隨機時變擴散下的混凝土隨機時變擴散分析

隨機時變擴散下的混凝土隨機時變擴散分析

混凝土結(jié)構(gòu)位于氯鹽巖等環(huán)境中，其耐久性取決于氯離子穿透混凝土的速度和氯離子濃度的分布。由于混凝土材料和環(huán)境條件的隨機變異性，決定了氯離子在混凝土中的擴散和積聚是一個隨機過程。因此，混凝土中氯離子擴散過程的隨機模擬是研究混凝土耐久性的有效途徑。吳進等人對海洋環(huán)境下混凝土鋼筋表面氯離子濃度的隨機模型進行了研究。考慮到氯離子模型的不確定性，提出了一種預(yù)測氯離子濃度的概率方法。karime等人根據(jù)考慮到氯離子擴散系數(shù)的隨機性，總結(jié)了混凝土鋼筋的腐蝕。劉志勇等人基于開朗卡方法預(yù)測了海工混凝土的使用壽命。趙卓等人對杭州海橋70米長的混凝土結(jié)構(gòu)進行了隨機分析。采用回歸法研究了混凝土結(jié)構(gòu)中氯離子濃度的隨機擴散和濃度分布。然而，上述研究主要基于分析理論或回歸法的隨機抽樣模擬計算。然而，由于計算機分析理論的應(yīng)用范圍有限，由于monterey方法的隨機抽樣模擬，計算效率低，因此無法有效消除上述兩種方法的缺點。另外,混凝土所處的侵蝕環(huán)境及其自身材料性能都具有時變特性,通常體現(xiàn)在混凝土的氯離子擴散系數(shù)、表面氯離子濃度等參數(shù)隨時間變化而變化.Tang等給出了氯離子擴散系數(shù)隨時間呈指數(shù)衰減的表達式;Mangat等提出了氯離子擴散系數(shù)在半無限大體中的時變特性;Thomas等在建立混凝土氯離子擴散系數(shù)的時變模型時考慮了初始時刻氯離子擴散的影響;余紅發(fā)等在綜合考慮氯離子固化、混凝土材料和結(jié)構(gòu)缺陷等因素的基礎(chǔ)上,研究建立了氯離子時變擴散模型;楊綠峰等在考慮混凝土初始暴露齡期和氯離子擴散系數(shù)時變性基礎(chǔ)上研究了氯離子侵入混凝土的時變擴散過程;Amey等建議表面氯離子濃度和時間關(guān)系采用線性函數(shù)和冪函數(shù)形式表達;Kassir等利用指數(shù)函數(shù)研究了表面氯離子濃度時變情況下的氯離子擴散封閉解;余紅發(fā)、Hong和Song等也對表面氯離子濃度的時變模型進行了相關(guān)研究.但這些工作都建立于確定性分析基礎(chǔ)上,需要進一步考慮隨機因素的影響.本文利用局部平均法將作為高斯隨機場的氯離子擴散系數(shù)離散為一組隨機變量,然后利用攝動技術(shù)建立了氯離子隨機時變擴散分析的攝動隨機有限元法(SFEM)的遞歸控制方程,分析了氯離子擴散系數(shù)隨機時變性對氯離子擴散過程的影響.1混凝土氯離子擴散系數(shù)的確定混凝土中氯離子擴散分析理論通常以Fick第二定律為基礎(chǔ):式中:C為氯離子濃度;t為混凝土結(jié)構(gòu)暴露于氯離子環(huán)境中的時間;x為橫坐標,通常表示氯離子沿混凝土試件邊界的內(nèi)法線方向擴散的深度;D=D(t)為混凝土的氯離子擴散系數(shù).式(1)初始條件與邊界條件分別為:C(x,0)=C0;C(0,t)=Cs;C(+∞,t)=C0,其中:C0為暴露于氯鹽環(huán)境時混凝土中氯離子的初始濃度;Cs為混凝土表面氯離子濃度.隨著混凝土齡期的增長,其內(nèi)部密實度因水化反應(yīng)而不斷提高,導(dǎo)致混凝土的氯離子擴散系數(shù)不斷衰減.Tang等基于文獻介紹的擴散數(shù)學(xué)理論給出了氯離子擴散系數(shù)的時變表達式:式中:t′為混凝土齡期;t0為混凝土暴露于氯鹽環(huán)境時的初始齡期,且t=t′-t0;D0為t0時混凝土的氯離子初始擴散系數(shù);g(t)是關(guān)于混凝土暴露時間t的函數(shù);n為混凝土的齡期衰減系數(shù).通常采用2種方法確定n,一種是經(jīng)驗取值計算法,另一種是試驗擬合法.經(jīng)驗取值計算法根據(jù)經(jīng)驗或規(guī)范確定n的取值,如北美Life-365和我國CCES01—2004《混凝土結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計與施工指南》建議n的取值按公式n=0.2+0.4(wFA/0.5+wSG/0.7)計算,式中wFA和wSG分別表示粉煤灰摻量(粉煤灰與膠凝材料的質(zhì)量比)和礦渣摻量(礦渣與膠凝材料的質(zhì)量比),該式適用于粉煤灰摻量小于50%、礦渣摻量小于70%的情況;試驗擬合法通過試驗得到不同齡期混凝土的氯離子擴散系數(shù),然后進行回歸分析,由式(2)擬合得到混凝土的齡期衰減系數(shù)n.對式(2)作變量代換,令dT=g(t)dt,則:Kassir等根據(jù)試驗得到混凝土表面氯離子濃度隨時間變化的指數(shù)函數(shù)表達式:式中:Cs0為氯鹽環(huán)境下氯離子擴散平衡時混凝土表面氯離子濃度;α是擬合系數(shù),可以根據(jù)試驗中測得的混凝土表面氯離子濃度擬合求得,這里取α=0.25a-1.將式(2),(5)代入氯離子擴散控制方程式(1)中,并根據(jù)T和t之間的變量代換關(guān)系,可得:其初始條件與邊界條件分別為:C(x,0)=C0;C(0,T)=Cs0(1-exp(-αT));C(+∞,T)=C0.2擴散單元的控制方程根據(jù)變分法可知,式(6)邊界條件與泛函的變分極值條件相一致.式中,L為有限元模型中混凝土內(nèi)氯離子擴散場的長度,通?？扇≡嚰L度.根據(jù)有限元法,將氯離子擴散場離散為一組單元,并建立典型單元上氯離子濃度分布函數(shù)Ce(x,T):式中:[N]e為單元形函數(shù)矩陣,{C}e為單元節(jié)點氯離子濃度列矩陣.將式(8)代入式(7),并令δΠe(C)=0,得擴散單元的控制方程為:其中:表示{C}e對T的一階導(dǎo)數(shù);[M]e,[K]e分別為氯離子分布矩陣和氯離子擴散矩陣,其中:式中:[N],x表示單元形函數(shù)矩陣[N]對x的一階導(dǎo)數(shù);le為有限元模型中離散單元長度.將單元控制方程集成總體有限元方程:其中:[M],[K]分別為總體分布矩陣和總體擴散矩陣,分別由單元矩陣[M]e,[K]e集成.3氯離子隨機時變擴散的基本控制方程當考慮氯離子擴散系數(shù)D(t)的隨機性時,式(2)中的氯離子初始擴散系數(shù)D0為隨機量,函數(shù)g(t)為確定性函數(shù).為了能準確反映隨機量D0在空間上的隨機變異及相關(guān)性,通常將D0模型化為隨機場.本文采用廣義平穩(wěn)且均勻的高斯隨機場,并按照局部平均方法將隨機場D0沿氯離子擴散方向離散為m1個隨機場單元,在每個單元上隨機場D0都可以定義為1個隨機變量Xi(i=1,2,…,m1).Xi可以用零均值隨機變量αi表示:式中:表示隨機變量Xi的均值.根據(jù)隨機場離散的局部平均方法,容易求得隨機變量Xi的均值和協(xié)方差cov[αi,αj].由于氯離子擴散系數(shù)D(t)具有隨機性,所以有限元方程中的總體擴散矩陣[K]、節(jié)點氯離子濃度列矩陣{C}都是隨機量,可以根據(jù)小參數(shù)攝動技術(shù)建立其二階攝動展開式:式中:分別表示[K],{C}在均值處之值;[K]i,{C}i分別表示[K],{C}對Xi的一階偏導(dǎo)數(shù)在處之值;類似地,[K]ij,{C}ij分別表示[K],{C}對Xi和Xj的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在處之值,且有:式中:D0,i表示D0對隨機變量Xi的一階偏導(dǎo);D0,ij表示D0對隨機變量Xi,Xj的二階混合偏導(dǎo);代表氯離子初始擴散系數(shù)D0的均值;e代表單元編號.將式(13)、式(14)代入式(11),令αi的同階項系數(shù)相等,可以得到一組遞歸方程,即為氯離子隨機時變擴散分析的攝動隨機有限元法控制方程:其中:表示對T的一階導(dǎo)數(shù),且有:用直接積分法將時間區(qū)域[0,T]等分為m2個時長為ΔT的子區(qū)間[Tk-1,Tk](k=1,2,…m2),在子區(qū)間上建立,{C}i和{C}Ⅱ的線性近似表達式,并代回式(16),進而通過加權(quán)余量法可以得到時間子域[Tk-1,Tk]上從開始到結(jié)束時的氯離子濃度遞歸方程的迭代求解表達式:式中:,{C}ik-1,{C}Ⅱk-1和,{C}ik,{C}Ⅱk分別表示,{C}i,{C}Ⅱ在Tk-1,Tk時的氯離子濃度值;矩陣[H],[R]和向量{P}0,{P}1都和差分松弛系數(shù)θ有關(guān),且有:θ可以利用局部變量ξ和加權(quán)函數(shù)ω表示,即為:本文采用后向差分公式計算,取θ=1.根據(jù)式(18)和初始條件遞推求解,{C}i,{C}Ⅱ在Tk(k=1,2,…,m2)上的值,進而得到氯離子濃度均值E[{C}]和協(xié)方差var[{C}]:通常利用MonteCarlo法(MC)與確定性數(shù)值方法相結(jié)合的方式,檢驗隨機數(shù)值方法的適用性、計算精度和計算效率.因而,為了檢驗本文建立的混凝土中氯離子隨機時變擴散分析的攝動隨機有限元法(SFEM)的有效性,通過取隨機輸入?yún)?shù)的變異系數(shù)為0,將SFEM退化為氯離子擴散分析的確定性有限元方法(FEM),此時可利用解析理論、試驗結(jié)果驗證FEM的計算精度.在證實FEM正確性的基礎(chǔ)上,將MC和FEM相結(jié)合,可以建立氯離子隨機時變擴散分析的MonteCarlo有限元法(MCFEM),據(jù)此可以驗證本文建立的SFEM的適用性、計算精度和計算效率.4有限元模型驗證算例1:Tang等對水灰比(質(zhì)量比)為0.3的抗硫酸鹽高性能混凝土板進行氯離子擴散試驗,他們在混凝土板的初始齡期為0.03a時將其5個面用環(huán)氧樹脂封閉,留下1個面暴露在海洋環(huán)境中.測試和分析結(jié)果表明:混凝土暴露表面的氯離子濃度(氯離子與混凝土的質(zhì)量比,下同)為3.09%;氯離子初始擴散系數(shù)D0為2.5×10-12m2/s;混凝土齡期衰減系數(shù)n為0.3.筆者采用本文建立的混凝土中氯離子擴散分析的確定性有限元方法(FEM),并考慮氯離子擴散系數(shù)的時變性,計算混凝土板中氯離子濃度分布,并與Tang等的試驗結(jié)果(記為“Test”)相比較,結(jié)果如圖1所示.圖1圖例說明“FEM”及“Test”后面的時間表示混凝土持續(xù)暴露于氯鹽環(huán)境中的時間,以下各圖類同.由圖1可以看出,本文FEM方法的計算結(jié)果和Tang等的試驗結(jié)果基本吻合,這證明本文FEM方法具有較好的計算精度,同時也證明了考慮混凝土擴散系數(shù)的時變性是符合實際情況的.算例2:設(shè)混凝土立方體試件尺寸為150mm×150mm×150mm.將該試件的5個面用環(huán)氧樹脂封閉,只留1個面浸泡于富含氯離子的海水中.浸泡時混凝土的初始齡期為28d,混凝土齡期衰減系數(shù)n取0.24.混凝土試件中氯離子初始濃度為0,表面氯離子濃度符合式(5)定義的指數(shù)型時變模型,且有:氯離子擴散平衡時的表面氯離子濃度為0.8%,α=0.25a-1.混凝土的氯離子擴散系數(shù)如式(2)所定義,且是隨機時變函數(shù),其中的氯離子初始擴散系數(shù)D0具有隨機性,可以模型化為高斯隨機場.氯離子擴散系數(shù)均值為63.072mm2/a,氯離子擴散系數(shù)變異系數(shù)(δ)為0.1,高斯隨機場離散單元長度為10mm.利用本文建立的攝動隨機有限元法(SFEM)計算混凝土中氯離子的濃度均值、變異系數(shù)及其變化規(guī)律,并將計算結(jié)果同MonteCarlo有限元法(MCFEM)對比,結(jié)果見圖2,3.有限元模型中,差分松弛系數(shù)(θ)為1.從圖2,3可見:SFEM與MCFEM的計算結(jié)果相當吻合,這證明了本文建立的SFEM具有較高的計算精度;隨著混凝土持續(xù)暴露于氯鹽環(huán)境時間的增長,試件中氯離子濃度均值逐漸提高,氯離子濃度變異系數(shù)逐步降低.表1為分別使用MCFEM和SFEM計算暴露于氯鹽環(huán)境10,30,50a時混凝土中氯離子濃度均值和變異系數(shù)所需的時間.由表1可知,SFEM的計算用時遠少于MCFEM,這表明本文建立的SFEM具有較高的計算效率.為了更好地分析混凝土材料特性和環(huán)境條件對氯離子擴散過程的影響,采用本文方法(SFEM)分別計算了同時考慮氯離子擴散系數(shù)隨機時變性和表面氯離子濃度時變性(記為CRT-ST)、同時考慮氯離子擴散系數(shù)和表面氯離子濃度時變性(記為CT-ST)、同時考慮氯離子擴散系數(shù)隨機性和表面氯離子濃度時變性(記為CR-ST)、僅考慮氯離子擴散系數(shù)隨機時變性(記為CRT)、僅考慮氯離子擴散系數(shù)隨機性(記為CR)的氯離子平均濃度和氯離子濃度變異系數(shù),計算結(jié)果分別如圖4,5所示.由圖4可以看出:當僅考慮氯離子擴散系數(shù)隨機性(CR曲線)時,混凝土中氯離子濃度均值最大;同時考慮氯離子擴散系數(shù)隨機性和表面氯離子濃度時變性的CR-ST曲線與CR曲線較為接近,且隨著暴露時間的增長更加明顯,說明混凝土試件表面氯離子濃度時變性對氯離子擴散過程影響較小,特別是對暴露時間較長的混凝土結(jié)構(gòu)而言更是如此.僅考慮氯離子擴散系數(shù)隨機時變性(CRT曲線)時,氯離子濃度均值明顯小于CR曲線,表明氯離子擴散系數(shù)的時變性對氯離子擴散過程有較大影響.同時考慮氯離子擴散系數(shù)隨機時變性和表面氯離子濃度時變性(CRT-ST曲線)時,氯離子濃度均值最小.同時考慮氯離子擴散系數(shù)和表面氯離子濃度時變性(CT-ST曲線)時,氯離子濃度均值幾乎與CRT-ST的一致,說明是否考慮氯離子擴散系數(shù)的隨機性對氯離子濃度均值的影響不大.同時CRT曲線與CRT-ST曲線較為接近,暴露時間較長該現(xiàn)象更加明顯,再次證明了表面氯離子濃度時變性對氯離子擴散過程影響較小,在探討混凝土的氯離子長期擴散問題中可以忽略該因素.另外,從圖4還可以看出,CRT-ST曲線明顯低于CR-ST曲線,再次證明了氯離子擴散系數(shù)的時變性對混凝土中氯離子擴散過程有顯著影響,是一個不可忽視的因素.從圖5可以看出,同時考慮氯離子擴散系數(shù)和表面氯離子濃度時變性,即不考慮氯離子擴散系數(shù)的隨機性(CT-ST曲線)時,混凝土中氯離子濃度變異系數(shù)為0,這與實際情況相符合,再次證明了本文建立的SFEM在不考慮混凝土氯離子擴散系數(shù)隨機性時的退化方法(FEM)能夠給出正確結(jié)果.同時,比較CT-ST曲線和CRT-ST曲線,可以看出,氯離子擴散系數(shù)的隨機性顯著增大了混凝土中氯離子濃度變異系數(shù).從圖4,5可以看出,氯離子濃度越高,氯離子濃度變異系數(shù)越小,這和圖2,3表明的規(guī)律相同.為了進一步研究隨機輸入?yún)?shù)變異性對氯離子擴散過程的影響,這里計算了氯離子擴散系數(shù)取不同變異系數(shù)時混凝土中氯離子濃度均值和變異系數(shù)的變化情況,如圖6,7所示.由圖6,7可以看出,氯離子擴散系數(shù)變異系數(shù)增大時,氯離子濃度均值幾乎不變,但氯離子濃度變異系數(shù)則隨之而增大.由于氯離子濃度變異系數(shù)的增大將降低混凝土結(jié)構(gòu)的可靠度和服役壽命,因此可以看出,氯離子擴散系數(shù)的隨機性對氯鹽環(huán)境下混凝土結(jié)構(gòu)的可靠度和服役壽命具有顯著影響,一旦忽視,將導(dǎo)致高估混凝土結(jié)構(gòu)的安全性和服役壽命,造成潛在危害.5mcfem和mcfem的驗算結(jié)果(1)建立了