《微積分初步》第二章電子教案

第2章導數(shù)與微分2.1.1引出導數(shù)概念的實例例1平面曲線的切線斜率

曲線的圖像如圖所示,在曲線上任取兩點

和，作割線，割線的斜率為2.1導數(shù)的概念這里為割線MN的傾角，設是切線MT的傾角，當時，點N沿曲線趨于點M。若上式的極限存在，記為k，則此極限值k就是所求切線MT的斜率，即定義設y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，屬于該鄰域，記若存在，則稱其極限值為y=f(x)在點x0

處的導數(shù)，記為或2.1.2導數(shù)的概念導數(shù)定義與下面的形式等價：若y=f(x)在x=x0

的導數(shù)存在，則稱y=f(x)在點x0

處可導，反之稱y=f(x)在x=x0

不可導.函數(shù)的可導性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點處的性態(tài)，導數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點處變化(增大或減小)的快慢.三、左導數(shù)與右導數(shù)

左導數(shù):

右導數(shù):顯然可以用下面的形式來定義左、右導數(shù)定理3.1y=f(x)在x=x0可導的充分必要條件是y=f(x)在x=x0

的左、右導數(shù)存在且相等.2.1.3導數(shù)的幾何意義

當自變量變化到時，曲線y=f(x)上的點由變到此時為割線兩端點M0，M的橫坐標之差，而則為M0，M的縱坐標之差，所以即為過M0，M兩點的割線的斜率.M0M

曲線y=f(x)在點M0處的切線即為割線M0M當M沿曲線y=f(x)無限接近時的極限位置M0P，因而當時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：所以，導數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點M0(x0,f(x0))處的切線斜率.M0M

設函數(shù)y=f(x)在點處可導，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：而當時,曲線在的切線方程為(即法線平行y軸).當時,曲線在的法線方程為而當時,曲線在的法線方程為例3求函數(shù)的導數(shù)解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取極限:同理可得:特別地,.例4求曲線在點處的切線與法線方程.解:因為,由導數(shù)幾何意義,曲線在點的切線與法線的斜率分別為:

于是所求的切線方程為:即法線方程為:即2.1.4可導性與連續(xù)性的關系定理2若函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0

處連續(xù).證

因為f(x)在點x0處可導，故有根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關系,可得:兩端乘以得:由此可見:即函數(shù)y=f(x)在點x0

處連續(xù).證畢.例5討論函數(shù)在x=0處連續(xù)性、可導性.即可導定連續(xù),連續(xù)不一定可導.

設函數(shù)u(x)與v(x)在點x處均可導，則:定理一2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導法則2.2導數(shù)公式與求導法則特別地,如果可得公式注：法則（1）（2）均可推廣到有限多個可導函數(shù)的情形例：設u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點x處均可導，則解：

例2設解：例1解：即

類似可得例3求y=tanx

的導數(shù)基本導數(shù)公式表解：例5

定理二如果函數(shù)在x處可導，而函數(shù)y=f(u)在對應的u處可導，那么復合函數(shù)在x處可導，且有或對于多次復合的函數(shù)，其求導公式類似，此法則也稱鏈導法注：2.2.2復合函數(shù)的導數(shù)例7解：解：例61.隱函數(shù)的導數(shù)例9求方程所確定的函數(shù)的導數(shù)解：方程兩端對x求導得2.2.4隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)即是由所確定的函數(shù)，其求導方法就是把y看成x的函數(shù)，方程兩端同時對x求導，然后解出。即例10解：兩邊對x求導得解一例11兩邊對x求導，由鏈導法有

解二稱為對數(shù)求導法，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導注：解二解：將函數(shù)取自然對數(shù)得兩邊對x求導得例12即或記作或二階導數(shù)：如果函數(shù)f(x)的導函數(shù)仍是x的可導函數(shù)，就稱的導數(shù)為f(x)的二階導數(shù)，n階導數(shù)：二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù)的計算：運用導數(shù)運算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導2.2.6高階導數(shù)解：特別地例15解：……即同理例14

可以表示為定義設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，處的增量在點如果函數(shù)處的微分，可微，稱為在點處在點高階的無窮小，則稱函數(shù)時其中A是與無關的常數(shù)，是當比記為由微分定義，函數(shù)f(x)在點x0處可微與可導等價，且,因而在點x0處的微分可寫成于是函數(shù)通常把記為，稱自變量的微分，上式兩端同除以自變量的微分，得因此導數(shù)也稱為微商．可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內每一點都可微，則稱該函數(shù)在(a,b)內可微。f(x)在點x0處的微分又可寫成dxf(x)在(a,b)內任一點x處的微分記為解：例2求函數(shù)y=x2

在x=1,時的改變量和微分。于是

面積的微分為

解：面積的增量面積的增量與微分．當半徑增大例3半徑為r的圓的面積時，求在點處，2.3.2微分的幾何意義當自變量x有增量時，切線MT的縱坐標相應地有增量因此，微分幾何上表示當x有增量時，曲線

在對應點處的切線的縱坐標的增量．用近似代替就是用QP近似代替QN，并且設函數(shù)y=f(x)的圖形如下圖所示.過曲線y=f(x)上一點M(x,y)處作切線MT,設MT的傾角為2.3.3微分的運算法則1.微分的基本公式：續(xù)前表2.微分的四則運算法則設u=u(x)，v=v(x)均可微，則

（C

為常數(shù)）；3．復合函數(shù)的微分法則都是可導函數(shù)，則設函數(shù)的微分為復合函數(shù)

利用微分形式不變性，可以計算復合函數(shù)和隱函數(shù)的微分.這就是一階微分形式不變性.可見，若y=f(u)可微，不論u是自變量還是中間變量，總有而