混凝土二維擴散分析的離散網(wǎng)格法

混凝土二維擴散分析的離散網(wǎng)格法

由于海洋等富有財產(chǎn)的氯離子環(huán)境，氯離子逐漸滲入混凝土中，最終到達鋼筋表面，導致鋼筋腐蝕，影響鋼筋混凝土結構的使用性和耐久性。由于鋼筋銹蝕的過程并不持續(xù)消耗氯離子，因此分析評估氯離子環(huán)境下鋼筋混凝土結構耐久性和使用壽命的關鍵是確定氯離子在混凝土中的分布和擴散規(guī)律。氯離子在混凝土中的擴散表現(xiàn)為一種復雜的非線性動力現(xiàn)象和復雜的物理化學過程，人們經(jīng)常通過合理的簡化達到用Fick第二定律來描述這一過程的目標。Tang等在考慮混凝土漿體孔隙率、滲透深度、暴露時間、擴散過程活化能以及溫度等基礎上建立了擴散系數(shù)的多因素計算模型；Liang等考慮了水泥水化物對氯離子擴散的影響，并對氯離子擴散系數(shù)進行了修正；余紅發(fā)等提出考慮多因素擴散模型的一維解析解。由于解析解的擴散系數(shù)通常是結合混凝土的氯離子擴散試驗確定的，因此解析解具有很好的計算精度，與試驗值基本吻合，可以作為理論分析以及檢驗數(shù)值方法正確性的有效工具。但是解析解的缺陷是不太適合于邊界條件有變化或者擴散場中混凝土材料性能有變化的復雜氯離子擴散情況，因而針對氯離子擴散分析的數(shù)值方法得到了發(fā)展。Funanshi應用有限差分法、Sergi等應用最小平方法對氯離子在混凝土中的擴散規(guī)律進行了一維數(shù)值模擬。Han采用有限元法分析氯離子擴散問題。上述研究都局限于氯離子一維擴散計算模型。但是在混凝土結構的角點等幾何形狀復雜處，氯離子通常呈二維擴散狀態(tài)，并且該擴散狀態(tài)是一維擴散解析理論和數(shù)值計算方法無法正確反映的。另外，由于混凝土結構的角點附近往往是應力集中區(qū)，受力較為復雜，鋼筋分布更密集。再加上角點處的氯離子濃度較高，因此，從混凝土結構的耐久性要求出發(fā)，更需要重點分析結構角點處的氯離子分布及其二維擴散特性。近年來人們逐漸關注氯離子二維擴散問題。Suryavanshi等提出了二維常擴散系數(shù)下Fick第二定律的解析解，田冠飛等應用二維有限元法分析了鋼筋對氯離子擴散的影響。Bitaraf等應用無網(wǎng)格法對氯離子擴散進行了二維數(shù)值模擬。李冉等應用二維有限元數(shù)值模型研究了混凝土結構拐角處的氯離子分布規(guī)律。盡管有限元法適應性很強，但在氯離子擴散研究中通常需要在時間域和空間域中同時離散，并且需要在兩個域中都采用細密離散網(wǎng)格，從而形成復雜的迭代計算格式，使得計算量較大，運算速度慢，效率不高。因此，氯離子擴散的數(shù)值分析方法還需進一步豐富和完善。研究建立了氯離子二維擴散分析的邊界元法。利用線性插值函數(shù)，沿著混凝土試件的邊界進行離散，在Fick第二定理的基礎上建立了混凝土中氯離子濃度計算的邊界元法計算格式，提出了擴散場計算長度的概念和表達式，并確定了擴散長度系數(shù)。計算時，在時間域僅需要很少的幾個離散單元就可以取得極高精度的計算結果，同時可以將二維結構降低為一維離散問題。1混凝土結構參數(shù)圖1所示的混凝土試件，其2個相鄰面(圖1中x=0和y=0的2個面)暴露于海水中，其余表面都用環(huán)氧樹脂封閉，避免和海水發(fā)生氯離子交換。因而氯離子在該試件中將發(fā)生二維擴散現(xiàn)象。盡管混凝土為非勻質體，但通過適當變換可以得到等效均值且各向同性體。此時可以用Fick第二定律來描述圖1所示的氯離子在混凝土中二維擴散過程所形成的有勢場：其中：?2表示Laplace算子；t為混凝土持續(xù)暴露于氯離子環(huán)境中的時間，t0表示混凝土暴露于氯離子環(huán)境時的初始齡期；C表示混凝土內(nèi)某點P(x,y)在暴露時刻t的氯離子濃度；C0為混凝土內(nèi)初始氯離子濃度，取C0=0;q表示混凝土構件內(nèi)部氯離子濃度梯度，在邊界處n表示混凝土構件邊界的外法線方向；Γ1和Γ2分別表示第一、二類邊界條件，在Γ1邊界上，即圖1中混凝土構件x=0和y=0的邊界上，表面氯離子濃度為Cs；在Γ2邊界上氯離子濃度梯度為已知量qs，圖1中的BC,CD二個邊屬于該類邊界，這里由于在邊界兩邊不發(fā)生氯離子交換，因此qs=0ㄢ根據(jù)式(1)，由加權余量法得：其中：C*，q*是氯離子擴散場問題的基本解，它表示點i(xi,yi)在時刻t的單位氯離子濃度，經(jīng)過一段時間(τ–t)的擴散，對點j(x,y)處氯離子濃度和梯度的影響。稱點i為激勵點或源點，點j為響應點或場點。且有：其中：r表示激勵點i(xi,yi)到響應點j(x,y)的距離，即：n表示響應點所處邊界元的外法線方向，如圖2所示。則有：容易證明，基本解滿足如下關系式：根據(jù)第二Green公式及式(7)，對式(3)左邊兩項加以整理可得：將式(9)和(10)代入到式(3)中，并利用式(8)約簡，可得：令：其中：Ei(b)為指數(shù)積分，且同時,當將激勵點i(x,y)移動到邊界上時,式(11)就成為邊界積分方程:其中：其中：β表示點i處于邊界上非光滑連續(xù)點時兩側切線的夾角。2確定邊界元法第5位的思想沿著混凝土構件四周將連續(xù)邊界離散為n個線性單元。對于圖3所示的典型單元e，長度為2l，單元上的濃度及濃度梯度可用線性函數(shù)近似表示為：其中：{a}e,e為邊界元結點參數(shù)列陣；[N]為形函數(shù)矩陣，且其中：下標1,2分別對應線性單元的左、右節(jié)點。以邊界上的離散節(jié)點j為激勵點，按照式(15)可以形成n個邊界單元積分方程：由于每個節(jié)點上都有一個未知量，因此，式(19)中共有n個未知量、n個方程形成一個線性代數(shù)方程組，并且可集成表示為：其中：Ci和qi分別為邊界節(jié)點i上的濃度值和濃度梯度值，{a}和中各有部分為已知量，其余部分屬未知量。把矩陣[G]和[H]中與未知量相關的元素連同未知量一起移到等號左邊，同時將已知量移到右邊，可以得到待解方程組對于圖1所示的氯離子二維擴散問題，在利用解析理論求解時，通常假定為半無限大問題進行求解。而利用邊界元法計算時，仍按照有限長的求解域計算，但需要重新設定擴散場長度L:其中：L表示氯離子擴散場的計算長度，如圖4所示，它表示氯離子在混凝土中發(fā)生二維擴散時，利用邊界元法計算混凝土內(nèi)部氯離子分布濃度所需的有限大擴散場在x和y兩個坐標軸方向的最小長度；?t是時間域的離散長度，通常取?t=(t-t0)4;k為擴散場長度系數(shù)，可以根據(jù)數(shù)值試驗確定該系數(shù)可以保證混凝土結構暴露時間不超過70a時邊界元法的最大計算誤差不超過2%。如果混凝土試件或結構在氯離子擴散方向的實際長度l不小于式(25)所確定的計算長度L，則應該按照構件或結構的實際尺寸建立邊界元法計算模型(如圖4中實線所示的區(qū)域)。反之，如果混凝土試件或結構在氯離子擴散方向的實際長度l小于式(25)所確定的計算長度L，則應該按照擴散場的計算長度建立邊界元法計算模型，如圖4中按照虛線建立新的擴散場ABCD，擴散系數(shù)及邊界條件等同于原來的混凝土構件(類似圖1所示)。由于建立邊界元計算模型時，時間域只需要均勻劃分為4份，空間域只需沿新的擴散場邊界(如圖4所示)進行一維離散，因此大大簡化了計算模型，提高了計算效率和精度。對于區(qū)域積分項可采用在域內(nèi)離散的方法，取四邊形四節(jié)點等參單元并利用Gauss積分計算。3維邊界元法算例1：邊長為1m的鋼筋混凝土方板，厚度為100mm，將其中的4個面用環(huán)氧樹脂封閉，沿厚度方向留下兩個相鄰面AB和AD暴露在含氯離子的溶液中，如圖1所示?；炷恋膬蓚€暴露面上氯離子濃度Cs=1%，混凝土擴散系數(shù)D為10–12m2/sㄢ采用二維邊界元法計算鋼筋混凝土板的氯離子擴散和分布規(guī)律。由于計算過程中根據(jù)式(25)所得到的擴散場計算長度始終沒有超出方板的實際邊長，因此，可以按照混凝土板的實際邊長建立邊界元法計算模型，并將每個邊界離散為100個線性單元，并將計算結果與解析解和二維擴散有限元解相比較，其中，解析公式為：其中：Ferf為誤差函數(shù)。為利用邊界元法、有限元法和解析解分別計算了該試件暴露于氯鹽環(huán)境下5,10,20a時混凝土中氯離子濃度分布情況，見圖5ㄢ由圖5可以看出，3種方法的計算結果吻合相當好，證明了邊界元法具有很高的計算精度。所采用的二維擴散有限元法計算模型中，在空間域上采用四邊形雙線性單元，離散網(wǎng)格50×50；在時間域上離散步長為?t=0.5a，相對于擴散時間為5,10,20a的擴散問題，需要把時間域分別離散為10,20,40個子域進行迭代計算。容易看出，有限元法不僅需要在空間域上采取二維離散，而且需要在時間域上采取非常細密的離散網(wǎng)格，其離散自由度和計算工作量都大大超出邊界元法。而邊界元法在空間域上只需沿計算邊界進行一維離散，在時間域上只需離散出4個子域，可以取得較高的計算效率。另一方面還可以看出，隨著擴散時間的增大，氯離子濃度梯度在空間上的分布逐漸均衡。圖6、圖7分別表示利用解析法和邊界元法計算鋼筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a時板的角點A附近的氯離子分布情況?？梢钥闯?，2種方法所得結果是吻合的；并且在2個暴露面的交點及對角線附近的氯離子濃度明顯增加。算例2：底面為500mm×750mm，厚度為100mm的混凝土板，將其中的4個面用環(huán)氧樹脂封閉，沿厚度方向留下2個相鄰面AB和AD暴露在含氯離子的溶液中，如圖8所示?；炷恋?個暴露面上氯離子濃度Cs=0.8%，擴散系數(shù)D為5×10–13m2/s。這里采用二維邊界元法計算鋼筋混凝土板的氯離子擴散和分布規(guī)律。計算模型中，由于混凝土板在X,Y坐標方向的實際邊長都超過了式(25)所得到的擴散場計算長度，因此可以按照板的實際尺寸建立邊界元法計算模型，AB邊離散為75個線性單元，AD邊離散為50個線性單元，并將計算結果和解析解相比較。計算得到該試件暴露于氯鹽環(huán)境下10,20a和40a時混凝土中氯離子濃度分布情況，如圖9所示?？梢钥闯觯吔缭ǖ挠嬎憬Y果與解析解計算結果吻合相當好。圖10、圖11分別利用解析解和邊界元法計算了該鋼筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a時，板中角點A附件氯離子的分布?？梢钥闯?，在2個暴露面的交點及45°對角線附近，氯離子濃度明顯增加，且邊界元法和解析解所得結果是吻合的。算例3：一個混凝土標準試塊，尺寸為150mm×150mm×150mm。將其中的4個面用環(huán)氧樹脂封閉，沿厚度方向留下2個相鄰面AB和AD暴露在含氯離子的溶液中，如圖4所示(圖4中邊長l取為150mm)?；炷恋?個暴露面上氯離子濃度Cs=0.8%，擴散系數(shù)D為2×10–12m2/sㄢ這里采用二維邊界元法計算鋼筋混凝土板分別暴露于氯鹽環(huán)境下20,40a和60a時混凝土中氯離子濃度分布情況，由于計算中混凝土試件的實際長度l小于式(25)所確定的計算長度，因此，應該按照圖4中虛線所示將擴散場擴大至ABCD，同時每個邊離散為50個線性單元，并將計算結果和解析解相比較，如圖12所示?？梢钥闯鲞吔缭ㄓ嬎憬Y果同解析解吻合較好。圖13、圖14分別利用邊界元法和解析法計算了該鋼筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a時，板中角點A附件的氯離子分布?？梢钥闯?，在2個暴露面的交點及45°對角線附近，氯離子濃度明顯增加，邊界元法和解析解法2種方法所得結果是吻合的。由圖6、圖7、圖10、圖11、圖13、圖14可以看出，在結構拐角處氯離子呈二維擴散狀態(tài)，并且拐角處的氯離子分布濃度明顯高于一維擴散理論的計算結果。由于混凝土結構的角點附近往往是應力集中區(qū)，鋼筋分布更密集，因此，從結構耐久性要求出發(fā)，更需要利用二維擴散的數(shù)值方法重點研究結構角點處的氯離子分布。從上述3個算例可以看出，對于不同類型的混凝土試件或結構，不同的表面氯離子濃度、試件尺寸、混凝土擴散系數(shù)或擴散時間，在利用邊界元法研究混凝土中氯離子二維擴散問題時，都需要按照式(25)、式(26)確定擴散場的計算長度及擴散長度系數(shù)，并根據(jù)“若混凝土試件或結構的實際長度小于式(25)所確定的計算長度時，應該按照擴散場的計算長度建立邊界元法計算模型；反之，如果試件的實際尺寸已經(jīng)超過擴散場的計算長度，則應該按照試件實際尺寸建立邊界元法計算模型”的原則確定擴散場區(qū)域和邊界元法計算模型，并取得較好的計算精度和計算效率。4氯離子二維擴散的邊界元法算法的應用提出了混凝土試件中氯離子二維擴散分析的邊界元法，提出了擴散場計算長度的概