等腰三角形講義（等腰等邊性質(zhì)判定常用輔助線構(gòu)造）人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

等腰三角形重點(diǎn)知識(shí)回顧：等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.（這也可以作為“等腰三角形的判定”運(yùn)用）等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”）等邊三角形的定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形.因此，等腰三角形的所有性質(zhì)都適用于等邊三角形.當(dāng)然，等邊三角形還有其特殊的判定與性質(zhì).等邊三角形的判定與性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于600.（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.（3）有一個(gè)角等于600的等腰三角形是等邊三角形.6、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于300，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.7、三角形中邊與角之間的不等關(guān)系：（1）在一個(gè)三角形中，等邊所對(duì)的角相等；反過(guò)來(lái)，等角所對(duì)的邊也相等.（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”、“等角對(duì)等邊”）（2）在一個(gè)三角形中，不相等的邊所對(duì)的角不相等；反過(guò)來(lái)，不相等的角所對(duì)的邊也不相等.并且，大邊所對(duì)的角較大；大角所對(duì)的邊也較大.（簡(jiǎn)稱(chēng)“大邊對(duì)大角”、“大角對(duì)大邊”）8、最短路徑：（1）兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.三、基礎(chǔ)講練訓(xùn)練：1、填空題：（1）如圖1，已知點(diǎn)A、C、F、E在同一直線上，△ABC是等邊三角形，且CD=CE，EF=EG，則∠F=_____度．（圖1）(2)已知點(diǎn)P（x，x+y）與點(diǎn)Q（y+5，x7）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，（圖1）則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，）.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上均速移動(dòng)，它們的速度分別為Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則當(dāng)t=_________S時(shí)，△PBQ為直角三角形.（4）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=100°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為_(kāi)______________2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，則BC的長(zhǎng)為()3.如圖，等腰△ABC的周長(zhǎng)為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長(zhǎng)為（）A.13 B.16 C.8 D.104.已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過(guò)O作DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，若BD+CE=5，則線段DE長(zhǎng)為（）A.5 B.6 C.7 D.85.如圖，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．則下列結(jié)論不正確的是（）A.BD＝CE B.BD⊥CE C.AF平分∠CAD D.∠AFE＝45°6.在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=140°，則∠A=.7.如果等腰三角形的兩個(gè)角的比是2∶5，那么底角的度數(shù)為.8.（1）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于130°，則其余兩個(gè)角分別為；（2）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于70°，則其余兩個(gè)角分別為.9.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為35°，則這個(gè)三角形的頂角為.10.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有條對(duì)稱(chēng)軸.11.已知等腰三角形一腰上的中線將它周長(zhǎng)分成18cm和9cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是

cm．12.等腰三角形頂角的與底邊上的、重合，稱(chēng)三線合一.13.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和9cm，則它的周長(zhǎng)為.14.課間，頑皮的小剛拿著老師的等腰直角三角板放在黑板上畫(huà)好了的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)(如圖)，已知直角頂點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0，1)，另一個(gè)頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4，4)，則點(diǎn)K的坐標(biāo)為15.如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是______________.綜合演練1.如圖所示，底邊BC為2，頂角A為120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，則DE長(zhǎng)為_(kāi)___________.第2題2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出下列四個(gè)結(jié)論：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF＝AP第2題A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3.如圖，已知等腰頂角．（1）在AC上作一點(diǎn)D，使（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明，最后用黑色墨水筆加墨）；（2）求證：是等腰三角形．4.如圖：E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF=EF，BD=CE．求證：△ABC是等腰三角形．5.如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)．6.如圖，等腰直角△ABC中，CA=CB，點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．求證：△CBE為等邊三角形．四、常做輔助線1.已知，如圖，AB=AC，BD⊥AC于D，求證：∠BAC=2∠DBC2.已知，如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE=DF3.已知，如圖，△ABC中，AB=AC，在BA延長(zhǎng)線和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE=AF，求證：EF⊥BC4.已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延長(zhǎng)線上，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF=EF5.如圖所示，線段AB