一課一練 八年級數(shù)學上冊13.3.2等邊三角形2

【文庫獨家】拓展訓練八年級數(shù)學上冊13.3.2等邊三角形（2）一．1.已知等腰三角形的一邊長為6，一個外角為120°，則它的周長為()A.12B.15C.16D.182.如圖13-3-2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊上的高，∠A=30°，那么下列說法中正確的是()AD=2BDB.AD=BDC.AD=3BDD.AD=4BD3.如圖13-3-2-13，在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE∠AC于E，EF⊥BC于F．已知AB=8．則BF的長為()A.3B.4C.5D.64.如圖13-3-2-17，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°5.已知等邊△ABC的邊長為12，D是AB上的動點，過D作DE⊥AC于點E，過E作EF⊥BC于點F，過F作FC⊥AB于點G．當G與D重合時．AD的長是()A.3B.4C.8D.96.如圖13-3-2-20，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有()A.1個B.2個C.3個D.3個以上二．1.如圖13-3-2-14，已知∠AOB=30°，點P在OA上，且OP=2，點P關于直線OB的對稱點是Q，則PQ=.2.如圖13-3-2-18，在等邊△ABC中，點D是邊BC的中點，則∠BAD=.三．1.如圖13-3-2-15，等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結論．2.如圖13-3-2-16，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s．點N的速度為2cm/s.當點N第一次到達日點時，M、N同時停止運動．(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形AMN?(3)當點M，N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN?如果能，請求出此時M、N運動的時間；如果不能，請說明理由．3.如圖13-3-2-19，點M、N分別在等邊△ABC的邊BC、CA上，且BM=CN，AM、BN交于點Q．求證：∠BQM=60°．4.同學們知道：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．”(1)請寫出這個命題的條件和結論；(2)若交換命題的條件和結論，得到的命題是真命題嗎？若你的判斷是真命題，請寫出證明過程（要求畫圖，并寫出已知，求證）；若是假命題，請說明理由．答案：一．1.D∵一個外角為120°．∴與這個外角相鄰的內角為180°-120°=60°．又∵此三角形為等腰三角形，∴此三角形是等邊三角形．∴周長為6×3=18.故選D．2.C∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴BC=2BD．∴BD=AB，∴AD=AB,∴AD=3BD，故選C．3.C∵在等邊△ABC中，D是AB的中點，AB=8,∴AD=4,AC=8,∠A=∠C=60°,∵DE⊥AC于E、EF⊥BC于F,∴∠AED=∠CFE=90°,∴∠ADE=∠CEF=30°．∴AE=AD=2,∴CE=8-2=6,∴CF=CE=3，∴BF=5，故選c．4.A∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC．∴BD=CD，所以AD垂直平分BC,∴點E在AD上．∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=150．故選A．5.C設AD=2x，∴△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．．．‘DE⊥AC于點E，EF⊥BC于點F，F(xiàn)G⊥AB于點G，且點G與D重合，∴∠ADF=∠DEC=∠EFC=90°,∴AE=x．∴CE=12-x,∴CF=6-，∴BF=6+，∴BD=3+，∵3++2x=12，∴x=4．∴AD=8．故選C.6.D如圖所示，過點P分別作OA，OB的垂線，垂足分別為C．D．連接CD，則△PCD為等邊三角形．在OC，DB上分別取M．N，使CM=DN，則△PCM≌△PDN，所以∠CPM=∠OPN．PM=PN，∴∠MPN=60°，則△PMN為等邊三角形，因為滿足CM=DN的M，N有無數(shù)個，所以滿足題意的三角形有無數(shù)個．二．1.答案2解析如圖，連接oQ，∵點P關于直線OB的對稱點是Q，O曰垂直平分PQ，∴∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，∴∠POQ=60°，∴APOQ為等邊三角形，∴PQ=P0=2．故答案為2．2.答案30°解析∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°,AB=AC.又點D是邊BC的中點，∴∠BAD=∠BAC=30°.故答案是30°.三．1.解析△APQ為等邊三角形，證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC．在△ABP與△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°．∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等邊三角形．2.解析(1)設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，則x×1+12=2x，解得x=12，故點M、N運動12秒后，M、N兩點重合．(2)設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形AMN，如圖①，此時AM=t×1=tcm,AN=AB-BN=(12-2t)cm,∵△AMN是等邊三角形，∴t=12-2t，解得t=4,∴點M、N運動4秒后，可得到等邊△AMN.(3)當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形AMN.由(1)知，12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，∴超過12秒后,M、N都在BC上，且N更靠近B，如圖②，假設△AMN是以MN為底邊的等腰三角形，則AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB,∵AB=AC，∴∠C=∠B．在△ACM和△ABN中，，∵△ACM≌△ABN0．CM=BN．此時，設M、N運動的時間為y秒，則CM=（y-12）cm，NB=(36-2，，)cm，∴y一12=36-2），，解得y=16．故假設成立．∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運動的時間為16秒．3.證明∵△ABC為等邊三角形．∴AB=BC,∠ABM=∠NCB=60°.在△ABM和△BCN中，,∴△ABM≌△BCN(SAS)，∵∠BAM=∠NBC.在△ABQ中，∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠NBC+∠ABN=∠ABC=60°.4.解析(1)條件：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，結論：那么這條直角邊所對的銳角等于30°.(2)在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．得到的命題是真命題．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=30°．∠ACB=90°.求證：BC=AB，證法一：如圖1所示，延長BC到D，使CD=BC，連接AD，易證AD=AB．∠BAD=60°．∴△ABD為等邊三角形，∴AB=BD，∴BC=CD，∴BC=AB．證法二：如圖2所示，取AB的中點D，連接DC，有CD=AB=AD=DB，∴∠DCA