家】拓展訓(xùn)練八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)13.3.2等邊三角形(2)一.1.已知等腰三角形的一邊長為6,一個(gè)外角為120°,則它的周長為()A.12B.15C.16D.182.如圖13-3-2-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜邊上的高,∠A=30°,那么下列說法中正確的是()AD=2BDB.AD=BDC.AD=3BDD.AD=4BD3.如圖13-3-2-13,在等邊△ABC中,D是AB的中點(diǎn),DE∠AC于E,EF⊥BC于F.已知AB=8.則BF的長為()A.3B.4C.5D.64.如圖13-3-2-17,等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為D,點(diǎn)E在線段AD上,∠EBC=45°,則∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°5.已知等邊△ABC的邊長為12,D是AB上的動(dòng)點(diǎn),過D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過E作EF⊥BC于點(diǎn)F,過F作FC⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí).AD的長是()A.3B.4C.8D.96.如圖13-3-2-20,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.3個(gè)以上二.1.如圖13-3-2-14,已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在OA上,且OP=2,點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)是Q,則PQ=.2.如圖13-3-2-18,在等邊△ABC中,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),則∠BAD=.三.1.如圖13-3-2-15,等邊△ABC中,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),點(diǎn)Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,問△APQ是什么形狀的三角形?試說明你的結(jié)論.2.如圖13-3-2-16,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),沿三角形的邊運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)M的速度為1cm/s.點(diǎn)N的速度為2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)日點(diǎn)時(shí),M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后,M、N兩點(diǎn)重合?(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后,可得到等邊三角形AMN?(3)當(dāng)點(diǎn)M,N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN?如果能,請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;如果不能,請(qǐng)說明理由.3.如圖13-3-2-19,點(diǎn)M、N分別在等邊△ABC的邊BC、CA上,且BM=CN,AM、BN交于點(diǎn)Q.求證:∠BQM=60°.4.同學(xué)們知道:“在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.”(1)請(qǐng)寫出這個(gè)命題的條件和結(jié)論;(2)若交換命題的條件和結(jié)論,得到的命題是真命題嗎?若你的判斷是真命題,請(qǐng)寫出證明過程(要求畫圖,并寫出已知,求證);若是假命題,請(qǐng)說明理由.答案:一.1.D∵一個(gè)外角為120°.∴與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角為180°-120°=60°.又∵此三角形為等腰三角形,∴此三角形是等邊三角形.∴周長為6×3=18.故選D.2.C∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°,∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°.∴BC=2BD.∴BD=AB,∴AD=AB,∴AD=3BD,故選C.3.C∵在等邊△ABC中,D是AB的中點(diǎn),AB=8,∴AD=4,AC=8,∠A=∠C=60°,∵DE⊥AC于E、EF⊥BC于F,∴∠AED=∠CFE=90°,∴∠ADE=∠CEF=30°.∴AE=AD=2,∴CE=8-2=6,∴CF=CE=3,∴BF=5,故選c.4.A∵等邊三角形ABC中,AD⊥BC.∴BD=CD,所以AD垂直平分BC,∴點(diǎn)E在AD上.∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=150.故選A.5.C設(shè)AD=2x,∴△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°...‘DE⊥AC于點(diǎn)E,EF⊥BC于點(diǎn)F,F(xiàn)G⊥AB于點(diǎn)G,且點(diǎn)G與D重合,∴∠ADF=∠DEC=∠EFC=90°,∴AE=x.∴CE=12-x,∴CF=6-,∴BF=6+,∴BD=3+,∵3++2x=12,∴x=4.∴AD=8.故選C.6.D如圖所示,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C.D.連接CD,則△PCD為等邊三角形.在OC,DB上分別取M.N,使CM=DN,則△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠OPN.PM=PN,∴∠MPN=60°,則△PMN為等邊三角形,因?yàn)闈M足CM=DN的M,N有無數(shù)個(gè),所以滿足題意的三角形有無數(shù)個(gè).二.1.答案2解析如圖,連接oQ,∵點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)是Q,O曰垂直平分PQ,∴∠POB=∠QOB=30°,OP=OQ,∴∠POQ=60°,∴APOQ為等邊三角形,∴PQ=P0=2.故答案為2.2.答案30°解析∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),∴∠BAD=∠BAC=30°.故答案是30°.三.1.解析△APQ為等邊三角形,證明:∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC.在△ABP與△ACQ中,∵,∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°.∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等邊三角形.2.解析(1)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后,M、N兩點(diǎn)重合,則x×1+12=2x,解得x=12,故點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)12秒后,M、N兩點(diǎn)重合.(2)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后,可得到等邊三角形AMN,如圖①,此時(shí)AM=t×1=tcm,AN=AB-BN=(12-2t)cm,∵△AMN是等邊三角形,∴t=12-2t,解得t=4,∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后,可得到等邊△AMN.(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),可以得到以MN為底邊的等腰三角形AMN.由(1)知,12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合,恰好在C處,∴超過12秒后,M、N都在BC上,且N更靠近B,如圖②,假設(shè)△AMN是以MN為底邊的等腰三角形,則AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵AB=AC,∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中,,∵△ACM≌△ABN0.CM=BN.此時(shí),設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為y秒,則CM=(y-12)cm,NB=(36-2,,)cm,∴y一12=36-2),,解得y=16.故假設(shè)成立.∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN,此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒.3.證明∵△ABC為等邊三角形.∴AB=BC,∠ABM=∠NCB=60°.在△ABM和△BCN中,,∴△ABM≌△BCN(SAS),∵∠BAM=∠NBC.在△ABQ中,∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠NBC+∠ABN=∠ABC=60°.4.解析(1)條件:在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,結(jié)論:那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.(2)在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30度,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.得到的命題是真命題.已知:如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=30°.∠ACB=90°.求證:BC=AB,證法一:如圖1所示,延長BC到D,使CD=BC,連接AD,易證AD=AB.∠BAD=60°.∴△ABD為等邊三角形,∴AB=BD,∴BC=CD,∴BC=AB.證法二:如圖2所示,取AB的中點(diǎn)D,連接DC,有CD=AB=AD=DB,∴∠DCA
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