2023北京中考數(shù)學(xué)試題

2024北京中考數(shù)學(xué)試題2024年北京市高級中等學(xué)校招生考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有．．一個(gè)。1.下列幾何體中，是圓柱的為

2.實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是

（A）＞4a（B）＞0bc-（C）＞0ac（D）＞0ca+

3.方程式?

?

?=-=-14833

yxyx的解為

（A）??

?=-=21yx（B）???-==21yx（C）???=-=12yx（D）???-==1

2

yx

4.被譽(yù)為“中國天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST的反射面總面積相當(dāng)于35個(gè)標(biāo)準(zhǔn)足球場的總面積。已知每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)足球場的面積為7140m2

，則FAST的反射面總面積約為（A）231014.7m?（B）241014.7m?（C）25105.2m?（D）26105.2m?5.若正多邊形的一個(gè)外角是o60，則該正多邊形的內(nèi)角和為

（A）o360（B）o540（C）o720（D）o900

6.假如32=-ba，那么代數(shù)式baa

baba-????

???-+222的值為

（A）3（B）32（C）33（D）347.跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會競賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿意函數(shù)關(guān)系

()02≠=+=acbxaxy。下圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，依據(jù)上述函數(shù)模型

和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為

（A）10m（B）15m（C）20m（D）22.5m

8.上圖是老北京城一些地點(diǎn)的分布示意圖。在圖中，分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，有如下四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()0,0，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()3,6--時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()6,5-；

②當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()0,0，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()6,12--時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()12,10-；

③當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()1,1，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()5,11--時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()11,11-；

④當(dāng)表示天安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()5.1,5.1，表示廣安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為()5.7,5.16--時(shí)，表示左安門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(),5.16,5.16-。上述結(jié)論中，全部正確結(jié)論的序號是

（A）①②③（B）②③④（C）①④（D）①②③④二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.右圖所示的網(wǎng)絡(luò)是正方形網(wǎng)格，BAC∠DAE∠。（填“＞”，“＝”或“＜”）

10.若x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是。

11.用一組a,b,c的值說明命題“若＜ba，則＜bcac”是錯(cuò)誤的，這組值可以是=a，

=b，=c。

12.如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，DCBC

=,?=∠30CAD,?=∠50ACD,則

=∠ADB。

13.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對角線AC于點(diǎn)F，若4=AB，

3=AD，則CF的長為。

14.從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路。為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲

地到乙地的用時(shí)狀況，在每條線路上隨機(jī)選取了500個(gè)班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時(shí)（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下：

早高峰期間，乘坐（填“A”，“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用

時(shí)不超過45分鐘”的可能性最大。

15.某公園劃船項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

船型兩人船（限乘兩人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小時(shí)）90100130150

某班18名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時(shí)間均為1小時(shí)，則租船的總費(fèi)用最低為

元。

16.2024年，部分國家及經(jīng)濟(jì)體在全球的創(chuàng)新綜合排名、創(chuàng)新產(chǎn)出排名和創(chuàng)新效率排名狀況如圖所

示，中國創(chuàng)新綜合排名全球第22，創(chuàng)新效率排名全球第。

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27,28題，每

小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

17.下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程。

已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P。

求作：直線PQ，使得PQ∥l。

作法：如圖，

①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點(diǎn)B；

②在直線l上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC

的延長線于點(diǎn)Q；

③作直線PQ。所以直線PQ就是所求作的直線。

依據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明。

證明：∵=AB，=CB，

∴PQ∥l（）（填推理的依據(jù)）。

18.計(jì)算4sin45°+(π－2)0

－+∣-1∣

19.解不等式組：

20.關(guān)于x的一元二次方程ax2

+bx+1=0.

(1)當(dāng)b=a+2時(shí)，利用根的判別式推斷方程根的狀況;

(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿意條件的a，b的值，并求此時(shí)方程的根.

21.如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;

(2)若AB=

，BD=2，求OE的長.

22.如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP，CD.

(1)求證:OP⊥CD;

(2)連接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的長.

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=(x>0)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)A(4，1)，直線L:y=+b與圖象G交

于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C

(1)求k的值;

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為w.

①當(dāng)b=-1時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);

②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍

24.如圖，Q是與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的肯定點(diǎn)，P是弦AB上一動點(diǎn)，連接PQ并延長交于

點(diǎn)C，連接AC.已知AB=6cm，設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為xcm，P，C兩點(diǎn)間的距離為y1cm，A，C兩點(diǎn)間的距離為y2cm.

小騰依據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的閱歷，分別對函數(shù)y1,y2，隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補(bǔ)充完整:

(1)根據(jù)下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了y1,y2與x的幾組對應(yīng)值;

X/cm0123456

y1/cm5.624.673.762.653.184.37

y2/cm5.625.595.535.425.194.734.11

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(x，y1)并畫出(x，y2)函數(shù)y1，y2的圖象;

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題:當(dāng)△APC為等腰三角形時(shí)，AP的長度約為cm.

25.某班級共有300名同學(xué).為了解該班級同學(xué)A，B兩門課程的學(xué)習(xí)狀況，從中隨機(jī)抽取60名同學(xué)進(jìn)行測試，獲得了他們的成果（百分制），并對數(shù)據(jù)(成果)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.A課程成果的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成6組:40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，

80≤x<90，90≤x≤100):

b.A課程成果在70≤x<80這一組的是:

707171717676777878.578.579797979.5

c.A，B兩門課程成果的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

課程平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

A75.8m84.5

B72.27083

依據(jù)以上信息，回答下列問題:

(1)寫出表中m的值;

(2)在此次測試中，某同學(xué)的A課程成果為76分，B課程成果為71分，這名同學(xué)成果排名更靠前的

課程是(填"A"或"B")，理由是,

(3)假設(shè)該班級同學(xué)都參與此次測試，估量A課程成果跑過75.8分的人數(shù).

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=4X+4與x軸y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點(diǎn)A將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)求拋物線的對稱軸;

(3)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍

27.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為F，連接EF并延長交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長線于點(diǎn)H，連接BH.

(1)求證:GF=GC;

(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.對于平面直角坐標(biāo)系元xOy中的圖形M，N，給出如下定義:P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，假如P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N間的"閉距離"，記作d(M，N).

已知點(diǎn)A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).

(1)求d(點(diǎn)0，△ABC);

(2)記函數(shù)y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的圖象為